东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(理科).docx

2016年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理科）
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|}，则A∩B=（）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）
2．的虚部为（）
A．2 B．﹣2 C．﹣2i D．2i
3．已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（）
A．2B．C．2 D．4
4．下列函数中与f（x）=2x+2﹣x具有相同的奇偶性的是（）
A．y=sinx B．y=x2+x+1 C．y=|x|D．y=|lgx|
5．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐．若要求甲、乙两人每人的两旁都空座．则有多少种坐法（）
A．10 B．16 C．20 D．24
6．执行如图的程序框图，则输出的S=（）
A．21 B．34 C．55 D．89
7．已知，则cos2α=（）
A．1 B．﹣1 C．D．0
8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（）
A．B．C．D．
9．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对
称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）
A．0 B．﹣1 C．﹣D．﹣
10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐
近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．2
11．已知底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD内接于半径为1的球，顶点P在底面ABCD上的射影是ABCD的中心，当四棱锥P﹣ABCD的体积最大时，四棱锥的高为（）
A．B．1 C．D．
12．已知f（x）=，g（x）=﹣x2﹣x+2（﹣4≤x
≤4）给出下列四个命题：
①函数y=f[g（x）]有且只有三个零点；②函数y=g[f（x）]有且只有三个零点；
③函数y=f[f（x）]有且只有六个零点；④函数y=g[g（x）]有且只有一个零点．
其中正确命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）
13．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为______．
14．F1，F2分别为椭圆=1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且=（+），
=（+），则||+||______．
15．在一幢10m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为30°，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为______m．
16．设G是一个非空集合，*是定义在G上的一个运算．如果同时满足下述四个条件：（ⅰ）对于∀a，b∈G，都有a*b∈G；
（ⅱ）对于∀a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）；
（iii）对于∀a∈G，∃e∈G，使得a*e=e*a=a；
（iv）对于∀a∈G，∃a'∈G，使得a*a′=a′*a=e（注：“e”同（iii）中的“e”）．
则称G关于运算*构成一个群．现给出下列集合和运算：
①G是整数集合，*为加法；②G是奇数集合，*为乘法；③G是平面向量集合，*为数量积运算；④G是非零复数集合，*为乘法．其中G关于运算*构成群的序号是______（将你认为正确的序号都写上）．
三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知数列{a n}满足，且数列{a n}的每一项加上1后成为等比数列．
（Ⅰ）求{a n}；
（Ⅱ）令b n=|log2（a n+1）|，求数列{b n}的前n项和T n．
18．某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：
男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．
女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．
（Ⅰ）求男生跳远成绩的中位数；
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从男、女生中共抽取5人，求抽取的5人中女生人数；（Ⅲ）若从男、女生测试成绩“合格”的学生中选取2名参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．
19．如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=4，M为CE中点，现将梯形ABCD沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面ADFE；
（Ⅱ）求二面角M﹣NA﹣F的余弦值．
20．曲线上任意一点为A，点B（2，0）为线段AC的中点．
（Ⅰ）求动点C的轨迹f（x）的方程；
（Ⅱ）过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M、N两点，在圆x2+y2=1上是否存在一点P，使得PM、PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）=e1﹣x cosx，a∈R．
（Ⅰ）判断函数f（x）在上的单调性；
（Ⅱ）证明：∀x∈[﹣1，]，总有f（﹣x﹣1）+2f′（x）•cos（x+1）＞0．
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]
22．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．
