2007年高考数学试题分类汇编立体几何.

2007年高考数学试题分类汇编立体几何
一．选择题
1．(2007安徽·文)设n m l ,,均为直线,其中n m ,在平面
”“”“”“,n l m l l l a ⊥⊥⊥⊥且是是则内αα的（ ）
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
2．(2007安徽·文)把边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,折成直二面角后,在A ,B ,C ,D 四点所在的球面上,B 与D 两点之间的球面距离为（ ） (A)2
2π
(B)π
(C)
2
π (D)
3
π 3．(2007北京·文) 平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥
Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥
Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥
4．(2007福建·文) 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，，分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ） Ａ．45
Ｂ．60
Ｃ．90
Ｄ．
120 5．(2007广东·文) 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n
B ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C. 若,l n m n ⊥⊥，则//l m D ．若,//l l αβ⊥，则//αβ
6．(2007湖北·文) 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱11AA BB ，的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)A G λλ=≤≤．则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）
7．(2007天津·文)设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题
A
F
D B
C
G
E 1B
H
1C
1D 1A
是（ ）
A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥
B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥
C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥
D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥
8．(2007湖南·文) 如图1，在正四棱柱
1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是1AB ，1BC 的中
点，则以下结论中不成立．．．的是（ ） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面
D ．EF 与11A C 异面
9．(2007江西·文) 四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且2CD =，3AD =在外接球面上两点A B ，间的球面距离是（ ） Ａ．
π
6
Ｂ．
π3
Ｃ．
2π3
Ｄ．
5π6
10．(2007全国Ⅰ·文)如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）
Ａ．15
Ｂ．25
Ｃ．35
Ｄ．45
11．(2007全国Ⅱ·文)已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ） A ．
36
B ．
34
C ．
22
D ．
32
12．(2007陕西·文)Rt △ABC 的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC 的距离是 （A ）5 （B ）6 （C ）10 （D ）12 (2007四川·文)如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 (A ）BD ∥平面CB 1D 1 (B)AC 1⊥BD
(C)AC 1⊥平面CB 1D 1 (D)异面直线AD 与CB 所成的角为60° 二．填空题
A
B
C
1A
1C
1D 1B
D
E F 1A
1D
1C 1B
D
B
C
A
13．(2007天津·文)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．
14．(2007全国Ⅰ·文)正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2，点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________．
15．(2007全国Ⅱ·文)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．
16．(2007江西·文) 如图，正方体1AC 的棱长为1，过点作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ．有下列四个命题
Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．AH 垂直平面11CB D
Ｃ．二面角111C B D C --的正切值为2 Ｄ．点H 到平面1111A B C D 的距离为
3
4
其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号） 三．解答题
17．(2007广东·文) 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主 视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S
解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的
四棱锥V-ABCD ;
(1) ()1
864643
V =
⨯⨯⨯= (2) 该四棱锥有两个侧面V AD. VBC 是全等的等腰三角形,且BC 边上的高为
2
2
184422h ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
, 另两个侧面V AB. VCD 也是全等的等腰三角形,
AB 边上的高为 2
2
26452h ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
因此 11
2(64285)4024222
S =⨯⨯+
⨯⨯=+
18．(2007北京·文) 如图，在Rt AOB △中，π
6
OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB
的中点．
（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；
（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小．
解法一：
（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥， BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AO BO O =，
CO ∴⊥平面AOB ， 又CO ⊂平面COD ．
∴平面COD ⊥平面AOB ．
（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE
AO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．
