地理信息系统下的空间分析-第七章_三维数据的空间分析方法

a arccos(a a 1)
2 1 2 2
1 / 2
7.3.2 基于格网数据单元的坡度计算 单独一个点上的坡度并无多大用处，通常总是计算基 本格网单元上的平均坡度。 平均坡度的计算可以通过计算若干点位上的坡度，然 后取其平均值。 但更常用的方法是在基本格网单元上用最小二乘逼近 的方法拟合一个平面，然后计算其平均坡度。 （1）三角形格网 在三角形格网上，最小二乘逼近的平面与插值方法的 平面是一致的，因为已知数据点与平面方程的待定系数个 数相等。 例如，如果用Z=a0+ a1x+ a2y来拟合三角形格网上的曲 面，坡度可以直接利用如下公式计算：
(2)曲面拟合时的信息损失：在用有限个格网点数据 来模拟真实地表起伏时，所拟合的曲面与实际地表间 存在误差。 因此，对于矢量数据来说，能否用已有的真实数据 直接(不丢失信息)比较精确地计算坡度和坡向是值得研 究的。
2、基于矢量数据的坡向计算
由于基于DEM的坡向计算方法的实现过程存在着两次 信息损失，因此，可以考虑直接利用矢量数据计算坡度。
1 f x2 ( x 0 , y 0 ) f y2 ( x 0 , y 0 ) 1
a arccos(f x2 ( x0 , y0 ) f y2 ( x0 , y0 ) 1) 1/ 2
由坡度的概念知0°≦a≦90°，故由上式比较容易确 定坡度值。 对于特殊的应用场合，例如对于Z=a0+ a1x+ a2y(三角形 格网上的曲面拟合)，其三角形格网单元上的曲面为一平 面，平面上的坡度处处相等， 可以直接计算如下：
i
7.5 剖面分析
研究地形剖面时常常可以以线代面，概括研究区域的 地势、地质和水文特征，包括区域内的地貌形态、轮廓形 状、绝对与相对高度、地质构造、斜坡特征、地表切割强 度和侵蚀因素等。
剖面分析的基本思路如下：
剖面图的绘制一般是在DEM格网上进行的。已知两点 A和B，求这两点的剖面图的过程如下：
7.3.3 基于矢量数据的坡度计算方法
坡度计算也可以直接根据矢量等高线来直接计算，具 体有如下几种方法：
1、等高线计长法
坡度计算的另一类方法是基于矢量数据的算法，它直 接根据数据点值来进行计算。 这类算法的原理是基于50年代原苏联著名的地图学家 伏尔科夫提出的等高线计长方法。
tan 该方法定义地表坡度为： a
式中，α为坡度， z / x，z / y 一般采用2阶插分方法计 算。
对如图所示的网格中的（i，j）点，
z i , j 1 z i , j 1 z x 2 x z i 1, j z i 1, j z y 2 y
式中， x , y 为格网结点x，y方向的间隔。
该方法的基本思想是： 设置一个小窗口，首先计算小窗口内单根矢量等高线 的坡向(等高线法线的倾角)，然后利用如下公式计算窗口 内的最终的坡向： ( (li i ) / li

i 1
/
i
式中， 为窗口内的最终坡向， l i 为窗口内单根等高线 的长度，l 为窗口内等高线的总长度，窗口内的坡向计 算以单根等高线的长度为权值。
b (b' 2 (h2 h3 ) 2 )1 / 2
c (c'2 (h3 h1 ) 2 )1/ 2
7.1.2 正方形格网上表面积的计算 1、曲面拟合重积分计算法
正方形格网上的曲面片表面积的计算问题要复杂得多， 正方形格网上最简单的曲面模型为双线性多项式，其拟合 面是一曲面，无法以简单的公式计算其曲面积。 根据数学分析，某定义域A上，空间单值曲面的面积由 以下重积分计算： S (1 f 2 f 2 )1 / 2 dxdy
但这些算法有一个最大的缺点：当数据量较大时， 需要的计算机内存容量比较大，必要时必须将整个DEM 进行分块处理。
对于矢量数据来说，如果采用这类算法需要先将矢 量数据转换成格网数据，然后在此基础上进行曲面拟 合和坡度与坡向的计算。 在这一过程中，存在着两次信息损失：
