第2章 枚举

2.4 解不等式
2.4.1 分数不等式 案例提出： 案例提出：
1. 枚举设计要点 设和变量为s 递增变量为i 两者赋初值为0 设和变量为s，递增变量为i，两者赋初值为0。 s<=m1的条件循环中 根据递增变量i 的条件循环中， 在s<=m1的条件循环中，根据递增变量i对s累 加求和，直至出现s>m1退出循环，赋值c=i s>m1退出循环 c=i， 加求和，直至出现s>m1退出循环，赋值c=i，所得 解区间的下限。 c为n解区间的下限。 继续在s<=m2的条件循环中，根据递增变量i对 继续在s<=m2的条件循环中，根据递增变量i s<=m2的条件循环中 累加求和，直至出现s>m2退出循环， s>m2退出循环 s累加求和，直至出现s>m2退出循环，通过赋值 d=i所得d 解区间的上限。注意， d=i-1，所得d为n解区间的上限。注意，解的上限 d=i而不是i 是d=i-1，而不是i。 然后打印输出不等式的解区间[c,d] [c,d]。 然后打印输出不等式的解区间[c,d]。
2.5 求最值
2.5.2 整数的因数比 案例提出： 案例提出： 设整数a的小于其本身的因数之和为s 设整数a的小于其本身的因数之和为s，定义 p(a)=s/a 为整数a的因数比。 为整数a的因数比。 [x,y]中整数的因数比最大值 中整数的因数比最大值。 试求指定区间 [x,y]中整数的因数比最大值。
1. 枚举设计要点
为了求整数a的因数和s,显然1是因数。 为了求整数a的因数和s,显然1是因数。设置 s,显然 k(2——sqrt(a))循环枚举 如果k ——sqrt(a))循环枚举， 的因数， k(2——sqrt(a))循环枚举，如果k是a的因数， a/k也是 的因数。显然k≤a/k 也是a k≤a/k。 则a/k也是a的因数。显然k≤a/k。 如果a=b*b 显然k=b,a/k=b 此时k=a/k a=b*b， k=b,a/k=b， k=a/k。 如果a=b*b，显然k=b,a/k=b，此时k=a/k。 而因数b只有一个，所以此时必须从和s 而因数b只有一个，所以此时必须从和s中减去一 这样处理以避免重复。 个b，这样处理以避免重复。 设置max存储因数比最大值。 max存储因数比最大值 设置max存储因数比最大值。枚举区间内每 一整数a 求得其因数和s 通过s/a max比较求 s/a与 一整数a，求得其因数和s。通过s/a与max比较求 取因数比最大值。 取因数比最大值。
2.6 数组与数列
基于2x+3 2.6.2 基于2x+3y的递推数列
案例提出: 案例提出:
已知集合A定义如下: 已知集合A定义如下: 1∈A， （1）1∈A，2∈A x,y∈A且 （2）x,y∈A且x≠y => 2x+3y∈A 再无其他数属于A （3）再无其他数属于A。 试求集合A中元素从小到大排列序列的第n 试求集合A中元素从小到大排列序列的第n项。
1. 枚举设计要点
设置y从1开始递增1取值，对于每一个y值，计算 设置y 开始递增1取值，对于每一个y a=n*y*y后判别 后判别: a=n*y*y后判别: a+1为某一整数 的平方， (x,y)即为所求佩尔方程 为某一整数x 若a+1为某一整数x的平方，则(x,y)即为所求佩尔方程 的基本解。 的基本解。 a+1不是平方数 不是平方数， 后再试，直到找到解为止。 若a+1不是平方数，则y增1后再试，直到找到解为止。 应用以上枚举探求，如果解的位数不太大， 应用以上枚举探求，如果解的位数不太大，总可以求出 相应的基本解。 相应的基本解。 如果基本解太大，应用枚举无法找到基本解， 如果基本解太大，应用枚举无法找到基本解，可约定一 个枚举上限，例如10000000 可把y<=10000000 10000000。 y<=10000000作为循环条 个枚举上限，例如10000000。可把y<=10000000作为循环条 y>10000000时结束循环 输出“ 时结束循环， 件，当y>10000000时结束循环，输出“未求出该方程的基本 而结束。 解！”而结束。