在Rt COE △中，2CO BO ==，1
12
OE BO ==，
CE ∴==
又1
2
DE AO =
= ∴在Rt CDE △中，tan 3CE CDE DE =
==
． ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为arctan
．
解法二：
（I ）同解法一．
O
C
A
D
B
O
C
A
D
B
E
（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，
(01D ，
(00OA ∴=，，(2CD =-，
cos OA CD OA CD OA CD
∴<>=
，
6
322
=
= ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为arccos
4
19．(2007福建·文) 如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小．
解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．
正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ． 连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为
1BC CC ，的中点， 1B O BD ∴⊥，
1AB BD ∴⊥．
在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥，
1AB ∴⊥平面1A BD ．
（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，
作1GF A D ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ．
1AF A D ∴⊥，
x
A
B
D
1
A
1
C
1B
C A
B
C D
1
A 1
C
1
B
O
F
G
AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．
在1AA D △
中，由等面积法可求得5
AF =，
又
11
2
AG AB =
=
sin AG AFG AF ∴=
==
∠． 所以二面角1A A D B
--的大小为arcsin
解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥． 在正三棱柱111ABC A B C -中， 平面ABC ⊥平面11BCC B ，
AO ∴⊥平面11BCC B ．
取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直
角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(02A ，(00A ，1(120)B ，，， 1(12AB ∴=，，(210)BD =-，，，1(12BA =-．
12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴⊥，11AB BA ⊥．
1AB ∴⊥平面1A BD ．
（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．
(11AD =--，，，1(020)AA =，，．
AD ⊥n ，1AA ⊥n ，
100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，，n n 020x y y ⎧-+-=⎪∴⎨=⎪
⎩，，0y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，
．
令1z =得(1)=，n 为平面1A AD 的一个法向量．
由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，
1AB ∴为平面1A BD 的法向量．
cos <n
，111
33222
AB AB AB -->=
=
=
n n ．
∴二面角1A A D B --的大小为arccos
4
20．(2007安徽·文) 如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC BC ⊥，D 是
AB 的中点，且AC BC a ==，π02VDC θθ⎛
⎫=<< ⎪⎝
⎭∠．
（I ）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；
（II ）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π
6
．
解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点， CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．
（Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ．
连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角．
依题意π
6
CBH ∠=，所以
在CHD Rt △中，
sin 2
CH θ=
； 在BHC Rt △中，πsin
62
a CH a ==， sin 2
θ=
∴． π02θ<<
∵，π4
θ=∴． 故当π4θ=
时，直线BC 与平面VAB 所成的角为π6
． 解法2：（Ⅰ）以CA CB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系，则(000)(00)(00)000tan 222a a
C A a B a
D V θ⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，
，，，，，，，，，，，，，，
于是，tan 222a a VD a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，，，022a a
CD ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，，，(0)AB a a =-，，．
从而22
11(0)0002222
a a
AB
CD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭
，，，，··，即AB CD ⊥．
同理22
11(0)tan 002222a a AB VD a a a a θ⎛⎫=-=-++= ⎪ ⎪⎝⎭
，，，，··， 即AB VD ⊥．又CD VD D =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ．
∴平面VAB ⊥平面VCD ．
（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，
则由00AB VD ==，··n
n ．
得0tan 022ax ay a a x y θ-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，．
可取(11
)θ=n ，又(00)BC a =-，，，
于是πsin
62BC BC a θ===
n n ···， 即sin 2θ=π02θ<<∵，π
4
θ∴=． 故交π4θ=
时，直线BC 与平面VAB 所成的角为π6
． 解法3：（Ⅰ）以点D 为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的
空间直角坐标系，
则(000)000000222D A a B a C a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，
，，，，，，
，，0tan V θ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，
，于是0tan DV θ⎛⎫=
