高考数学下高三数学(文)试题.docx

高中数学学习材料
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下高三数学（文）试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知复数121,1z i z i =-=+，则
12
z z i
等于（ ） A ．2i B ．2i - C ．2i + D ．2i -+ 2、设集合{0,1},{|1}M N x Z y x ==∈=-，则（ ） A ．M
N φ= B ．{}0M
N = C ．{}1M N = D ．M
N M =
3、给定函数①12
y x = ②12
log (1)y x =+ ③1y x =- ④1
2x y +=，其中在区间()0,1上单调递减
的函数序号是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
4、在ABC ∆中，若sin sin cos cos sin A A C A C -=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形
5、为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为
e m ， 众数0m ，平均数为x ，则（ ）
A ．0e m m x ==
B ．0e m m x =<
C ．0e m m x <<
D ．0e m m x <<
6、已知平面,αβ，直线,l m ，且有,l m αβ⊥⊂，给出下列命题：
①若//αβ，则l m ⊥；②若//l m ，则αβ⊥；③若αβ⊥，则//l m ；④若l m ⊥，则//αβ，
其中正确命题个数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 7、若函数()2
(2)m x
f x x m
-=
+的图象如图所示，则m 的范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．()1,2- C ．()0,2 D ．()1,2
8、设双曲线
22
1x y m n
+=的离心率为2，且一个焦点与抛物线28x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）
A ．2213x y -=
B ．221412x y -=
C ．22
13x y -= D ．221124
x y -= 9、已知函数()0
()210
x e a x f x a R x x ⎧+≤=∈⎨
->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）
A ．(),1-∞-
B ．(),0-∞
C ．()1,0-
D ．[)1,0- 10、若函数()sin x f x x =
，并且233
a b ππ
<<<，则下列各结论正确的是（ ） A ．()()()2a b f a f ab f +<< B ．()()()2
a b
f ab f f b +<<
C ．()()()2a b f ab f f a +<<
D ．()()()2
a b
f b f ab f +<<
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

.
11、圆心在直线2x =上的圆与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --，则该圆的标准方程为
12、已知,x y 满足不等式组22y x x y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则2z x y =+的最大值
与最小值的比为
13、定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=， 且()()4f x f x -=，现有以下三种叙述①8是函数()f x 的一个周期； ②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数。

其中正确的序号是
14、执行如图中的程序框图，如果输入的[]1,3t ∈-，则输出的S 所在区间是 15、在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”类似的，我们在平面向量{|(,),,}D a a x y x R y R ==∈∈上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”，定义如下：对
于任意两个向量111222(,),(,)a x y a x y ==，“12a a ”
当且仅当“12x x >”或“12x x =且12y y =”，按上述定义的关系“
”，给出如下四个命题：
①若12(1,0),(0,1),0(0,0)e e ===，则12
0e e
②若1223,a a a a ，则13a a ；
③对于1
2a a ，则对于任意12,a D a a
a a ∈++；
④对于任意向量0,0(0,0)a
=，若1
2a a ，则12a a a a ⋅>⋅
其中真命题的序号为
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）
已知函数()2
2cos 23sin cos f x x x x a =++，且当[0,
]2
x π
∈时，()f x 的最小值为2，
（1）求a 的值，并求()f x 的单调递增区间；
（2）先将函数()y f x =的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的1
2
，再将所得的图象向右平移
12π个单位，得到函数()y g x =的图象，求方程()4g x =在区间[0,]2
π
上所有根之和。

17、（本小题满分12分）
如图，将边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 翻折，连接AC 、FD ，形成如图所示的多面体，
且6AC =
（1）证明：平面ABEF ⊥平面BCDE ； （2）求三棱锥E ABC -的体积 18、（本小题满分12分）
某高三年级从甲（文）乙（理）两个年级组各选出7名学生参加高校自主招生数学选拔考试，他们取得的成绩（满分：100分）的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是85，乙组学生成绩的中位数是83.
（1）求x 和y 的值；
（2）计算甲组7位学生成绩的方差2
s ；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机取两名学生，求甲组至少有一名学生的概率。