1. 枚举设计要点 一般地， 一般地，设m，n为一位正整数，含有数字m且不能被 为一位正整数，含有数字m 整除的n位整数的个数为g1 这些整数的和为s1 g1， s1。 m整除的n位整数的个数为g1，这些整数的和为s1。 其中恰含2个数字m的整数的个数g2及其和s2 g2及其和s2。 其中恰含2个数字m的整数的个数g2及其和s2。
1. 枚举设计要点
设置a数组存储序列各项，a(t)为序列的第t 设置a数组存储序列各项，a(t)为序列的第t项。 为序列的第 显然a(1)=1,a(2)=2 a(1)=1,a(2)=2。 显然a(1)=1,a(2)=2。 为项数， t<n的条件循环中 变量k 的条件循环中， 设t为项数，在t<n的条件循环中，变量k从2开 始递增1取值。 始递增1取值。 可由已有的项a(j) a(j)， (j<i)推得 推得， 若k可由已有的项a(j)，a(i) (j<i)推得，即 满足k=2*a(j)+3*a(i) k=2*a(i)+3*a(j)， 若k满足k=2*a(j)+3*a(i) 或k=2*a(i)+3*a(j)， 说明k 数列中的一项，赋值给a(t) a(t)。 说明k是a数列中的一项，赋值给a(t)。 当项数t达到规定项数n 则退出循环， 当项数t达到规定项数n时，则退出循环，打印 输出a(n)后结束。 a(n)后结束 输出a(n)后结束。
2. 枚举设计描述 枚举设计描述
scanf("%lf,%lf",&x,&y); 枚举区间内的a for(a=x;a<=y;a++) // 枚举区间内的a {s=1;b=sqrt(a); 试商寻求a的因数k for(k=2;k<=b;k++) // 试商寻求a的因数k if(fmod(a,k)==0) s=s+k+a/k; s=sif(a==b*b) s=s-b; t=s/a; if(max<t) {max=t;a1=a;s1=s;} } printf(" %.0f,%.4f \n",a1,max);
2. 枚举设计描述 枚举设计描述
y=1; while(y<=10000000) { y++; // 设置y从1开始递增1枚举 设置y 开始递增1 a=n*y*y; x=floor(sqrt(a+1)); if(x*x==a+1) // 检测是否满足方程 y=%.0f\ { printf(" x=%.0f, y=%.0f\n",x,y); break; } }
2.2 统计与求和
2.2.1 指定特殊整数 案例提出： 案例提出： 试求含有数字7且不能被7整除的5 试求含有数字7且不能被7整除的5位整数的个 并求这些整数的和。 数，并求这些整数的和。 同时，求这些整数中恰含2个数字7 同时，求这些整数中恰含2个数字7的整数的个 以及这些整数的和。 数，以及这些整数的和。
3. 枚举的实施步骤
（1）根据问题的具体情况确定枚举量（简单变量 根据问题的具体情况确定枚举量（ 或数组）； 或数组）； （2）根据问题的具体实际确定枚举范围，设置枚 根据问题的具体实际确定枚举范围， 举循环； 举循环； 根据问题的具体要求确定筛选（约束）条件； （3）根据问题的具体要求确定筛选（约束）条件； 设计枚举程序并运行、调试， （4）设计枚举程序并运行、调试，对运行结果进 行分析与讨论。 行分析与讨论。
2. 枚举的框架描述
n=0; for(k=<区间下限>;k<=<区间上限 区间下限>;k<=<区间上限>;k++) for(k=<区间下限>;k<=<区间上限>;k++) // 控制枚举范围 if(<约束条件 约束条件>) if(<约束条件>) // 根据约束条件实施筛选 { printf(<满足要求的解>); // 输出解 printf(<满足要求的解>); 满足要求的解 n++; // 统计解的个数 }
