┃精选3套试卷┃2018届广东省名校九年级上学期数学期末质量跟踪监视试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．甲从标有1，2，3，4的4张卡片中任抽1张，然后放回.乙再从中任抽1张，两人抽到的标号的和是2的倍数的（包括2）概率是（ ） A ．
12
B ．
14
C ．
16
D ．
18
【答案】A
【分析】首先列举出所有可能的情况，然后根据概率公式求解即可. 【详解】根据题意，列出所有情况，如下： 甲
乙 1
2
3
4
1 （1,1） （1,2） （1,3） （1,4）
2 （2,1） （2,2） （2,3） （2,4）
3 （3,1） （3,2） （3,3） （3,4） 4
（4,1）
（4,2）
（4,3）
（4,4）
标号的和是2的倍数的（包括2）的情况共有8种 ∴其概率为81162
= 故选：A. 【点睛】
此题主要考查对概率的求解，熟练掌握，即可解题.
2．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，分析下列四个结论：①abc ＜0；②b 2-4ac ＞0；③20a b -=；④a+b+c ＜0.其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
【解析】①由抛物线的开口方向，抛物线与y 轴交点的位置、对称轴即可确定a 、b 、c 的符号，即得abc 的符号；
②由抛物线与x 轴有两个交点判断即可；
③由12b
a
-
>- ，a ＜1，得到b ＞2a ，所以2a-b ＜1； ④由当x=1时y ＜1，可得出a+b+c ＜1．
【详解】解：①∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，与y 轴交于正半轴， ∴a ＜1，02b
a
-<，c ＞1， ∴b ＜1，
∴abc ＞1，结论①错误；
②∵二次函数图象与x 轴有两个交点， ∴b 2-4ac ＞1，结论②正确； ③∵12b
a
-
>-，a ＜1， ∴b ＞2a ，
∴2a-b ＜1，结论③错误； ④∵当x=1时，y ＜1； ∴a+b+c ＜1，结论④正确． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠1）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．
3．一艘在南北航线上的测量船，于A 点处测得海岛B 在点A 的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C 点时，测得海岛B 在C 点的北偏东15°方向，那么海岛B 离此航线的最近距离是（结果保留小数
点后两位） 1.732 1.414≈≈）（ ） A ．4.64海里 B ．5.49海里
C ．6.12海里
D ．6.21海里
【答案】B
【解析】根据题意画出图如图所示：作BD ⊥AC ，取BE=CE ，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出
BA=BE ，AD=DE ，设BD=x ，Rt △ABD 中，根据勾股定理得AD=DE= ，AB=BE=CE=2x ，由
AC=AD+DE+EC=2
，解之即可得出答案.
【详解】根据题意画出图如图所示：作BD ⊥AC ，取BE=CE ，
∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°，∴∠ABC=135°，
又∵BE=CE，
∴∠ACB=∠EBC=15°，
∴∠ABE=120°，
又∵∠CAB=30°
∴BA=BE，AD=DE，
设BD=x，
在Rt△ABD中，
∴AD=DE=3x，AB=BE=CE=2x，∴AC=AD+DE+EC=23，
∴
31
+=
)
1531
2
≈5.49，
故答案选：B.
【点睛】
考查了三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质.
4．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m+8，n），则n＝（）A．0 B．3 C．16 D．9
【答案】C
【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是x＝m+1．故设抛物线解析式为y＝（x+m+1）2，直接将A（m，n）代入，通过解方程来求n的值．
【详解】∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（m，n），B（m+8，n），
∴对称轴是x＝
8
2
m m
++
＝m+1．
又∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴设抛物线解析式为y＝（x﹣m﹣1）2，
把A（m，n）代入，得
n＝（m﹣m+1）2＝2，即n＝2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．
5．如图,扇形AOB 中,半径OA＝2，∠AOB＝120°，C 是弧AB的中点,连接AC、BC,则图中阴影部分面积是( )
A．4
23
3
π
-B．
2
23
3
π
-
C．4
3
3
π
D．
2
3
3
π
-
【答案】A
【解析】试题分析：连接AB、OC，AB⊥OC，所以可将四边形AOBC分成三角形ABC、和三角形AOB，进
行求面积，求得四边形面积是23扇形面积是S=1
3
πr2=
4
3
π
,所以阴影部分面积是扇形面积减去四边形
面积即4
23
3
π
-故选A.