（1）求证：AB•MD=AD•BM；
（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．
（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；
（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．
（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；
（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．
2016年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|}，则A∩B=（）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）
【考点】交集及其运算．
【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出两集合，求出A与B的交集即可．
【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），集合B={x|}=（﹣1，2），
则A∩B=（﹣1，2），
故选：B．
2．的虚部为（）
A．2 B．﹣2 C．﹣2i D．2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi的形式，即可得到复数的虚部．
【解答】解：==1+2i，
故虚部是2，
故选：A．
3．已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（）
A．2B．C．2 D．4
【考点】向量的模．
【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可．
【解答】解：向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=|（2，1）|=．
故选：B．
4．下列函数中与f（x）=2x+2﹣x具有相同的奇偶性的是（）
A．y=sinx B．y=x2+x+1 C．y=|x|D．y=|lgx|
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】利用定义判断f（x）和选项中函数的奇偶性，得出结论．
【解答】解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），
∴f（x）是偶函数．
对于A，y=sinx是奇函数，
对于B，y=x2+x+1的对称轴为x=﹣，∴y=x2+x+1非奇非偶函数，
对于C，|﹣x|=|x|，∴y=|x|是偶函数，
对于D，y=|lgx|的定义域为（0，+∞），故y=|lgx|为非奇非偶函数．
故选：C．
5．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐．若要求甲、乙两人每人的两旁都空座．则有多少种坐法（）
A．10 B．16 C．20 D．24
【考点】计数原理的应用．
【分析】有9个座位，现有3个人入座，则有6个空位，因而可以采用插空法求解
【解答】解：有8个座位，现有2个人入座，则有6个空位，因而可以采用插空法求解，∵要求入座的每人左右均有空位，
∴6个座位之间形成5个空，安排2个人入座即可
∴不同的坐法种数为A52=20，
故选：C．
6．执行如图的程序框图，则输出的S=（）
A．21 B．34 C．55 D．89
【考点】程序框图．
【分析】经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可．
【解答】解：模拟执行程序，可得
S=1，Q=1，i=3
满足条件i≤10，F=2，Q=1，S=2，i=4
满足条件i≤10，F=3，Q=2，S=3，i=5
满足条件i≤10，F=5，Q=3，S=5，i=6
满足条件i≤10，F=8，Q=5，S=8，i=7
满足条件i≤10，F=13，Q=8，S=13，i=8
满足条件i≤10，F=21，Q=13，S=21，i=9
满足条件i≤10，F=34，Q=21，S=34，i=10
满足条件i≤10，F=55，Q=34，S=55，i=11
不满足条件i≤10，退出循环，输出S的值为55．
故选：C．
7．已知，则cos2α=（）
A．1 B．﹣1 C．D．0
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】由所给等式得到|sinα|=|cosα|=，由二倍角公式得到结果．
【解答】解：∵，
∴cosα﹣sinα=cosα﹣sinα，
∴cosα=﹣sinα，
∴|sinα|=|cosα|=，
则cos2α=2cos2α﹣1=0，
故选：D
8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（）
A．B．C．D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】直接利用三视图的定义，判断选项即可．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥P﹣A1B1A的左视图中，B1、A1、A 的射影分别是C1、D1、D．
故选D．
9．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对
称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）
A．0 B．﹣1 C．﹣D．﹣
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由函数图象变换以及诱导公式和偶函数可得φ值，可得函数解析式，由三角函数区间的最值可得．
【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后得到y=sin[2（x﹣）
+φ）]=sin（2x+φ﹣）的图象，
∵图象关于y轴对称，∴由诱导公式和偶函数可得φ﹣=kπ+，解得φ=kπ+，k∈
Z，
由|φ|＜可得当k=﹣1时φ=﹣，故f（x）=sin（2x﹣），
由x∈[0，]可得2x﹣∈[﹣，]，
∴当2x﹣=﹣即x=0时，函数f（x）在[0，]上取最小值sin（﹣）=﹣，
故选：D．