2. 枚举设计描述 枚举设计描述 scanf("%d",&n); a[1]=1;a[2]=2;t=2;k=2; while(t<n) 枚举k是否为A {k++;h=0; // 枚举k是否为A集项 for(i=2;i<=t;i++) {for(j=1;j<=i{for(j=1;j<=i-1;j++)
2.3 解方程
2.3.1 解佩尔方程 案例提出： 案例提出： 佩尔(Pell)方程是关于x,y (Pell)方程是关于x,y的二次不定方程 佩尔(Pell)方程是关于x,y的二次不定方程
（其中n为非平方正整数） 其中n为非平方正整数） x=1或x=y=0时 显然满足方程。常把x,y 当x=1或x=-1，y=0时，显然满足方程。常把x,y 中有一个为零的解称为平凡解。 中有一个为零的解称为平凡解。我们要求佩尔方程 的非平凡解。 的非平凡解。
2. 枚举设计描述 枚举设计描述
scanf("%ld,%ld",&m1,&m2); i=0;s=0; while(s<=m1) {i=i+1;s=s+sqrt(i)/(i+1);} c=i; do {i=i+1;s=s+sqrt(i)/(i+1);} while(s<=m2); n”,c,iprintf(“ %ld≤n≤%ld \n”,c,i-1);
第2章
教学要求
枚 举
了解枚举算法的概念与枚举设计要领 了解枚举算法的概念与枚举设计要领 算法的概念与枚举设计 应用枚举求解统计求和与求最值等基本案例
本章重点
对某些枚举算法进行改进与优化 掌握枚举算法时间复杂度分析
2.1 枚举概述
1. 枚举的概念
(1) 枚举法（Enumerate）也称为列举法、穷举法， 枚举法（Enumerate）也称为列举法、穷举法， 是蛮力策略的体现，又称为蛮力法。 是蛮力策略的体现，又称为蛮力法。 (2) 枚举是一种简单而直接地解决问题的方法，其 枚举是一种简单而直接地解决问题的方法， 基本思想是逐一列举问题所涉及的所有情形 。 (3) 应用枚举时应注意对问题所涉及的有限种情形 进行一一列举，既不能重复，又不能遗漏。 进行一一列举，既不能重复，又不能遗漏。
2. 枚举设计描述 枚举设计描述
for(k=t;k<=10*t枚举每一个n for(k=t;k<=10*t-1;k&#lt;=9;j++) f[j]=0; for(j=1;j<=n;j++) { c=d%10; f[c]+=1; d=d/10; } if(f[m]>0 && k%m>0) {g1++;s1+=k;} if(f[m]==2 && k%m>0) {g2++;s2+=k;} }
if(k==2*a[j]+3*a[i] || k==2*a[i]+3*a[j])
{ h=1;t++;a[t]=k;} if(h==1) break;} } printf("
(1) 设置k循环，循环n-1次相乘求出最小的n位整数t。 设置k循环，循环n 次相乘求出最小的n位整数t 然后设置k 10*t- 循环，枚举所有n位整数。 然后设置k从t至10*t-1循环，枚举所有n位整数。 每个n位整数k赋给d(为了保持k不变) 然后通过n次求余先后分离出k d(为了保持 (2) 每个n位整数k赋给d(为了保持k不变)。然后通过n次求余先后分离出k 的数字c 并通过f(c)=f(c)+1统计数字c 的个数。 f(c)=f(c)+1统计数字 的数字c，并通过f(c)=f(c)+1统计数字c 的个数。 例如f(7)=2 说明k中恰含2个数字7 f(7)=2， f(3)>0，说明k中含有数字3 例如f(7)=2，说明k中恰含2个数字7；若f(3)>0，说明k中含有数字3。 k%m>0检测含有数字 且不能被m整除，g1与s1作统计求和 检测含有数字m 作统计求和。 (3) 据f(m)>0 && k%m>0检测含有数字m且不能被m整除，g1与s1作统计求和。 (4) 据f(m)＝2 && k%m>0检测恰含2个m且不能被m整除，g2与s2作统计求和。 f(m)＝ k%m>0检测恰含 检测恰含2 且不能被m整除，g2与s2作统计求和 作统计求和。