6．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( )
A．16 B．20 C．24 D．28
【答案】B
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】根据题意知4
a
=20%，
解得a=20，
经检验：a=20是原分式方程的解，
故选B．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
7．如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ACB ∆的顶点A 在ECD ∆的斜边DE 上，AB 、CD 交于F ，若6AE =，8AD =，则AF 的长为（ ）
A ．5
B ．
407
C ．
285
D ．6
【答案】B
【分析】连接BD ，自F 点分别作FG AD ⊥，FH BD ⊥交AD 、BD 于G 、H 点，通过证明ECA DCB ≅，可得45,6E CDB AE BD ︒
∠=∠===，根据勾股定理求出AB 的长度，再根据角平分线的性质可得
FG FH =，根据三角形面积公式可得3
4
BF AF =
，代入10AF BF AB +==中即可求出BF 的值． 【详解】如图，连接BD ，自F 点分别作FG AD ⊥，FH BD ⊥交AD 、BD 于G 、H 点 ∵ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形 ∴90,45ECD ACB EDC E ︒
︒
∠=∠=∠=∠=
90ECA ACD DCB ︒∴∠=-∠=∠
在△ECA 和△DCB 中
CA CB ECA DCB CE CD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
ECA DCB ∴≅
45,6E CDB AE BD ︒∴∠=∠=== 45EDC ︒∠=
90ADB EDC CDB ︒∴∠=∠+∠=
在Rt △ADB 中，22AB AD BD =
+
8,6AD BD ==
228610AB ∴=+= 45CDB EDC ︒∠=∠=
∴DF 是∠ADB 的角平分线
,FG AD FH BD ⊥⊥
FG FH ∴= 1
8421632
ADF BDF
AD FG
S AD S BD BD FH ∆⨯∴====⨯
∵△ADF 底边AF 上的高h 与△BDF 底边BF 上的高h 相同
1
42132
ADF BDF
AF h
S AF S BF BF h ∆∆⨯∴
===⨯
34
BF AF ∴=
10AF BF AB +== 3
104
AF AF ∴+
= 407
AF ∴=
故答案为：B ．
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理、角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键．
8．某水库大坝高20米，背水坝的坡度为1:3 ） A ．40米 B ．60米
C ． 303
D ． 203
【答案】A
【解析】坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(或坡比)，我们把斜坡面与水平面的夹角叫做坡角，若用α表示，可知坡度与坡角的关系式，tanα(坡度)=垂直距离÷水平距离，根据公式可得水平距离，依据勾股定理可得问题的答案．
【详解】∵大坝高20米，背水坝的坡度为1: 3 ∴水平距离33
根据勾股定理可得背水面的坡长为40米． 故选A ． 【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-坡度、坡角的有关知识，熟悉且会灵活应用坡度公式是解此题的关键. 9．如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∠ABD ＝60°，CD ＝23，则阴影部分的面积为（ ）
A ．
23
π B ．π C ．2π D ．4π
【答案】A
【解析】试题解析：连接OD.
∵CD ⊥AB ，
1
32
CE DE CD ∴===，
故OCE
ODE S S
=，即可得阴影部分的面积等于扇形
OBD 的面积，
又
60ABD ∠=，
30CDB ∴∠=， 60COB ∴∠=， ∴OC=2，
∴S 扇形OBD 260π22π
.
3603
⨯== 即阴影部分的面积为2π.3 故选A.
点睛：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧. 10．如图，CD 为
O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，2DE =，8AB =，则O 的半径为（ ）
A ．5
B ．8
C ．3
D ．10
【答案】A
【分析】作辅助线，连接OA ，根据垂径定理得出AE=BE=4，设圆的半径为r ，再利用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，连接OA ，
设圆的半径为r ，则OE=r-2， ∵弦AB CD ⊥, ∴AE=BE=4，
由勾股定理得出：()2
2242r r =+-， 解得：r=5， 故答案为：A. 【点睛】
本题考查的知识点主要是垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断或解答.