19、（本小题满分12分）
数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)()n S n n n N *=+∈
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足：31223313131
31
n
n n
b b b b
a =++++
++++，求数列{}n b 的通项公式； （3）令()4
n n
n a b c n N *=
∈，求数列{}n c 的 n 项和n T 。

20、（本小题满分13分） 设函数()2
1ln 2
f x x ax bx =-- （1）当1
2
a b ==
时，求函数()f x 的单调区间； （2）令()()21(03)2a
F x f x ax bx x x
=+++<≤，其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率
1
2
k ≤恒成立，求实数a 的取值范围。

（3）当0,1a b ==-时，方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，求实数m 的取值范围。

21、（本小题满分14分）
椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点3(1,)2
A ，离心率为1
2，左右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直
线交椭圆于,A B 两点。

（1）求椭圆C 的方程； （2）当2F AB ∆的面积为122
7
时，求l 的方程。

高三数学（文）试题参考答案
一、选择题
B D B A D B D
C
D D 二、填空题
11.（x －2)2
＋(y ＋3)2
＝5 12. 2∶1 13. ①②③ 14. []4,3- 15. ①②③
三、解答题：
16. 解：（1）函数1)6
2sin(22sin 312cos )(+++
=+++=a x a x x x f π
，…2分
70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，min ()112f x a =-++=，得2a =；…4分
即()2sin(2)36f x x π=++，由题意得2
26222πππππ+≤+≤-k x k ，
得,36
k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数)(x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
-
6,3
πππ
π．…6分
（2）由题意得()2sin(2)36f x x π
=++，又由()4g x =得2
1)64sin(=-πx ，…9分
解得6
526
26
4πππ
ππ
+
+
=-
k k x 或 ， 即 ()Z k k k x ∈++=42122π
πππ或，
412,2,
0πππ或=∴⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈x x ，故所有根之和为3412πππ=+．……12分 17. （1）证明：正六边形ABCDEF 中，连接AC 、BE ，交点为G ，
易知AC BE ⊥，且3AG CG ==，
在多面体中，由AC=6，知222AG CG AC +=， 故,AG GC ⊥………………………………2分
又,GC BE G =,GC BE ⊂平面BCDE ， 故AG ⊥平面BCDE ，……………………….5分
又AG ⊂平面ABEF ，所以平面ABEF ⊥平面BCDE ；…6分 （2）连接AE 、CE,则AG 为三棱锥A BCE -的高，GC 为BCE ∆ 的高．在正六边形ABCDEF 中，24BE AF ==， 故143232
BCE S ∆=⨯⨯=，…………..9分
所以 1
23323
E ABC A BCE V V --==⨯⨯=．……12分
18. 解（1）∵甲组学生的平均分是85， ∴
92968080857978
857
x +++++++=. ∴x=5. ………………………………1分
∵乙组学生成绩的中位数是83， ∴y=3. …………………………………… 2分 （2）甲组7位学生成绩的方差为：
222222221
(6)(7)(5)00711407
s ⎡⎤=-+-+-++++=⎣⎦ ……………………………………5分 （3）甲组成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A ，B ，
乙组成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C ，D ，E. ……………………6分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：
(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)……………………9分 其中甲组至少有一名学生共有7种情况：
(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E) ……………………………………11分 记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生”为事件M ， 则7
()10
P M =
.…………………………………………………………………………12分 19. 解：（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，
当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n(n ＋1)－(n －1)n ＝2n ，
