河南省项城三高2020-2021学年度上期第三次考试高一数学试卷AB卷

项城三高2020-2021学年度上期第三次考试
高一数学试卷（A ）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合{}1,3A =，{}3,5B =，则（ ）
A .
B .{}2,4,6
C .
D .{}0,2,4,6
2.下列命题中，错误的是（ ）
A .一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交
B .平行于同一平面的两个不同平面平行
C .若直线l 不平行于平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线
D .如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
3.下列函数中既是偶函数又在区间0,+∞（）上单调递减的是（ ）
A .1y x =
B .x y e -=
C .lg ||y x =
D .21y x =-+
4.如图所示，在正方体中，M 、N 分别是1BB 、BC 的中点.则图中阴影部分在平面11ADD A 上的正投影为（ ）
A .
B .
C .
D .
5.已知集合，{}
1|48x B x -=≤，则A B ⋂=（ ） A . B . C .7
(0,]2 D .5
(0,]2
6.函数()21ln f x x x =
+的零点所在的大致区间为（ ） A . B . C . D .与
7.已知函数，且()3f a =-，则()6f a -=（ ）
A .14-
B .54-
C .34-
D .74
-
8.如图所示，将等腰直角ABC ∆沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，此时，那么这个二面角大小是（ ）
A .90︒
B .60︒
C .45︒
D .30︒
9.一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）
A .8π
B .6π
C .4π
D .π
10.已知函数（0a >且1a ≠）的图象恒过定点，则函数的单调递增区间是（ ）
A .
B .
C .
D .
11.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数()21ex f x x =
-的图象大致是（ ） A . B . C . D .
12.用{}min ,,a b c 表示三个数中的最小值，设{}
()min 2,2,10(0)x f x x x x =+-≥，则()f x 的最大值为（ ）
A .7
B .6
C .5
D .4 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.如图，O A B '''∆是水平放置的OAB ∆的直观图，则OAB ∆的面积是___________.
14.如果函数在区间上是减函数，则实数a 的取值范围是_________.
15.如图是一个组合的三视图，则该几何体的体积是_____________.
16.已知函数的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知
底面边长为2m ，制造这个塔顶需要多少铁板？
18.函数，（0a >且1a ≠），.
（1）求()h x 的定义域，判断()h x 奇偶性；
（2）若()11f =，求使得()0h x >成立的x 的集合.
19.如下图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =，点
D 是AB 的中点.
（1）求证：1AC BC ⊥；
（2）求证：1AC 平面1CDB ；
（3）求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值.
20.为了预防甲型流感，某学校对教室用药薰消毒法进行消毒，已知在药物释放过程中，室内每立方米空
气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t a
y -⎛⎫= ⎪⎝⎭
（a 为常数），其函数关系图象如下图所示.
（1）写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少经过多少小时后学生才能回教室？
21.如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点.
（1）求证：平面PAC ⊥平面BDE ；
（2）若二面角E BD C --为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积.
22.已知函数(1)()()x x a f x x
++=为奇函数. （1）求实数a 的值；
（2）记集合，21lg 2lg 2lg 5lg 52
t =+⋅++，判断t 与集合A 的关系； （3）当时，若函数()f x 的值域为，求,m n 的值.
项城三高2020-2021上期第三次考试
高一数学答案（A ）
一、CCDAD BDACD CB
二、13.12 14. 15.36128π+ 16.(0,1]
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.如图所示，连接AC 和BD 交于O ，连接SO .作SP AB ⊥，连接OP .
在Rt SOP ∆中，，()112OP BC m =
=，所以)SP m =，
则SAB ∆的面积是)2122
m ⨯⨯=.
所以四棱锥的侧面积是)
24m ⨯=，
即制造这个塔顶需要2铁板.
18.解：（1）因为，
由对数函数的定义.
所以函数()h x 的定义域为.
由得
，
所以()h x 是奇函数.
（2）因为，所以3a =.
，
由()0h x >，所以，
由3log y x =的函数是增函数，所以22x x +<-，即0x >， 又22x -<<，所以02x <<.
所以()0h x >成立的x 的集合{}|02x x <<.
19.（1）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，底面三边长3AC =，4BC =，5AB =， ∴AC BC ⊥.又∵1C C AC ⊥，∴AC ⊥平面11BCC B .
∵1BC ⊂平面1BCC B ，∴1AC BC ⊥.
（2）证明：设1CB 与1C B 的交点为E ，连接DE ，又四边形11BCC B 为正方形.
∵D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点，∴1DE AC .
∵DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，∴1AC 平面1CDB . （3）解：∵1DE AC ，∴CED ∠为1AC 与1B C 所成的角.
在CED ∆中，11522ED AC =
=，1522CD AB ==
，112CE CB ==
∴cos 2
CED ∠==∴异面直线1AC 与1B C
. 20.解：（1）药物释放过程的函数关系式可设为y kt =，
由于其图象过点，代入得10k =，所以110010y t t ⎛
⎫=<≤ ⎪⎝⎭
. 由于函数116t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭
的图象也过点，代入得0.1a =， 所以110111610t y t -⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 所以0.1110,01011,1610t t t y t -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭
⎩. （2）由题意可知，整理得， 由函数14x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
是减函数，得()20.11t ->，所以0.6t >. 答：至少经过0.6小时后，学生才能回教室.
21.（1）证明：∵PO ⊥面ABCD ，∴PO BD ⊥.
在正方形ABCD 中，BD AC ⊥，又∵，∴BD ⊥面PAC .
又∵BD ⊂面BDE ，∴面PAC ⊥面BDE .
（2）解：取OC 中点F ，连接EF .
∵E 为PC 中点，∴EF 为POC ∆的中位线，∴EF PO .
又∵PO ⊥面ABCD ，∴EF ⊥面ABCD ，∴. ∵OF BD ⊥，OF EF F ⋂=，∴BD ⊥面EFO ，∴OE BD ⊥. ∴EOF ∠为二面角E BD C --的平面角，∴30EOF ∠=︒.
在Rt OEF ∆中，11244
OF OC AC a ===，
∴tan 30EF OF ︒=⋅=，∴2OP EF ==.
∴2313p ABCD V a -=⨯=. 22.解：（1）∵()f x 为奇函数，∴，
即
即：()210a x +=，x R =且0x ≠，∴1a =-.
（2）由（1）可知：()21x f x x
-=， 当1x =±时，()0f x =；当2x =时，()32f x =
∴30,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 而22113lg 2lg 2lg 5lg 5lg 2lg 2(1lg 2)1lg 2222
t =+⋅++=+-+-+=， ∴.
（3）∵211()x f x x x x -==-，11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， ∴()f x 在上单调递增.
∴，∴，即，
∴,m n 是方程22310x x -+=的两个根，
又题意可知，且0m >，0n >，∴m n >
∴1m =，12
n =.。