- ⎪ ⎪⎝⎭，，00DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(00)AB =，，．
从而(0
0)AB
DC =，，·000⎛
⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，，·
，即AB DC ⊥．
同理(00)0tan 0AB DV θ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
，
，，·，即AB DV ⊥．
又DC
DV D =，AB ⊥∴平面VCD ．
又AB ⊂平面VAB ，
∴平面VAB ⊥平面VCD ．
（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，
则由00AB DV ==，··n n
，得0tan 022ax az θ=⎨-+=⎪⎩，． 可取(tan 01)n θ=，，
，又022BC a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，
，，
于是tan π2sin 62BC BC a θθ=
==n n ···， 即πππ
sin 0224θθθ=
<<，，∵∴=． 故交π
4
θ=时，
即直线BC 与平面VAB 所成角为π
6
．
21．(2007湖南·文) 如图3，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，
CA CB =，45BAP ∠=，直线CA 和平面α所成的角为30．
（I ）证明BC PQ ⊥；
（II ）求二面角B AC P --的大小．
解：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结OB ． 因为αβ⊥，PQ α
β=，所以CO α⊥，
又因为CA CB =，所以OA OB =．
而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=，从而BO PQ ⊥，又CO PQ ⊥， 所以PQ ⊥平面OBC ．因为BC ⊂平面OBC ，故PQ BC ⊥．
A
B
C
Q α
β P A
（II ）解法一：由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ=，BO α⊂，所以BO β⊥．
过点O 作OH AC ⊥于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH AC ⊥． 故BHO ∠是二面角B AC P --的平面角．
由（I ）知，CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=，
不妨设2AC =
，则AO =3sin 30OH AO ==
． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠
=∠=，所以BO AO == 于是在
Rt BOH △
中，tan 2BO
BHO OH
∠=
==． 故二面角B AC P --的大小为arctan 2．
解法二：由（I ）知，OC OA ⊥，OC OB ⊥，OA OB ⊥，故可以O 为原点，分别以直线OB OA OC ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为CO a ⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=．
不妨设2AC =，则AO =1CO =． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠
=， 所以BO AO == 则相关各点的坐标分别是
(000)
O ，，，0)
B ，，(0A ，(001)
C ，，．
所以(3AB =
-，
，(0AC =． 设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪
⎩，
得00z =+=⎪
⎩，
取1x =，得1(11n =，，．
易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量．
设二面角B AC P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<>，．
所以1212cos 5||||5n n n n θ=
==
．
Q
故二面角B AC P --
的大小为arccos
5
． 22．(2007江苏)如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==，
（1）求证：1,,,E B F D 四点共面；（4分） （2）若点G 在BC 上，2
3
BG =，点M 在1BB 上，GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥面11BCC B ；（4分）
（3）用θ表示截面1EBFD 和面11BCC B 所成锐二面角大小，求tan θ。

（4分）
23．(2007江西·文) 右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =．
（1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求AB 与平面11AAC C 所成的角的大小； （3）求此几何体的体积．
（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ． 则11OD BB CC ∥∥， 因为O 是AB 的中点，
1
D
1
A
A
B
C
D
1
C 1
B
M
E
F
H
G
11
1
2C
A
所以1111
()32
OD AA BB CC =
+==． 则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥，
1C D ⊂平面111C B A ，且OC ⊄平面111C B A
则OC ∥面111A B C ．
（2）解：如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ， 作22BH A C ⊥于H ，
因为平面22A BC ⊥平面11AAC C ，则BH ⊥面11AAC C ． 连结AH ，则BAH ∠就是AB 与面11AAC C 所成的角．
因为BH =
AB =
sin BH BAH AB ==∠
AB 与面11AAC C
所成的角为arcsin
10
BAH =∠． （3
）因为2BH =
，所以22221
3
B AA
C C AA C C V S BH -=． 1121
(12)23222
=
+=． 1112211111
212
A B C A BC A B C V S BB -==
=△． 所求几何体的体积为221112232
B AA
C C A B C A BC V V V --=+=． 解法二：
（1）证明：如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，
因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，，， 1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，，，
易知，(001)n =，
，是平面111A B C 的一个法向量． 由0OC n =且OC ⊄平面111A B C 知OC ∥
平面111A B C ．
1
（2）设AB 与面11AAC C 所成的角为θ． 求得1(004)A A =，，，11(1
10)AC =-，，． 设()m x y z =，，是平面11
AAC C 的一个法向量，则由11100A A m A C m ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0
0z x y =⎧⎨-=⎩， 取1x y ==得：(110)m =，，． 又因为(012)AB =--，
， 所以，cos m <
，m AB AB m AB
>=
=-
sin θ=
所以AB 与面11AAC C 所成的角为arcsin
10
． （3）同解法一
24．(2007全国Ⅰ·文)四棱锥S ABCD -中，底面ABCD