11．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为B （1，0），抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E ．现有下列结论：①a ＞0；②b ＞0；③1a+2b+c ＜0；④AD+CE ＝1．其中所有正确结论的序号是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．②④
【答案】D
【分析】①根据抛物线开口方向即可判断； ②根据对称轴在y 轴右侧即可判断b 的取值范围； ③根据抛物线与x 轴的交点坐标与对称轴即可判断；
④根据抛物线与x 轴的交点坐标及对称轴可得AD=BD ，再根据CE ∥AB ，即可得结论． 【详解】①观察图象开口向下，a ＜0，所以①错误； ②对称轴在y 轴右侧，b ＞0，所以②正确；
③因为抛物线与x 轴的一个交点B 的坐标为(1，0)，对称轴在y 轴右侧， 所以当x=2时，y ＞0，即1a+2b+c ＞0，所以＞③错误； ④∵抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点， ∴AD=BD ． ∵CE ∥AB ，
∴四边形ODEC 为矩形， ∴CE=OD ，
∴AD+CE=BD+OD=OB=1， 所以④正确． 综上：②④正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是综合运用二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x 轴的交点进行计算．
12．函数2(2)1y x =-+-的图象上有两点()11,A x y ，()22,B x y ，若122x x <<-，则（ ） A ．12y y = B ．12y y >
C ．12y y <
D ．1y 、2y 的大小不确定
【答案】C
【分析】根据题意先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小． 【详解】解：∵2(2)1y x =-+-， ∴对称轴是x=-2，开口向下， 距离对称轴越近，函数值越大， ∵122x x <<-， ∴12y y <. 故选：C.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象性质及单调性的规律，掌握开口向下，距离对称轴越近，函数值越大是解题的关键．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，在平面直角坐标系中，()()()0,44,46,2A B C 、、，则经过、、A B C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标为__________；点D 坐标为()8,2-，连接CD ，直线CD 与M 的位置关系是
___________．
【答案】（2，0） 相切
【分析】由网格容易得出AB 的垂直平分线和BC 的垂直平分线，它们的交点即为点M ，根据图形即可得出点M 的坐标；由于C 在⊙M 上，如果CD 与⊙M 相切，那么C 点必为切点；因此可连接MC ，证MC 是否与CD 垂直即可．可根据C 、M 、D 三点坐标，分别表示出△CMD 三边的长，然后用勾股定理来判断∠MCD 是否为直角．
【详解】解：如图，作线段AB ，CD 的垂直平分线交点即为M ，由图可知经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标为（2，0）． 连接MC ，MD ，
∵MC 2=42+22=20，CD 2=42+22=20，MD 2=62+22=40， ∴MD 2=MC 2+CD 2，∴∠MCD=90°， 又∵MC 为半径，
∴直线CD 是⊙M 的切线．
故答案为：（2，0）；相切． 【点睛】
本题考查的直线与圆的位置关系，圆的切线的判定等知识，在网格和坐标系中巧妙地与圆的几何证明有机结合，较新颖．
14．计算：2(32)(2)b a a b -+-=______．
【答案】34a b -+
【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得，注意去括号时符号的变化．
【详解】解：2(32)(2)b a a b -+-=642b a a b -+-=34a b -+
故答案为：34a b -+.
【点睛】
此题考查了平面向量的运算．此题难度不大，注意掌握运算法则是解此题的关键．
15．已知：如图，△ABC 的面积为16，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，则△ADE 的面积为______．
【答案】4
【分析】根据三角形中位线的性质可得DE//BC ，
DE 1BC 2=，即可证明△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得答案.
【详解】∵点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，
∴DE 为△ABC 的中位线，
∴DE//BC ，DE 1BC 2
=， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴2ADE ABC S 1()S 2=△△=14
， ∵△ABC 的面积为16，
∴S △ADE =14
×16=4. 故答案为：4
【点睛】
本题考查三角形中位线的性质及相似三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.
16．有一块三角板ABC ，C ∠为直角，30ABC ∠=︒，将它放置在O 中，如图，点A 、B 在圆上，边BC 经过圆心O ，劣弧AB 的度数等于_______︒
【答案】1°
【分析】因为半径相等，根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求得AOB ∠，继而求得答案．
【详解】如图，连接OA ，
∵OA ，OB 为半径，
∴30OAB ABO ∠=∠=︒，
∴180120AOB OAB ABO ∠=︒-∠-∠=︒，
∴劣弧AB 的度数等于120︒，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握．
17．已知关于x 的方程230x kx ++=的一个根是1，则k 的值为
__________．
【答案】-1
【分析】根据一元二次方程的定义，把x=1代入方程230x kx ++=得关于k 的方程，然后解关于k 的方程即可．
【详解】解：把x=1代入方程230x kx ++=，
得：1+k+3=0，
解得：k=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 18．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，位似比为2：3，点B 、E 在第一象限，若点A 的坐标为（4，0），则点E 的坐标是_____．
【答案】（6，6）．
【分析】利用位似变换的概念和相似三角形的性质进行解答即可.
