高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用课件新人教A版必修4

π ,那么单摆来回摆动一次
间t(s)的函数关系式为s=6sin
2π +
6
所需的时间为(
)
A.2π s B.π s
C.0.5 s D.1 s
1
2
解析:单摆来回摆动一次所需的时间即为函数s=6sin
2π
的一个周期T= 2π =1(s).
答案:D
3
4
π
2π +
6
1
2
3
4
2.(2015·陕西高考)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近
6
2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一三角函数模型在物理中的应用
【例1】 已知表示电流强度I与时间t的函数关系式
I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0).
(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示,试根据图象写出
I=Asin(ωt+φ)的解析式;
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)为了使 I=Asin(ωt+φ) > 0, > 0,|| <
1
2π
1
,
(2)问题等价于 T≤ ,即 ≤
100

100
T=
∴ω≥200π.∴正整数 ω 的最小值为 629.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 1 本例(1)中,在其他条件不变的情况下,当 t=10 秒时的
电流强度 I 应为多少?
解:由例 1(1)可得 I=300sin 100π +
(1)根据以上数据,求函数y=f(t)的函数解析式;
(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)
的结论,判断一天内上午8:00时至晚上20:00时之间,有多少时间可
供冲浪爱好者进行运动?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析:作出散点图→判断形状
构建模型→求参数
解:(1)由表中数据描出各点,并把这些点用平滑的曲线连接起来
可供冲浪爱好者运动,即上午 9:00 至下午 15:00.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
用三角函数模型解决物理问题中的错误
典例弹簧振子以O点为平衡位置,在B,C间做简谐运动,B,C相距20
cm,某时刻振子处在B点,经0.5 s振子首次达到C点.求:
(1)振动的振幅、周期和频率;
70 m 以上的时间将持续 4 min.
答案:4
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究三数据拟合三角函数问题
【例3】已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:
时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据.
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
(1)求h与θ间的函数关系式;
(2)设从OA开始转动,经过t s后到达OB,求h与t之间的函数解析式,
并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)以圆心 O 为原点,建立如图所示的坐标系,则以 Ox 为始
π
2
边,OB 为终边的角为 θ- ,故点 B 坐标为 4.8cos -
π
似满足函数y=3sin 6 + +k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)
的最大值为(
)
A.5
B.6
C.8D.10
1
2
3
π
解析:因为sin 6 + ∈[-1,1],
π
++k的最小值为k-3,最大值为k+3.

所以函数y=3sin
6
由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.
π
∴h=5.6+4.8sin - 2 .
π
2
,4.8sin -
π
2
.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
π
(2)点 A 在圆上转动的角速度是 ,故
30
π
π
∴h=5.6+4.8sin 30 - 2 ,t∈[0,+∞).
到达最高点时,h=10.4 m.
由 sin
π
π
30 2
π π
30 2
π
2
π
t s 转过的弧度数为 .
2π
5
5
π +
2
5
π
将(0.1,2)代入得 π×0.1+φ= ,
2
2
π
5
π
∴φ=4,∴y=2sin 2 π + 4 (x≥0).
5
π
答案:y=2sin π + (x≥0)
2
4
∴ω=0.8 = 2π,∴y=2sin
.
1
2
3
4
1.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时
所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.
答案:C
4
1
2
3
4
3.设某人的血压满足函数式 p(t)=115+25sin 160πt,其中 p(t)为血压
(mmHg),t 为时间(min),则此人每分钟心跳的次数是
.
2π
解析:T=
160π
答案:80
=
1
1
(min).f= =80(次/min).
80

1
π
π
∴2cos6t+1>1.∴ cos6t>0.
π
π
π
∴2kπ-2 < 6t<2kπ+2(k∈Z),
即 12k-3<t<12k+3(k∈Z).①
∵0≤t≤24,故可令 ①中 k 分别为 0,1,2,
得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24.
∴在规定时间上午 8:00 至晚上 20:00 之间,有 6 个小时的时间
1
秒的时间内电流强度 I
100
π
2
中 t 在任意一段
能同时取得最大值 A 与最小值-A,那么正
整数 ω 的最小值是多少?
分析:对于(1),由于解析式的类型已经确定,只需根据图象确定参
数A,ω,φ的值即可.其中A可由最大值与最小值确定,ω可由周期确
定,φ可通过特殊点的坐标,解方程求得.对于(2),可利用正弦型函数
则2A=20 cm,A=10 cm.