(1)数据类型转换过程中的信息损失：将包含多个数 据点的矢量数据转换成规则化的格网点上的数据(栅格 数据)时的信息的丢失；
基准平面一般是水平面，基准平面的高度不同，计算出 的空间曲面的体积就不同， 当高度上升时，空间曲面的高度可能低于基准平面，此 时出现负的体积。 在对地形数据的处理中， 当体积为正时，工程中称 之为“挖方”，体积为负 时，称之为“填方”， 图中的阴影部分为“填 方”。
体积的计算通常也是近似方法。由于空间曲面的表 示方法不同，近似计算的方法也不一样。
地质学家经常需要了解断层的主要坡向，或者褶皱露头， 来分析地质变化的过程。 植物栽培者也把果树栽到山坡朝阳的一面以获得最大的 光照量等。
根据计算坡向时所使用的数据的不同，可以分 为基于DEM的坡向计算、基于矢量数据的坡向计 算等， 下面重点对基于DEM的坡向计算方法进行解释 和说明。
1、基于DEM的坡向计算
如图所示，P1 P2 P3构成的三角形上的曲面片，P1’ P2’ P3’ 为使用一次多项式模型拟合得到的平面片，计算曲面片的 面积其实是计算拟合后的平面片的面积，利用海伦公式计 算面积，公式如下：
S [ P( P a)(P b)(P c)]1/ 2
P ( a b c) / 2
(1)首先根据DEM内插算法内插出A和B两点的高程值； (2)然后求出AB连线与DEM格网的所有交点，内插出各 交点的坐标和高程，并将交点按离起始点（A点或B点） 的距离进行排序；
最后，选择一定的垂直比例尺和水平比例尺，以距离 起始点的距离为横坐标，以各点的高程值为纵坐标绘制剖 面图。如图所示。
7.6 可视性分析
7.3.1 单个点的坡度计算
空间曲面的坡度是点位的函数，除非曲面是一平面， 否则曲面上不同位置的坡度是不相等的， 给定点位的坡度是曲面上该点的法线方向N与垂直方 向Z之间的夹角a，如图所示。
由数学分析知，对于曲面上给定点（x0，y0，z0）的切 平面方程为：
f x ( x0 , y0 )(x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) ( z z0 ) 0

A
x
y
一般地说，上式无法直接计算，常用的方法是近似计算。 积分的近似计算方法很多(有关计算方法的著作对此都有详细 全面的讨论)，比较常用的方法是抛物线求积方法，亦称辛卜 生方法（Simpson）， 该方法的基本思想是：先用二次抛物面逼近面积计算函数， 进而将抛物面的表面积计算转换为函数值计算。
2、分解为三角形的计算方法
7.4 坡向计算
坡向与坡度是相互联系十分紧密的两个参数。
坡度反映斜坡的倾斜程度，
坡向反映斜坡所面对的方向。
坡向在植被分析、环境评价等领域具有重要意义。
例如，生物地理和生态学家知道，生长在朝向北的斜坡 上和生长在朝向南的斜坡上的植物一般有明显的差别，这 种差别的主要原因在于绿色植物需要得到充分的阳光。 建立风力发电站的选址时，需要考虑把它们建在面向 风的斜坡上。
该点的法线方程为：
，
f x1 ( x0 , y0 )(x x0 ) f y1 ( x0 , y0 )( y y0 ) ( z z0 )
其方向数为 f x ( x0 , y0 ) ，f y ( x0 , y0 ) 和－1，垂直方向Z的方 向数为0，0，1， 则有： cos a
第七章 三维空间分析
主要内容：
1、表面积计算
2、体积计算
3、坡度、坡向计算
4、剖面分析
5、可视性分析
6、水文分析
7.1 三角形格网上的表面积计算
基于三角形格网的曲面插值一般使用一次多项式模型 (Z=a0+a1X+a2Y），计算三角格网上的曲面片的面积时， 首先将其转换成平面片，然后通过计算平面片的面积来计 算曲面片的面积。
当基于DEM计算坡向时，通常定义坡向为：
过格网单元所拟合的曲面片上某点的切平面的法线的 正方向在平面上的投影与正北方的夹角，即法方向水平投 影向量的方位角，坡向在下图中以β标识。