10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐
近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的
距离为b，即为圆F的半径，再由MF垂直于x轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．
【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，
可得F到渐近线的距离为=b，
即有圆F的半径为b，
令x=c，可得y=±b=±，
由题意可得=b，
即a=b，c==a，
即离心率e==，
故选C．
11．已知底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD内接于半径为1的球，顶点P在底面ABCD上的射影是ABCD的中心，当四棱锥P﹣ABCD的体积最大时，四棱锥的高为（）
A．B．1 C．D．
【考点】棱锥的结构特征．
【分析】设正方形的边长为2a，四棱锥的高为h，则由射影定理可得2a2=h（2﹣h），四棱
锥P﹣ABCD的体积V=×4a2h=h2（2﹣h），变形利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：设正方形的边长为2a，四棱锥的高为h，则由射影定理可得2a2=h（2﹣h），
四棱锥P﹣ABCD的体积V=×4a2h=h2（2﹣h）=≤
=，
当且仅当h=4﹣2h，即h=时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大，
故选：．
12．已知f（x）=，g（x）=﹣x2﹣x+2（﹣4≤x
≤4）给出下列四个命题：
①函数y=f[g（x）]有且只有三个零点；②函数y=g[f（x）]有且只有三个零点；
③函数y=f[f（x）]有且只有六个零点；④函数y=g[g（x）]有且只有一个零点．
其中正确命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】分别求出f（x），g（x）的单调性与值域，利用函数的单调性得出复合函数的单调性，即可得出零点个数．
【解答】解：f（x）在[﹣4，﹣1]上是增函数，在（﹣1，1]上是减函数，在[1，4]是增函数，
且f（﹣4）=﹣4，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（4）=4．
∴f（x）在区间（﹣4，﹣1），（﹣1，1），（1，4）上各有1个零点，且f（x）的值域为[﹣4，4]．
设f（x）的三个零点分别为x1，x2，x3，∵f（﹣3）=log22﹣＜0，f（﹣2）=log23﹣＞0，
∴﹣3＜x1＜﹣2，令2|x﹣1|﹣2=0得x2=0，x3=1．
作出f（x）的大致函数图象如图所示：
做出y=g（x）的函数图象如图所示：
显然g（x）在[﹣4，4]上为减函数，且g（x）的值域为[﹣4，4]．
令g（x）=0得x=4﹣4，故g（x）的零点为4﹣4．
（1）设f[f（x）]=0，则f（x）=x1，或f（x）=0，或f（x）=2．
∵﹣3＜x1＜﹣2，
由y=f（x）的函数图象可知f（x）=x1只有一解，f（x）=0有三解，f（x）=2有两解，
∴f[f（x）]有六个零点，故③正确．
（2）设f[g（x）]=0则g（x）=x1或g（x）=0或g（x）=2，
显然以上方程各有一解，∴f[g（x）]由三个零点，故①正确．
（3）设g[f（x）]=0，则f（x）=4﹣4，
∵0，由f（x）的函数图象可知f（x）=4﹣4有三个解，
∴g[f（x）]有三个零点，故②正确．
（4）设g[g（x）]=0，则g（x）=4﹣4，
由g（x）的函数图象可知g（x）=4有一解，
∴g[g（x）]有一个零点，故④正确．
故选：D．
二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）
13．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为4．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z
的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得C（2，0）
将C（2，0）的坐标代入目标函数z=2x+y，
得z=2×2+0=4．即z=2x+y的最大值为4．
故答案为：4．
14．F1，F2分别为椭圆=1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且=（+），
=（+），则||+|| 6．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】求得椭圆的a=6，运用椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，由向量的中点表示形式，可得B为AF1的中点，C为AF2的中点，运用中位线定理和椭圆定义，即可得到所求值．
【解答】解：椭圆=1的a=6，
由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，
=（+），可得B为AF1的中点，
=（+），可得C为AF2的中点，
由中位线定理可得|OB|=|AF2|，
|OC|=|AF1|，
即有||+||=（|AF1|+|AF2|）=a=6，
故答案为：6．
15．在一幢10m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为30°，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为40m．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】作出图示，利用30°角的性质和勾股定理依次求出BC，CE，AC，AE，则AB=AE+BE．【解答】解：如图所示，过房屋顶C作塔AB的垂线CE，垂足为E，则CD=10，∠ACE=60°，∠BCE=30°，
∴BE=CD=10，BC=2CD=20，EC=BD=．
∵∠ACE=60°，∠AEC=90°，
∴AC=2CE=20，
∴AE==30．
∴AB=AE+BE=30+10=40．
故答案为：40．
16．设G是一个非空集合，*是定义在G上的一个运算．如果同时满足下述四个条件：（ⅰ）对于∀a，b∈G，都有a*b∈G；
