新人教版高中数学1-2《任意角的三角函数》教案(2)必修四

任意角的三角函数（2）
教学目的：
知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；
3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、
值域有更深的理解。

德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。

教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。

授课类型：新授课 教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
1．三角函数的定义及定义域、值域：
练习1：已知角α的终边上一点(3,)P m -，且2sin 4
m
α=，求cos ,sin αα的值。

解：
2．三角函数的符号：
练习2：已知sin 0α<且tan 0α>， （1）求角α的集合；（2）求角2α终边所在的象限；（3）试判断tan ,sin cos 222
ααα的符号。

3．诱导公式：
练习3：求下列三角函数的值： （1）9cos
4π， （2）11tan()6π-， （3）9sin 2
π
．
二、讲解新课：
当角的终边上一点(,)P x y 的坐标满足22
1x y +=时，有三角函数正弦、余弦、正切
值的几何表示——三角函数线。

1．单位圆：圆心在圆点O ，半径等于单位长的圆叫做单位圆。

2．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

3．三角函数线的定义：
设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点
P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向
延
长线交与点T .
o x y M T
P A o x y M T
P A
x
y o M T
P A
x y
o M T P A （Ⅳ） （Ⅱ） （Ⅰ） （Ⅲ）
由四个图看出：
当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有
sin 1y y y MP r α=
===， cos 1x x
x OM r α====， tan y MP AT
AT x OM OA
α====．
我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

说明：
①三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦 线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单
位
圆内，一条在单位圆外。

②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向
垂
足；正切线由切点指向与α的终边的交点。

③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向
的 为负值。

④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

4．例题分析：
例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。

（1）
3π； （2）56π； （3）23π-； （4）136
π
-．
解：图略。

例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1︒ 32sin π与5
4sin π
2︒ tan 32π与tan 54π 3︒ c ot 32π与
cot
5
4π
解：
A B
o T 2 T 1
S 2 S 1 P 2 P 1
例3．利用单位圆寻找适合下列条件的0︒到360︒的角
1︒ sin α≥
21 2︒ tan α>3
3 解： 1︒
2︒
30︒≤α≤150︒ 30︒<α<90︒或210︒<α<270︒
例4．利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围。

（1）1sin 2x <-
； （2）1
cos 2
x >； （3）1
0,sin 2
x x π<<>且1cos 2x <；
（4）1|cos |2x ≤； （5）1
sin 2
x ≥且tan 1x ≤-．
答案：
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．三角函数线的定义；
2．会画任意角的三角函数线；
3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。

五、课后作业：
补充：1．利用余弦线比较cos64,cos 285的大小；
2．若
4
2
π
π
θ<<
，则比较sin θ、cos θ、tan θ的大小；
3．分别根据下列条件，写出角θ的取值范围：
（1）3cos 2θ< ； （2）tan 1θ>- ； （3）3sin 2
θ>-． 六、板书设计：
x y o P 1 P 2 x y o T
A 210︒ 30︒
仅此学习交流之用
谢谢。