为平行四边形，侧面SBC ⊥底面
ABCD ，已知45ABC ∠=︒，2AB =，BC =
SA =（Ⅰ）证明：SA BC ⊥；
（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小．
解法一：
（1）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．
因为SA SB =，所以AO BO =，
又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥． （Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥， 依题设AD BC ∥，
故SA AD ⊥，由AD BC ==
SA =
SD =
又sin 452AO AB ==
DE BC ⊥，垂足为E ，
则DE ⊥平面SBC ，连结SE ．ESD ∠为直线SD 与平面SBC 所成的角．
sin 11
ED AO ESD SD SD =
===
∠ D
B
C
A
S
O
E
所以，直线SD 与平面SBC
所成的角为arcsin
11
． 解法二：
（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．
因为SA SB =，所以AO BO =．
又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O xyz -，
因为AO BO AB ==
=
1SO =，
又BC =
0)A ，，
(0B
，(0C ，． (001)S ，，，(21)SA =-，
，， (0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．
（Ⅱ）(21)SD SA AD SA CB =+=-=--，(20)OA =，，. OA 与SD 的夹角记为α，SD 与平面ABC 所成的角记为β，因为OA 为平面SBC 的法向
量，所以α与β互余．
22
cos 11
OA SD OA
SD
α=
=
，sin 11β=，
所以，直线SD 与平面SBC 所成的角为arcsin
11
． 25．(2007全国Ⅱ·文) 如图，在四棱锥S ABCD -中， 底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，， 分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；
（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．
A
E
B
C
F
S
D
解法一：
（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．
连结12
AG FG CD
∥，，又CD AB ∥， 故FG AE AEFG
∥，为平行四边形． EF AG ∥，又AG ⊂平面SAD EF ⊄，平面SAD ． 所以EF ∥平面SAD ．
（2）不妨设2DC =，则42SD DG ADG ==，，△为等
腰直角三角形．
取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥． 又AB ⊥平面SAD ，所以AB DH ⊥，而AB AG A =，
所以DH ⊥面AEF ．
取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥． 连结DM ，则DM EF ⊥．
故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角
tan 1
DH DMH HM ∠=
== 所以二面角A EF D --
的大小为． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -．
设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，，
00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 02b EF a ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，，．
取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则02b AG a ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，，． EF AG EF AG AG =⊂，∥，平面SAD EF ⊄，平面SAD ，
所以EF ∥平面SAD ．
（2）不妨设(1
00)A ，，，则1
1(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，，，，，，，，，，，，．
A
E
B
C
F
S
D H
G
M
EF 中点111111(101)0222222M MD EF MD EF MD EF ⎛⎫⎛⎫
=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，
，，，，，，，⊥ 又1002
EA ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
，
，，0EA EF EA EF =，⊥， 所以向量MD 和EA 的夹角等于二面角A EF D --的平面角．
3
cos 3MD EA MD EA MD EA
<>=
=
，． 所以二面角A EF D --的大小为3arccos ． 26．(2007
安徽·文) 如图,在底面为直角梯形的四棱锥
,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC 平面⊥PA v 32,2,3===AB AD PA ,BC =6.
(Ⅰ)求证:BD ;PAC BD 平面⊥
(Ⅱ)求二面角A BD P --的大小. 解法一：（Ⅰ）PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ．BD PA ∴⊥． 又3tan 3AD ABD AB =
=，tan 3BC
BAC AB
==． 30ABD ∴=∠，60BAC =∠， 90AEB ∴=∠，即BD AC ⊥．
又PA
AC A =．BD ∴⊥平面PAC ．
（Ⅱ）连接PE ．
BD ⊥平面PAC ．BD PE ∴⊥，BD AE ⊥． AEP ∴∠为二面角P BD A --的平面角．
在Rt AEB △中，sin 3AE AB ABD ==，
tan 3AP
AEP AE
∴=
=，60AEP ∴=∠， ∴二面角P BD A --的大小为60．
解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，
则(000)A ，
，，(2300)B ，，，(2360)C ，，，(020)D ，，，(003)P ，，， A
E
D
P
C
B
(003)AP ∴=，，，(2360)AC =，，，(2320)BD =-，，，
0BD AP ∴=，0BD AC =．BD AP ∴⊥，BD AC ⊥，
又PA
AC A =，BD ∴⊥面PAC ．
（Ⅱ）设平面ABD 的法向量为(001)=，，m ， 设平面PBD 的法向量为(1)x y =，，n ， 则0BP =n ，0BD =n ，
23302320x x y ⎧-+=⎪∴⎨-+=⎪⎩，，解得3232
x y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=
⎪⎩
，
，
33122⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，，n ． cos ∴<m ，1
2
>=
=m n n m n ．∴二面角P BD A --的大小为60． 27．(2007四川·文) 如图，平面PCBM ⊥平面ABC ,∠PCB =90°,PM ∥BC ,直线AM 与直线PC 所成的角为60°，又AC =1,BC =2PM =2,∠ACB =90° (Ⅰ)求证：AC ⊥BM ;
(Ⅱ)求二面角M -AB -C 的大小； （Ⅲ）求多面体PMABC 的体积.
