北师大版八年级数学下册暑假作业01-等腰三角形(含答案解析)

暑假作业01-等腰三角形一、单选题1.等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是（）．A.18B.21C.18或21D.13或182.如图所示，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为( )A.25°B.60°C.85°D.95°3.如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD于D，DE//AC，则图中的等腰三角形的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个4.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠B=∠DAC=30°，BD=2，则AC的长是（）√3A.√3B.2√2C.3D.325.如图所示，ΔABC中，AB=AC，CD=BE，BD=CF，则∠EDF=（）∠A C.180°−∠A D.45°+∠AA.90°−∠AB.90°−126.如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，△CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合条件的M 点有（）A.6个B.7个C.8个D.9个二、填空题7.如果等腰三角形的一个角比另一个角大30 ，那么它的顶角是_____度8.如图，在△ABC中，BC=BA，∠ABC=120°，BD⊥BC交AC于点D，BD=1，则AC的长为_________.9.如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O,且MN∥BC，若AB=12,AC=18,则△AMN的周长为_______.10.如图，△ABC为等边三角形，AG=DG,DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF。

则以下四个结论：①AE=AF；②AD平分∠BAC；③DG//AB；④△BED≌△GFD。

其中正确的有_________________________；（把正确答案的序号填写在横线上）三、解答题11.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，∠BCD＝∠A＝30°，BC＝4cm，求AD的长．12.如图，ΔABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，AC=CD=BD=BE，∠A=500，求∠BDE的度数．13.如图，在△ABO中，AD⊥OB于D,BC⊥OA于C,AD,BC交于点E,且OE平∠AOB求证：△AEB是等腰三角形14.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC，∠B＝60°，E是BC边上一点．（1）如图1，若E是BC的中点，∠AED＝60°，求证：CE＝CD；（2）如图2，若∠EAD＝60°，求证：△AED是等边三角形．暑假作业01-等腰三角形一、单选题1.等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是（）．A.18B.21C.18或21D.13或18【答案】C【解析】【分析】利用三角形的任意两边之和大于第三边，即等腰三角形的定义即可得出．【详解】解：由于三角形的任意两边之和大于第三边，由等腰三角形一边等于5，另一边等于8．当8为腰时，此三角形的周长=8+8+5=21．当5为腰时，此三角形的周长=8+5+5=18．故选C．【点睛】本题考查了三角形的任意两边之和大于第三边的性质、等腰三角形的定义及其周长，属于基础题．2.如图所示，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为( )A.25°B.60°C.85°D.95°【答案】D【解析】【分析】利用等边三角形的性质及三角形外角定理计算即可.【详解】∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∵∠DBC＝35°，∴∠ADB=∠C+∠DBC=60°+35°=95°，故选D.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角定理，熟练掌握等边三角形性质及外角定理是解题的关键. 3.如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD于D，DE//AC，则图中的等腰三角形的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】【分析】利用角平分线的定义和平行线的性质得出∠2=∠3，说明△ADE是等腰三角形；结合等角的余角相等，得出∠B=∠BDE，说明△BDE是等腰三角形．【详解】如图：∵DE∥AC，∴∠1=∠3，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，故△ADE是等腰三角形；又∵AD⊥BD，∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，∴∠B=∠BDE，∴△BDE是等腰三角形．综止：△ADE和△BDE是等腰三角形，等腰三角形的个数有2个.故选C．【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定以及平行线的相关性质，等角的余角相等是正确解答本题的关键.4.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠B=∠DAC=30°，BD=2，则AC的长是（）√3A.√3B.2√2C.3D.32【答案】A【解析】【分析】先利用等角对等边和直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半得到AD=2，CD=1，再由勾股定理即可求得AC.【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵∠DAC=30°，∴∠DAB=∠CAB−∠CAD=30°，AD=1，∴AD=BD=2，CD=12∴AC=√AD2−CD2=√22−12=√3故选：A．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．属基础题．5.如图所示，ΔABC中，AB=AC，CD=BE，BD=CF，则∠EDF=（）∠A C.180°−∠A D.45°+∠AA.90°−∠AB.90°−12【答案】B【解析】【分析】由题中条件可得△BDE≌△CFD，即∠BDE=∠CFD，∠EDF可由180°与∠BDE、∠CDF的差表示，进而求解即可．【详解】解：∵AB=BC，∴∠B=∠C，∵BD=CF，BE=CD，∴ΔBDE≌ΔCFD，∴∠BDE=∠CFD，∴∠EDF=180°−(∠BDE+∠CDF)=180°−(∠CFD+∠CDF)=180°−(180°−∠C)=∠C∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+2∠EDF=180°，∴∠EDF=90°−1∠A.2故选B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．6.如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，△CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合条件的M 点有（）A.6个B.7个C.8个D.9个【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．【详解】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；∴符合条件的点有8个．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．二、填空题7.如果等腰三角形的一个角比另一个角大30 ，那么它的顶角是_____度【答案】80°或40°【解析】【分析】根据已知条件，先设出三角形的两个角，然后进行讨论，即可得出顶角的度数．【详解】①较大的角为顶角，设这个角为x，则：x＋2（x−30）＝180x＝80；②较大的角为底角，设顶角为y°，则：y＋2（y＋30）＝180y＝40，故填：80°或40°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．8.如图，在△ABC中，BC=BA，∠ABC=120°，BD⊥BC交AC于点D，BD=1，则AC的长为_________.【答案】3【解析】【分析】由BC=BA，∠ABC=120°，求得∠A＝∠C=30°，由BD⊥BC，求得CD的长，从而得到答案.【详解】∵BC=BA，∠ABC=120°，∴∠A＝∠C=30°，∴AD=BD=1∵BD⊥BC，∠C=30°，∴CD=2BD=2∴AC=AD+DC=1+2=3故答案为：3【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，30°角所对直角边等于斜边一半.9.如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O,且MN∥BC，若AB=12,AC=18,则△AMN的周长为_______.【答案】30【解析】【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，可得出MO=MB，NO=NC，所以三角形AMN的周长是AB+AC．【详解】∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，∴MO=MB，NO=NC，∵AB=12，AC=18，∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AB+AC=12+18=30．故答案是：30．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识要熟练掌握．10.如图，△ABC为等边三角形，AG=DG,DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF。