（ⅱ）对于∀a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）；
（iii）对于∀a∈G，∃e∈G，使得a*e=e*a=a；
（iv）对于∀a∈G，∃a'∈G，使得a*a′=a′*a=e（注：“e”同（iii）中的“e”）．
则称G关于运算*构成一个群．现给出下列集合和运算：
①G是整数集合，*为加法；②G是奇数集合，*为乘法；③G是平面向量集合，*为数量积运算；④G是非零复数集合，*为乘法．其中G关于运算*构成群的序号是①④（将你认为正确的序号都写上）．
【考点】进行简单的合情推理．
【分析】逐一检验给出的集合与运算是否满足运算*构成群的定义中的两个条件，把满足运算*构成群的定义的找出来．
【解答】解：①若G是整数集合，则（i）两个整数相加仍为整数；（ⅱ）整数加法满足结合律；（iii）∃0∈G，∀a∈G，则）0+a=a+0=a；（iv）∀a∈G，在整数集合中存在唯一一个b=﹣a，使a+（﹣a）=（﹣a）+a=0；故整数集合关于运算*构成一个群；
②G是奇数集合，*为乘法，则e=1，不满足（iv）；
③G是平面向量集合，*为数量积运算，则不满足（i）a*b∈G；
④G是非零复数集合，*为乘法，则（i）两个非零复数相乘仍为非零复数；（ⅱ）非零复数相乘符合结合律；（iii）∃1∈G，∀a∈G，则）1×a=a×1=a；（iv）∀a∈G，在G中存在
唯一一个，使．
故答案为：①④．
三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知数列{a n}满足，且数列{a n}的每一项加上1后成为等比数列．
（Ⅰ）求{a n}；
（Ⅱ）令b n=|log2（a n+1）|，求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（I）利用数列{a n+1}是等比数列可知a1+1=512、，进而可知数
列{a n+1}是以512为首项、为公比的等比数列，计算即得结论；
（II）通过（I）可知b n=|11﹣2n|，分n≤5和n≥6两种情况讨论即可．
【解答】解：（I）由题意，数列{a n+1}是等比数列，设公比为q，
则a1+1=512，，
∴，即数列{a n+1}是以512为首项、为公比的等比数列，
所以，；
（II）由（I）可知b n=|11﹣2n|，
当，
当，
故．
18．某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：
男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．
女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．
（Ⅰ）求男生跳远成绩的中位数；
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从男、女生中共抽取5人，求抽取的5人中女生人数；（Ⅲ）若从男、女生测试成绩“合格”的学生中选取2名参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（I）利用茎叶图能求出男生跳远成绩的中位数．
（Ⅱ）用分层抽样的方法，求出每个运动员被抽中的概率，根据茎叶图，女生有18人，由此能求出抽取的女生的人数．
（Ⅲ）依题意，男生、女生测试成绩合格的分别有8人、10人，X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
【解答】解：（I）利用茎叶图，得男生跳远成绩的中位数（cm）．…
（Ⅱ）用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是，…
根据茎叶图，女生有18人，
∴抽取的女生有（人）；…
（Ⅲ）依题意，男生、女生测试成绩合格的分别有8人、10人…
X的取值为0，1，2，
则，
，
，…
X的分布列如下：
X 0 1 2
P
…
∴EX==．…
19．如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=4，M为CE中点，现将梯形ABCD沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面ADFE；
（Ⅱ）求二面角M﹣NA﹣F的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）连接ED，MN∥ED，根据线面平行的判定定理即可证明：MN∥平面ADFE；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角M﹣NA﹣F的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）连接ED，MN∥ED，
又MN⊄平面EFDA，ED⊂平面EFDA
所以MN∥平面EFDA
（Ⅱ）由题意平面EFDA⊥平面EFCB，平面EFDA∩平面EFCB=EF，CF⊥EF，CF⊂平面EFCB
所以CF⊥平面EFDA，
以F为坐标原点，FE方向为x轴，FD方向为y轴，FC方向为Z轴，建立空间直角坐标系．由题意F（0，0，0），E（2，0，0），C（0，0，2），D（0，2，0），M（1，0，1），N（0，1，1），A（2，1，0），
设平面AMN的法向量为=（x，y，z），
则=（﹣1，﹣1，1），=（﹣2，0，1），
则•=﹣x﹣y+z=0，•=﹣2x+z=0，
令x=1，则z=2，y=1，即平面AMN的法向量为，=（1，1，2），
同理得平面AFN的法向量为=（1，﹣2，2），
设所求的二面角为θ
则|cosθ|=||=，
又所求二面角为锐角，）
所以求二面角的余弦值为．
20．曲线上任意一点为A，点B（2，0）为线段AC的中点．
（Ⅰ）求动点C的轨迹f（x）的方程；
（Ⅱ）过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M、N两点，在圆x2+y2=1上是否存在一点P，使得PM、PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）设出C，A的坐标，利用中点坐标公式把A的坐标用C的坐标表示，然后代入曲线方程求得动点C的轨迹方程；
（Ⅱ）假设存在点P（x0，y0），使得PM、PN分别为轨迹E的切线，设出M，N的坐标及直线MN的方程，联立直线方程与抛物线方程，得到M，N的横坐标的和与积，然后分别
写出过M，N的切线方程，知x1，x2是方程的两根，进一步求得P的