【详解】解：∵正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，位似比为2：3， ∴22,33OA OC OD OF ==，即4242,33OD OF == 解得，OD ＝6，OF ＝6，
则点E 的坐标为（6，6），
故答案为：（6，6）．
【点睛】
本题考查了相似三角形、正方形的性质以及位似变换的概念，掌握位似和相似的区别与联系是解答本题的关键.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为()1,1A -，()3,1B -，()1,4C -．
（1）将ABC 绕着点B 顺时针旋转90︒后得到11A BC ，请在图中画出11A BC ；
（2）若把线段BC 旋转过程中所扫过的扇形图形围成一个圆锥的侧面，求该圆锥底面圆的半径（结果保留根号）．
【答案】（1）见解析；（2）134
【分析】（1）先根据旋转变换确定A 1、B 1、C 1，然后顺次连接即可；
（2）线段BC 旋转过程中扫过的面积为扇形BCC 1的面积，然后求扇形的面积即可．
【详解】解：（1）如图所示，11A BC 所求；
（2）在Rt BAC 中，222313BC =+=
∵90132180
l r ππ⨯== ∴13r = 答：该圆锥底面圆的半径为
13． 【点睛】
本题考查了旋转变换以及扇形面积，根据旋转变换做出11A BC 是解答本题的关键．
20．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点,E F 为AD 的中点，连接CF 交BD 于点G ，且1EG =．
（1）求BD 的长；
（2）若2CDG S ∆=，求BCG S ∆．
【答案】（1）6；（2）4
【分析】（1）连接EF ，证明△EFG ∽△DCG ．推出12
EG EF DG CD ==，求出DE 即可解决问题． （2）由三角形的高相同，则三角形的面积之比等于底边之比，求出1CEG S ∆=，3BCE CDE S S ∆∆==，即可求出答案．
【详解】解：（1）连接EF ．
∵ABCD 是平行四边形，
∴点E 为BD 的中点．
∵F 为AD 的中点，
∴//EF CD ，且12
EF CD =． ∴EFG DCG ∆∆∽． ∴12
EG EF DG CD == ∵1EG =，
∴2DG =，
∴3DE =，
∴6BD =；
（2）∵1EG =，2DG =，2CDG S ∆=，
∴1CEG S ∆=，
∴3CDE S ∆=，
∵BE=DE ，
∴3BCE CDE S S ∆∆==
∴4BCG BCE CEG CDE CEG S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
【答案】（1）两次下降的百分率为10%；
（2）要使每月销售这种商品的利润达到110元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.1元．
【分析】（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；
（2）设每天要想获得 110 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可
【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x ．
40×（1﹣x ）2＝32.4
x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；
（2）设每天要想获得 110 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，
由题意，得
()4030y (448)5100.5y --⨯+= 解得：1y ＝1.1，2y ＝2.1，
∵有利于减少库存，∴y ＝2.1．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 110 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.1 元．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．
22．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，点P 从点A 出发，以每秒一个单位的速度沿A→B→C 的方向运动；同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D 的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t 秒．
（1）当t ＝ 时，两点停止运动；
（2）设△BPQ 的面积面积为S （平方单位）
①求S 与t 之间的函数关系式；
②求t 为何值时，△BPQ 面积最大，最大面积是多少？
【答案】（1）1；（2）①当0＜t ＜4时，S ＝﹣t 2+6t ，当4≤t ＜6时，S ＝﹣4t+2，当6＜t≤1时，S ＝t 2﹣10t+2，②t ＝3时，△PBQ 的面积最大，最大值为3
【分析】（1）求出点Q 的运动时间即可判断．
（2）①的三个时间段分别求出△PBQ的面积即可．
②利用①中结论，求出各个时间段的面积的最大值即可判断．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝6cm，
∴BC+AD＝14cm，
∴t＝14÷2＝1，
故答案为1．
（2）①当0＜t＜4时，S＝1
2
•（6﹣t
）×2t＝﹣t2+6t．
当4≤t＜6时，S＝
1
2
•（6﹣t）×8＝﹣4t+2．
当6＜t≤1时，S＝
1
2
（t﹣6）•（2t﹣8）＝t2﹣10t+2．
②当0＜t＜4时，S＝
1
2
•（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+3，
∵﹣1＜0，
∴t＝3时，△PBQ的面积最大，最小值为3．
当4≤t＜6时，S＝
1
2
•（6﹣t）×8＝﹣4t+2，
∵﹣4＜0，
∴t＝4时，△PBQ的面积最大，最大值为8，
当6＜t≤1时，S＝
1
2
（t﹣6）•（2t﹣8）＝t2﹣10t+2＝（t﹣5）2﹣1，
t＝1时，△PBQ的面积最大，最大值为3，
综上所述，t＝3时，△PBQ的面积最大，最大值为3．
【点睛】
本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，涉及了分类讨论的数学思想，灵活的利用二次函数的性质求三角形面积的最大值是解题的关键.