a 1＝2满足该式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n…………3分 （2）()12213131
31
n n n b b b a n =
+++
≥+++，① 1
12
1
21
31313131
n n n n n b b b b a +++=+++
+++++ ② ②－①得，
111
231
n n n n b a a +++=-=+，得b n ＋1＝2(3n ＋1
＋1)， 又当n=1时，b 1=8，
所以b n ＝2(3n
＋1)(n∈N *
)．…………………………7分
（3）4
n n n a b c =＝n(3n ＋1)＝n·3n
＋n ，…………………8分
∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n
)＋(1＋2＋…＋n)， 令H n ＝1×3＋2×32
＋3×33
＋…＋n×3n
，① 则3H n ＝1×32
＋2×33
＋3×34
＋…＋n×3n ＋1
②，
① －②得，－2H n ＝3＋32
＋33
＋ (3)
－n×3n ＋1
＝
3(31)
31
n --－n×3n ＋1 ∴1
(21)3
34
n n n H +-⨯+=，
……………………………………….10分
∴数列{c n }的前n 项和．1
(21)3
(1)34
24
n n n n n H +-⨯+=+
+.
……12分
20. 解：（1）依题意，知)(x f 的定义域为),0(+∞，
当12
a b ==时，211()ln 4
2
f x x x x =--，
111(2)(1)
()222x x f x x x x
-+-'=
--=
………………………………………….2分 令0)(='x f ，解得1x =或2x =-（舍去）， 当01x <<时，0)(>'x f ；当1>x 时，0)(<'x f ，
所以)(x f 的单调增区间为)1,0(，减区间为),1(+∞；…………….4分
（2）由题意知]3,0(,ln )(∈+
=x x
a x x F ，则有00201
()2x a k F x x -'==≤在(0,3)上恒成立，所以
200max 1()2a x x ≥-+，当x 0=1时，20012x x -+取得最大值1
2
，
所以1
2
a ≥
；………………………………………………………………………………8分 （3）当0,1a b ==-时，()ln f x x x =+，
由()f x mx =，得ln x x mx +=，又0x >，所以ln 1x
m x
=+， 要使方程()f x mx =在区间2[1,]e 上有唯一实数解，
只需ln 1x
m x
=+有唯一实数解，……………………………………………10分 令ln ()1(0)x g x x x =+
>，∴2
1ln ()x
g x x -'=
，由()0g x '>得0x e <<；()0g x '<，得x e >， ∴()g x 在区间[1,]e 上是增函数，在区间2[,]e e 上是减函数. 2221g(1)1,g(e )1,g(e)1e e ==+
=+ ，故 2
2
11m e ≤<+.
……………………13分
21. 解：（1） 椭圆2
2
22;1x y
C a b +=过点3(1,)2A ， 离心率为12
，∴12
c a
=，又222c b a += ，
22
222221
9141a 4,3,2a b c b a a b c ⎧+=⎪⎪⎪===⎨⎪
⎪=+⎪⎩
解 ,得 ∴椭圆C 的方程：22
143
x y += ； …….5分
（2）由（1）知1(1,0)F -，①当l 的倾斜角是2
π
时，l 的方程为1x =-， 交点33(1,),(1,)22A B --，此时2
1211122
||||323227
ABF S AB F F ∆=
⨯=⨯⨯=≠
,不合题意. ….7分 ②当l 的倾斜角不是
2
π
时，设l 的斜率为k,则其直线方程为(1)y k x =+， 由22
143(1),x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
消去y 得：2222(43)84120k x k x k +++-=，……….……….9分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212228412
,4343
k k x x x x k k -+=-=
++，………………10分 ()212121
21212y y F F S S S A F F B F F AB F +=
+=∴∆∆∆
()()1122
1
2121+-+=-⨯=x k x k y y ()2
12212
2
14x x x x k
x x k -+=-=
3
411234124434822
222
22++=+-⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k k k k k k ， ……………………...12分
又已知2
122
,7
F AB
S ∆=2422
12||1122 17180743k k k k k +∴=⇒+-=+, 222(1)(1718)010k k k ⇒-+=⇒-=解得1k =±，
故直线l 的方程为1(1)y x =±+，即10x y -+=或10x y ++= ． ………….14分
高三数学测试答题卷
一、分数统计栏（此项由评卷老师填写，学生书写一律无效）
二16 17 18 19 20 21 总分
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分。

）
11、 12、
13、 14、
15.
三、解答题（本大题共6小题，满分75分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。

）
16、（本题12分）
17、（本题12分）
19、（本题12分）。