则以下四个结论：①AE=AF；②AD平分∠BAC；③DG//AB；④△BED≌△GFD。

其中正确的有_________________________；（把正确答案的序号填写在横线上）【答案】①②③④【解析】【分析】根据HL即可证明Rt△AED≌Rt△AFD，即可推出①；根据角平分线性质即可推出②；根据等边三角形的性质及外角性质即可推出③；根据AAS即可推出④.【详解】在Rt△AED和Rt△AFD中{AD=ADDE=DF∴Rt△AED≌Rt△AFD∴AE=AF,①正确；△DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF，∴AD平分∠BAC，∴②正确；△△ABC△△△△△△∴∠BAC=∠B=∠C=60°△AG=DG∴∠CAD=∠ADG=12∠BAC=30°∴∠DGC=∠BAC=60°∴DG∥AB,③正确；在△BED和△GFD中{∠DEB=∠DFG=90°∠B=∠FGD=60°DE=DF∴△BED≌△GFD,④正确.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.三、解答题11.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，∠BCD＝∠A＝30°，BC＝4cm，求AD的长．【答案】6cm．【解析】【分析】根据含30度角的直角三角形性质求出BC和BD，再相减即可．【详解】∵△ABC中∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，∠B=60°，∵∠BCD=∠A=30°，∴∠B+∠BCD=60°+30°=90°，∴∠CDB=90°，BC=2cm，∴BD=12∴AD=AB-BD=8cm-2cm=6cm．【点睛】此题考查含30度角的直角三角形性质的应用，解题关键在于掌握在直角三角形中，如果有一个角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．12.如图，ΔABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，AC=CD=BD=BE，∠A=500，求∠BDE的度数．【答案】77.5°【解析】【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理即可求出∠BDE．【详解】解：因为AC=CD所以∠ADC=∠A=500，因为CD=BD，×500=250所以∠B=∠BCD=12因为BD=BE，×(1800−250)=77.50．所以∠BDE=∠BED=12【点睛】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．13.如图，在△ABO中，AD⊥OB于D,BC⊥OA于C,AD,BC交于点E,且OE平∠AOB求证：△AEB是等腰三角形【答案】见解析【解析】【分析】根据角平分线性质推出DE=CE，证△ACE≌△BDE，推出AE=BE即可．【详解】∵AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD，BC交于点E，且OE平∠AOB，∴∠ACE=∠BDE=90°，CE=DE，在△ACE和△BDE中，{∠ACE=∠BDECE=DE∠AEC=∠BED，∴△ACE≌△BDE，∴AE=BE，∴△AEB是等腰三角形．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是通过ASA证明三角形全等，从而得到AE=BE．14.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC，∠B＝60°，E是BC边上一点．（1）如图1，若E是BC的中点，∠AED＝60°，求证：CE＝CD；（2）如图2，若∠EAD＝60°，求证：△AED是等边三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据AB＝BC，∠B＝60°得三角形ABC为等边三角形，再根据等边三角形的性质得AE⊥BC，进而证明∠EDC＝∠DEC 即可；（2）连接AC，根据两条线平行，同旁内角互补和三角形内角和定理得∠ADC＝120°﹣∠BAE，∠AEB＝120°﹣∠BAE，即可证明△ABE≌△ACD，进而得结论．【详解】（1）∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°＝∠BAC，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∵∠AED＝60°，∴∠DEC＝30°，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝60°，∴∠ECD＝∠ACE+∠ACD＝120°，∴∠CDE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠CED＝∠CDE，∴CE＝CD．（2）如图：连接AC，∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∵∠EAD＝60°，∴∠ADC＝180°﹣∠EAD﹣∠EAB＝120°﹣∠EAB．在△ABE中，∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠EAB＝120°﹣∠EAB，∴∠AEB＝∠ADC，∵∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠DAC，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AE＝AD，∠EAD＝60°，∴△AED是等边三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是准确作辅助线．。