坐标，则可求得轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积．
【解答】解：（Ⅰ）设C（x，y），A（m，n），则，
∴，
又，
∴所求方程为x2=4y；
（Ⅱ）假设存在点P（x0，y0），使得PM、PN分别为轨迹E的切线，
设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为y=kx+1，
联立，
得x2﹣4kx﹣4=0，
则，
切线PM的方程为，
点P（x0，y0）代入化简得．
同理得，
知x1，x2是方程的两根，
则x1x2=4y0=﹣4．
∴y0=﹣1，代入圆方程得x0=0，
∴存在点P（0，﹣1）．
此时轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积：
S==1．
21．已知函数f（x）=e1﹣x cosx，a∈R．
（Ⅰ）判断函数f（x）在上的单调性；
（Ⅱ）证明：∀x∈[﹣1，]，总有f（﹣x﹣1）+2f′（x）•cos（x+1）＞0．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，根据x的范围，判断出f′（x）的符号，从而求出函数的单调性；
（Ⅱ）问题转化为证明，在上恒成立，构造函
数，，求出g（x）的导数，判断出函数的
单调性，从而证出结论．
【解答】解：（I）由题f'（x）=﹣e1﹣x（cosx）﹣e1﹣x sinx=﹣e1﹣x（sinx+cosx）…
因为
所以f'（x）＜0…
所以函数f（x）在上单调递减…
（II）f（﹣x﹣1）=e x+2•cos（﹣x﹣1）=e x+2•cos（x+1）．
而2f'（x）•cos（x+1）=﹣2e1﹣x（sinx+cosx）•cos（x+1），…
又因为，所以cos（x+1）＞0．…
要证原不等式成立，只要证e x+2﹣2e1﹣x（sinx+cosx）＞0，
只要证e x+2＞2e1﹣x（sinx+cosx），
只要证，在上恒成立．…
首先构造函数，，
因为=，
可得，在x∈[﹣1，0]时，g'（x）≤0，即g（x）在[﹣1，0]上是减函数，
在时，g'（x）＞0，即g（x）在上是增函数，…
所以，在上，g（x）min=g（0）=0，所以g（x）≥0．
所以，，等号成立当且仅当x=0时．…
其次构造函数h（x）=e2x+1﹣（2x+2），，
因为h'（x）=2e2x+1﹣2=2（e2x+1﹣1），
可见时，h'（x）≤0，即h（x）在上是减函数，
时，h'（x）＞0，即h（x）在上是增函数，
所以在上，，所以h（x）≥0，
所以，e2x+1≥2x+2，等号成立当且仅当时．…
综上所述，，
因为取等条件并不一致，
所以，在上恒成立，
所以，总有f（﹣x﹣1）+2f'（x）•cos（x+1）＞0成立．…
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]
22．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．
（1）求证：AB•MD=AD•BM；
（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．
【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质、角分线定理，即可证明结论；
（2）证明∠PBC=∠BCA，利用∠PBC=∠BAC，证明∠BAC=∠BCA，即可得出结论．【解答】证明：（1）由BC=CD可知，∠BAC=∠DAC，
由角分线定理可知，=，即AB•MD=AD•BM得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）由CP•MD=CB•BM，
可知=，又因为BC=CD，所以=
所以PB∥AC．所以∠PBC=∠BCA
又因为∠PBC=∠BAC
所以∠BAC=∠BCA
所以AB=BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．
（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；
（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；
（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．
【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．
∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．
∵F（﹣2，0）在直线l上，
∴直线l的参数方程为（t为参数）．
将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0，
∴|FA|•|FB|=|t1t2|=2．
（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y＜2），
则x2+3y2=12，∴x=．
∴P=4x+4y=4+4y．
令f（y）=4+4y，则f′（y）=．
令f′（y）=0得y=1，
当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．
∴当y=1时，f（y）取得最大值16．
∴P的最大值为16．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．
（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；
（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．
【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，
∴T=（﹣∞，1]；
（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，
不等式•≥t恒成立，
只需•≥t max，
所以•≥1，
又因为m＞1，n＞1，
所以＞0，＞0，
又1≤•≤=（=时取“=”），
所以≥4，
所以≥2，mn≥9，
所以m+n≥2≥6，
即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．
2016年9月22日。