由数学分析知，设曲面 Z f ( x, y) 在点（x0，y0，z0）的切 平面方程为：Z Ax By C f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y C 则该点的坡向为： arctg( A / B) 但根据此式计算的β在（（0，2π）中取值，因此还需要根据A，B的取值情况将β 转换成（0，2π）之间的值。
2、基于正方形格网的体积计算
正方形格网的基本格网的体积计算方法如下：
V S A (h1 h2 h3 h4 ) / 4 (7.11)
其中，SA是基底格网正方形A的面积。如图(b)所示。
7.3 坡度计算
如果打算在山上建造一座房子，那就首先想知道哪里 是比较平坦的地方；如果要设计滑雪娱乐场，并且要把它 建在不同的坡度上。对于这些问题都需要考虑坡度。 坡度是地形描述中常用的参数，是一个具有方向与大 小的矢量。 作为地形的一个特征信息，坡度能间接表示地形的起 伏形态，在农业、交通、规划以及各类工程中有着很大的 用途，如，在农业土地开发中，坡度大于25°的土地一般 被认为是不宜开发的。
该方法基于地图上地形坡度越大等高线越密、坡度越 小等高线越稀这一地形地貌表示的基本逻辑，将所研究的 区域划分为m×n个矩形子区域(格网)，
然后计算各子区域内等高线的总长度，
再根据回归分析方法统计计算出单位面积内等高线长 度值与坡度值之间的回归模型， 然后将等高线的长度值转换成坡度值。 该算法的最大优点是可操作性强，且不受数据量的限 制，能够处理海量数据。
a arccos( a 1) a
2 1 2 2
1 / 2
（2）正方形格网
对于正方形格网单元，平面拟合采用最小二乘逼近方 法。
在计算坡度时，如果在3*3的DEM网格窗口进行，窗 口在DEM数据矩阵中连续移动，然后完成整幅图的计算 工作。
z 2 z 2 1 / 2 tan( ) [( ) ( ) ] x y
hl / p
式中，h为等高距， l 为测区等高线总长度，P为测区面积。
以上介绍的等高线计长法求出的是一个区域 内坡度的均值，且前提是量测区域内的等高距 相等。 该方法对于测区较大或等高距不等时，计算 出的坡度将有较大误差。
2、基于统计学的坡度计算方法
对于测区较大或等高距不等时，可以采用等高线计长方 法的一种变通方法，即一种基于统计学的方法。
以下分别给出基于三角形格网和正方形格网的体 积计算方法。 其基本思想均是：基底面积(三角形或正方形)乘以 格网点曲面高度的均值，区域总体积是这些基本格网 体积之和。
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1、基于三角形格网的体积计算
三角形格网的基本格网的体积计算方法如下：
V S A (h1 h2 h3 ) / 3
其中，SA是基底格网三角形A的面积。如图(a)所示。
2 2，）中取值，而坡向应为
无论是坡度还是坡向，在一个很小的范围内计算都只 有理论上的意义，但计算的原理是一样的。
以上的介绍都是从 Z f ( x, y) 出发，而不是直接从数据 点值计算，主要就是考虑了这一点。
基于DEM的坡度与坡向计算的算法到目前为止多是 基于格网点阵数据的，这类方法算法易于程序化，实施 起来比较容易。
S [ P( P a)(P b)(P c)]1/ 2
P ( a b c) / 2
其中，a，b，c的长度是根据数据点 P1，P2，P3的高程值h1，h2，h3以及 a ' ， '， '计算得到。 △P1 P2 P3的边长 b c
， ，
a (a'2 (h1 h2 ) 2 )1/ 2
将正方形格网DEM的每个格网分解为三角形，利用计 算三角形的表面积的海伦公式分别计算分解的每个三角形 的面积，然后累加得到正方形格网DEM的面积。 计算公式如下：
式中，Di表示第i（1 i 3 ）对三角形顶点之间的表面 距离，S表示三角形的表面积，P表示三角形周长的一半。
7.2 体积计算
体积通常是指空间曲面与基准平面之间的空间的体积。