23．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAC=
2
5
，求CBD
ABC
S
S
∆
∆
的值．
【答案】（1）见解析 （2
）825 【分析】（1）首先连接OC ，由CD ⊥AB ，CF ⊥AF ，CF=CE ，即可判定AC 平分∠BAF ，由圆周角定理即可得∠BOC=2∠BAC ，则可证得∠BOC=∠BAF ，即可判定OC ∥AF ，即可证得CF 是⊙O 的切线．
（2）由垂径定理可得CE=DE ，即可得S △CBD =2S △CEB ，由△ABC ∽△CBE ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，易求得△CBE 与△ABC 的面积比，从而可求得
CBD ABC
S S ∆∆的值． 【详解】（1）证明：连接OC ．
∵CE ⊥AB ，CF ⊥AF ，CE=CF ，
∴AC 平分∠BAF ，即∠BAF=2∠BAC ．
∵∠BOC=2∠BAC ，∴∠BOC=∠BAF ．
∴OC ∥AF ．∴CF ⊥OC ．∴CF 是⊙O 的切线．
（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，
∴CE=ED ，∠ACB=∠BEC=90°．
∴S △CBD =2S △CEB ，∠BAC=∠BCE ．∴△ABC ∽△CBE ．
∴．∴．
24．如图，在△ABC 中，AB=AC ，CD 是AB 边上的中线，延长AB 到点E ，使BE=AB ，连接CE ．求证：CD= 12
CE ．
【答案】见解析
【解析】试题分析：作BF ∥AC 交EC 于F ，通过证明△FBC ≌△DBC ，得到CD=CF ，根据三角形中位线定理得到CF=12
CE ，等量代换得到答案． 试题解析：证明：作BF ∥AC 交EC 于F ．
∵BF∥AC，∴∠FBC=∠ACB．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠FBC=∠ABC．
∵BF∥AC，BE=AB，∴BF= 1
2AC，CF=
1
2
CE．
∵CD是AB边上的中线，∴BD=1
2
AB，∴BF=BD．
在△FBC和△DBC中，∵BF＝BD，∠FBC＝∠DBC，BC＝BC，∴△FBC≌△DBC，∴CD=CF，∴CD=1
2 CE．
点睛：本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键．
25．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，33，求AE的长．
【答案】（1）见解析（2）6
【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC.
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE 的长度.
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC
∴∠C+∠B=110°，∠ADF=∠DEC
∵∠AFD+∠AFE=110°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C
在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，
∴△ADF∽△DEC
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=1．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴AD AF
DE CD
，
∴AD CD DE 12
AF ⋅===
在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE 6===
26．某化工厂要在规定时间内搬运1200吨化工原料．现有A ，B 两种机器人可供选择，已知A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运30吨型，A 机器人搬运900吨所用的时间与B 型机器人搬运600吨所用的时间相等．
(1)求两种机器人每小时分别搬运多少吨化工原料．
(2)该工厂原计划同时使用这两种机器人搬运，工作一段时间后，A 型机器人又有了新的搬运任务需离开，但必须保证这批化工原料在11小时内全部搬运完毕．问A 型机器人至少工作几个小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成？
【答案】（1）A 型机器人每小时搬运90吨化工原料，B 型机器人每小时搬运60吨化工原料；（2）A 型机器人至少工作6小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成．
【分析】(1) 设B 型机器人每小时搬运x 吨化工原料，则A 型机器人每小时搬运(x+30)吨化工原料，根据A 型机器人搬运900吨所用的时间与B 型机器人搬运600吨所用的时间相等建立方程求出其解就可以得出结论.