设周期为T,则 2 =0.5 s,
T=1 s,f=1 Hz.
(2)振子在1T内通过的距离为4A,
故在t=5 s=5T内通过的路程
s=5×4A=20A=20×10 cm=200 cm=2 m.
5 s末物体处在B点,所以它相对平衡位置的位移大小为10 cm.
探究一
得,I=150 3安培.
π
3
(t≥0),将 t=10 秒代入可
探究一
Байду номын сангаас
探究二
探究三
思维辨析
探究二三角函数模型在生活中的应用
【例2】 如图为一个缆车示意图,该缆车半径为4.8 m,圆上最低
点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为
始边,逆时针转动θ角到OB,设点B与地面距离是h.
做一做 (1)电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=3sin
100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的周期是
.
(2)如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天从
0~24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式
为
.
2π
解析:(1)由题意知,T=

=
2π
100π
=
1
50
(s).
1 .6
三角函数模型的简单应用
学 习 目 标
思 维 脉 络
1.会用三角函数
解决一些简单
的实际问题.
2.体会三角函数
是描述周期变
化现象的重要
函数模型.
1.三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来
研究很多问题,在刻画周期规律、预测其未来方面发挥重要作用.
2.三角函数模型的建立程序
(2)振子在5 s内通过的路程及这时位移的大小.
错解:(1)因为B,C相距20 cm,
所以振幅A=20 cm.
因为从B点经0.5 s振子首次达到C点,
1
所以周期T=0.5 s,频率f= =2.
(2)5 s内的路程=位移=5A=5×20=100 cm.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
正解:(1)设振幅为A,
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 如图所示是一弹簧振子做简谐振动的图象,横轴表示振
动的时间,纵轴表示振子的位移,则这个振子振动的函数解析式
是
.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:设所求函数解析式为 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),
由题图知 A=2,T=2×(0.5-0.1)=0.8,
π π
6 2
+50,那么在摩天轮转动一圈的过
程中,点 P 的高度在距地面 70 m 以上的时间将持续
解析:依题意,得 40sin
即 cos
π π
6 2
min.
+50≥70,
π
1
2π
t≤- ,从而在一个周期[0,2π]内
6
2
3
π
6
4π
3
≤ t≤ ,
∴4≤t≤8,即摩天轮在转动一圈的过程中,点 P 的高度在距地面
30
=1,得 t- = ,
∴t=30(s).
∴缆车到达最高点时,用的时间最少为 30 s.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 2 已知某游乐园内摩天轮的中心 O 点距地面的高度为
50 m,摩天轮做匀速转动,摩天轮上的一点 P 自最低点 A 点起,经过 t
min 后,点 P 的高度 h=40sin
(如图),由图知,可设f(t)=Acos ωt+b,并且周期T=12,
探究一
探究二
2π
∴ω=
=
探究三
2π
12
=
思维辨析
π
.
6
由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5;由 t=3,y=1.0,得 b=1.0.
π
1
∴A=0.5,b=1.∴y=2cos6t+1.
(2)由题知,当 y>1 时才可对冲浪爱好者开放,
(2)设 h 关于 t 的解析式为 h=Asin(ωt+φ),
则有 h(0)=0,即 sin φ=0,
因此可取 φ=0;
2π
π
||
6
又 =12,取 ω= ,
π
π
则有 h=Asin t,又 h(3)=Asin =A=-6,
6
π
故所求解析式为 h=-6sin t.
答案:(1)
1
50
s
6
π
(2)h=-6sin t
1
2
3
4
4.如图,点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置P0开
始,按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动,则点P的纵坐标y关
于时间t的函数关系式为 .
解析:当质点P从P0转到点P位置时,点P转过的角度为ωt,
则∠POx=ωt+φ,
由任意角的三角函数定义知点P的纵坐标y=rsin(ωt+φ).
答案:y=rsin(ωt+φ)
的图象在一个周期中必有一个最大值点和一个最小值点来解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)由题图知,A=300.
2π
1
1
1
= ,∴ω= =100π.
−
50
300
60
1
∵ - 300 ,0 是该函数图象的第一个零点,
1

∴-=-300.
π
π

∴φ=300 = 3.符合|φ|<2,
π
∴I=300sin 100π + 3 (t≥0).