解析：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、
应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力． （Ⅰ）∵平面PCBM ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC ⊂平面ABC ．
∴AC ⊥平面PCBM 又∵BM ⊂平面PCBM ∴AC BM ⊥
（Ⅱ）取BC 的中点N ，则1CN =．连接AN 、MN ．
∵平面PCBM ⊥平面ABC ，平面PCBM 平面ABC BC =，PC BC ⊥．
∴PC ⊥平面ABC ．
∵//PM CN =
，∴//MN PC =
，从而MN ⊥平面ABC ．
作NH AB ⊥于H ，连结MH ，则由三垂线定理知AB MH ⊥． 从而MHN ∠为二面角M AB C --的平面角． ∵直线AM 与直线PC 所成的角为60°， ∴60AMN ∠=︒ ．
在ACN ∆中，由勾股定理得2AN =
．
在Rt AMN ∆中，36cot 233
MN AN AMN =⋅∠=
⋅
=． A
E
D
P
C
B
y z
x
在Rt BNH ∆
中，sin 15AC NH BN ABC BN AB =⋅∠=⋅
==
． 在Rt MNH ∆
中，tan 5
MN MHN NH ∠=== 故二面角M AB C --
的大小为arc （Ⅱ）如图以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．
设0(0,0,)P z 0(0)z >，有(0,2,0)B ，(1,0,0)A ，0(0,1,)M z ．
0(1,1,)AM z =-，0(0,0,)CP z =
由直线AM 与直线PC 所成的角为60°，得
cos60AM CP AM CP ⋅=⋅⋅
︒
即2
00z
z =
，解得03z
=． ∴(AM =-，(1,2,0)AB =- 设平面MAB 的一个法向量为1111(,,)n x y z
=，则
由000
20n AM x y z n AB x y ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-+
=⎩
，取1z ，得1n = 取平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)n = 则12cos ,n n <
>1212
26n n n n ⋅=
=
=⋅ 由图知二面角M AB C --为锐
二面角，故二面角M AB C --的大小为
． （Ⅲ）多面体
PMABC 就是四棱锥A BCPM -
11111()(21)13323236
PMABC A PMBC PMBC V V S AC PM CB CP AC -==⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=
28。

(2007天津·文) 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，
AB AD AC CD ⊥⊥，，
60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．
（Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明AE ⊥平面PCD ；
（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．
本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）解：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故PA AB ⊥． 又AB AD ⊥，PA AD A =，从而AB ⊥平面PAD ．故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，
从而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角． 在Rt PAB △中，AB PA =，故45APB =∠． 所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45．
（Ⅱ）证明：在四棱锥P ABCD -中，
因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故CD PA ⊥． 由条件CD PC ⊥，PA AC A =，CD ∴⊥面PAC ． 又AE ⊂面PAC ，AE CD ∴⊥．
由PA AB BC =，60ABC =∠，可得AC PA =．
E 是PC 的中点，AE PC ∴⊥，
PC CD C ∴=．综上得AE ⊥平面PCD ．
（Ⅲ）解：过点E 作EM PD ⊥，垂足为M ，连结AM ．由（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则AM PD ⊥． 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角．
由已知，可得30CAD =∠．设AC a =，可得
PA a =
，AD =
，PD =
，AE =． 在Rt ADP △中，AM PD ⊥，AM PD PA AD ∴=，则
23
273213
a
a
PA AD
AM
a PD
=
=． 在Rt AEM △中，sin 4
AE AME AM =
=． A B
C
D P
E
A
B
C
D
P
E
M
所以二面角A PD C --的大小arcsin 4
．。