(2) 设A 型机器人工作t 小时，根据这批化工原料在11小时内全部搬运完毕列出不等式求解．
【详解】解：（1）设B 型机器人每小时搬运x 吨化工原料，则A 型机器人每小时搬运()30x +吨化工原料， 根据题意，得
90060030x x
=+，解得60x =． 经检验，60x =是所列方程的解．
当60x =时，6090x +=．
答：A 型机器人每小时搬运90吨化工原料，B 型机器人每小时搬运60吨化工原料；
（2）设A 型机器人工作t 小时，
根据题意，得1200906011t -≤⨯，解得6t ≥．
答: A 型机器人至少工作6小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成．
【点睛】
本题考查的是分式方程应用题和列不等式求解问题，找相等关系式是解题关键，（1）根据A 型机器人搬运900千克所用的时间与B 型机器人搬运600千克所用的时间相等建立方程，分式方程应用题的解需要双检，一检是否是方程的根，二检是否符合题意；（2）总工作量-A 型机器人的工作量≤B 型机器人11小时的工作量，列不等式求解．
27．已知抛物线的顶点坐标是（1，－4），且经过点（0，－3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．
【答案】y=x 2－2 x －3
【分析】由于知道了顶点坐标是（1，－4），所以可设顶点式求解，即设y=a(x－1)2－4，然后把点（0，－3）代入即可求出系数a，从而求出解析式.
【详解】解：设y=a(x－1)2－4，
∵经过点（0，－3），
∴－3= a(0－1)2－4，
解得a=1
∴二次函数表达式为y=x2－2 x－3
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．若275x y z ==，设y A x y z =++，x z B y +=，x y z C x +-=，则A 、B 、C 的大小顺序为（ ） A ．A B C >>
B ．A B
C << C ．C A B >>
D ．A C B << 【答案】B
【分析】根据
275
x y z ==，设x=1a ，y=7a ，z=5a ，进而代入A ，B ，C 分别求出即可． 【详解】解：∵275x y z ==，设x=1a ，y=7a ，z=5a ， ∴y A x y z =++=712752
a a a a =++， x z B y +==257a a a
+=1， x y z C x +-==2752a a a a
+-=1． ∴A ＜B ＜C ．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x ，y ，z 的值进而求出是解题的关键． 2．已知关于x 的方程（m+4）x 2+2x ﹣3m ＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜﹣4
B ．m≠0
C ．m≠﹣4
D ．m ＞﹣4
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．
【详解】由题意可知：m+4≠0，
∴m≠﹣4，
故选：C ．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型． 3．如图，水平地面上有一面积为30πcm 2的灰色扇形OAB ，其中OA=6cm ，且OA 垂直于地面.将这个扇形向右滚动(无滑动)至点B 刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O 移动的距离是( )
A ．10πcm
B ．20πcm
C ．24πcm
D ．30πcm
【答案】A
【解析】如下图，在灰色扇形OAB 向右无滑动滚动过程中，点O 移动的距离等于线段A 1B 1的长度，而A 1B 1的长度等于灰色扇形OAB 中弧的长度l ，
∵S 扇形=113022
l r l OA π⋅=⨯=，OA=6， ∴10l π=（cm ），即点O 移动的距离等于：10πcm.
故选A.
点睛：在扇形沿直线无滑动滚动的过程中，由于圆心到圆上各点的距离都等于半径，所以此时圆心作的是平移运动，其平移的距离就等于扇形沿直线滚动的路程.
4．二次函数2(2)6=-++y x 图象的顶点坐标是（ ）
A ．(2,6)
B ．()2,6-
C ．(2,6)-
D ．(2,6)--
【答案】B
【解析】根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标．
【详解】∵二次函数y =﹣(x+2)2+6，
∴该函数的顶点坐标为(﹣2，6)，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线2y a(x h)k =-+的顶点坐标是()h k ，，对称轴是h x =．
5．已知点A （-2，m ），B （2，m ），C （3，m ﹣n ）（n ＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ） A ．y ＝x
B ．y ＝﹣2x
C ．y ＝x 2
D ．y ＝﹣x 2 【答案】D
【分析】可以采用排除法得出答案，由点A （-2，m ），B （2，m ）关于y 轴对称，于是排除选项A 、B ；再根据B （2，m ），C （3，m ﹣n ）（n ＞0）的特点和二次函数的性质，可知抛物线在对称轴的右侧呈下降趋势，所以抛物线的开口向下，即a<0.
【详解】解：∵A （-2，m ），B （2，m ）关于y 轴对称，且在同一个函数的图像上，
而y x =，2y x
=-的图象关于原点对称， ∴选项A 、B 错误，只能选C 、D ，
0n >，
m n m ∴-<；
∵()2,B m ，()3,C m n -在同一个函数的图像上，
而 y ＝x 2在y 轴右侧呈上升趋势，
∴选项C 错误，
而D 选项符合题意.
故选：D ．
【点睛】
本题考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，熟悉各个函数的图象和性质是解题的基础，发现点的坐标关系是解题的关键.
6．如图，ABC ∆中，//,2,3DE BC AD BD ==，则DE AE BC AC
=的值为（ ）
A ．2:3
B ．1:2
C ．3:5
D ．2:5
【答案】D 【解析】根据相似三角形的判定和性质，即可得到答案.
【详解】解：∵//DE BC ， ∴ADE ∆∽ABC ∆，
∴22235
DE AE AD AD BC AC AB AD DB =====++； 故选：D.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质.
7．已知关于x 的方程x 2﹣3x+2k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．k ＞98
B ．k ＜98
C ．k ＜﹣98
D ．k ＜89
【答案】B
【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4•2k ＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4•2k ＞0，
解得k ＜98
． 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的根的情况，解题的关键是熟知根的判别式．
8．将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三棱柱，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的左视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【分析】根据左视图的定义画出左视图即可得答案.
【详解】从左面看，是正方形，对面中间有一条看不见的棱，用虚线表示，
∴B 选项符合题意，
故选B.
【点睛】
此题主要考查了简单几何体的三视图，左视图是从左面看所得到的图形．
9．在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=2∠A ，则cosB 等于（ ）
A ．3
2 B ．1
2 C 3D ．3
3
【答案】B
【详解】解：∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠B=2∠A ，
∴∠A+2∠A=90°，
∴∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴cosB=1
2
故选B
【点睛】
本题考查三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
10．在平面直角坐标系中，将二次函数y =32x 的图象向左平移2个单位，所得图象的解析式为( ) A ．y =32x −2 B ．y =32x +2 C ．y =3()22x - D ．y =3()22x +
【答案】D
【分析】先确定抛物线y=3x1的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）向左平移1个单位所得对应点的坐标为（-1，0），然后利用顶点式写出新抛物线解析式即可．
【详解】解：抛物线y=3x1的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位所得对应点的坐标为（-1，0），
∴平移后的抛物线解析式为：y=3（x+1）1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
11．如图，⊙O是直角△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，点P是EPD 上任意一点（不与点E，D重合），则∠EPD＝（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】B
【分析】连接OE，OD，由切线的性质易证四边形OECD是矩形，则可得到∠EOD的度数，由圆周角定理进而可求出∠EPD的度数．
【详解】解：连接OE，OD，
∵⊙O是直角△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，
∴OE⊥BC，OD⊥AC，
∴∠C＝∠OEC＝∠ODC＝90°，
∴四边形OECD是矩形，
∴∠EOD＝90°，
∴∠EPD＝1
2
∠EOD＝45°，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了圆周角定理以及切线的性质等知识，得出∠EOD ＝90°是解题关键．
12．如图，在矩形ABCD 中，4,AB DE AC =⊥，垂足为E ，设ADE α∠=，且3cos 5
α=
，则AC 的长为（ ）
A ．3
B ．163
C ．203
D ．165
【答案】C 【分析】根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD ，然后求出AC ．
【详解】解：∵DE ⊥AC ，
∴∠ADE+∠CAD=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠ADE=α，
∵矩形ABCD 的对边AB ∥CD ， ∴∠BAC=∠ACD ，
∵cos α=35，35
AB AC ∴=， ∴AC=520433⨯=． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC 是解题的关键．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB CD ∥，2AB =米，5CD =米，点P 到CD 的距离是3米，则P 到AB 的距离是__________米.。