黄冈中学06届高三数学第二轮专题训练(五)

黄冈中学06届高三数学第二轮专题训练(五)
命题人：黄冈中学高级教师 项中心
第Ⅰ卷（选择题,共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．集合P ＝｛1,2,3｝,Q ＝｛2,3,4,5｝,定义P ＊Q ＝｛（a ,b ）|a ∈P ,b ∈Q ｝,集合P ＊Q 中元素的个数为 （ ）
A ．4
B ．6
C ．12
D ．20 2．直线l 1的方程为y ＝－2x ＋1,直线l 2与直线l 1关于直线y ＝x 对称,则直线l 2经过点 （ ）
A ．（－1,3）
B ．（1,－3）
C ．（3,－1）
D ．（－3,1） 3．已知函数y ＝|sin2x |,则它的最小正周期是 （ ）
A ．π
B ．
2π C ．2π D ．4
π 4．一个容量为20的样本数据,分组后,组距与频数如下：[10,20],2；[20,30],3；[30,40],4；
[40,50],5；[50,60],4；[60,70],2；则样本在区间[10,50]内的频率是 （ ）
A ．0.05
B ．0.25
C ．0.50
D ．0.70 5．已知函数1
x
x y a y a
==
和,其中01a a >≠且,则它们反函数的图象关于 （ ）
A ．x 轴对称
B ．y 轴对称
C ．直线y ＝x 对称
D ．原点对称
6．如图,正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别是正方形11ADD A ABCD 和 的中心,G 是CC 1的中点,设GF 与AB 、D 1E 所成的角分别为α、β,则α＋β等于 （ ）
A ．120°
B ．90°
C ．75°
D ．60°
7．现有一块长轴长为10分米,短轴长为8分米的椭圆玻璃镜子,欲从此镜中 划出一块面积尽可能大的矩形镜子,则可划出的镜子的最大面积为 （ ）
A ．10平方分米
B ．20平方分米
C ．40平方分米
D ．
1600
41
平方分米 8．从8座城市中选6座参加2008年奥运会火炬接力的传递活动,规定从举办城市北京出发
最后回到北京,中间必须按先后顺序经过上海,广州两座城市,则不同的传递路线条数为 （ ）
A ．600
B ．480
C ．240
D ．60 9．已知函数3cos(2)43
y x π
=-++按向量a 平移所得图象表示的函数()y f x =是奇函数,
则
a 可
以
是
（ ）
A ．(,4)6
π
-
- B ．(,4)12π-
- C ．(,4)6π D ．(,4)12
π
- 10．已知方程2
2
(2)(2)0x mx x nx -+-+=的四个根组成一个首项为
1
2
的等比数列,则||
m n -＝（ ）
A ．1
B ．
32 C ．52 D ．92
11．设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四个不同的点,且满足0,0,AB AC AD AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r
g g
0,AB AD =u u u r u u u r
g 用ABC ABD ACD S S S ∆∆∆、、分别表示ABC ABD ACD ∆∆∆、、的面积,则
ABC ABD ACD
S S S ∆∆∆++的最大值是
（ ）
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
12．给出下列命题
①01,a <<则
1
12;1a a a
>+>- ②奇函数的图象必过原点； ③()y f x =与它的反函数1
()y f x -=的图象若相交,则交点必在直线y x =上；
④若等差数列的公差小于0,则其前n 项和S n 一定有最大值. 则正确的命题为
（ ）
A ．①③④
B ．①④
C ．②③④
D ．①②
第Ⅱ卷（非选择题,共90分）
二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分．把答案填在题中横线上． 13．地球仪上北纬30°圈的周长为12π cm,则地球仪的表面积为 ．
14．若8
()a x x
-的展开式中常数项为1120,其中常数a 是负数,则展开式中各项系数的和是
．
15．已知直线2(0)y x a a =-+>与圆2
2
9x y +=交于A 、B 两点,且9
2
OA OB =u u u r u u u r g
（O 为原点）,则实数a ＝
．
16．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22
221(0,0)x y m n m n
-=>>有相同的焦点（－
c ,0）和（c ,0）,若c 是a 、m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,则椭圆的离心率e
＝
．
三、解答题：本大题共6小题,共74分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知：1
2
3cos log 2sin x x
+≤0,x ∈R,求函数2
tan 23tan 2y x x =+-
的值域.
18．（本小题满分12分）设飞机甲装有两台发动机,飞机乙装有四台发动机,每台发动机工作是相互独立的,每架飞机如有半数或半数以上的发动机没有故障,就能够安全飞行.再设每台发动机发生的概率均为P ,试问飞机甲和飞机乙哪一架飞机飞行更安全？（这里不考虑其它的故障） 19．（本小题满分12分）如图所示,四棱锥S －ABCD 中,AB ∥CD ,CD ⊥面SAD .且
1
1.2
CD SA AD SD AB ===== ① 当H 为SD 中点时,求证：AH ∥平面SBC ；平面SBC ⊥平面SCD .
② 求点D 到平面SBC 的距离.
③求面SBC 和面SAD 所成二面角的一个三角函数值.
20．（本小题满分12分）设抛物线过定点A （2,0）,且以直线x ＝－2为准线.
（1） 求抛物线顶点的轨迹C 的方程；
（2）已知点B （0,－5）,轨迹C 上是否存在满足0MB NB =u u u r u u u r
g 的M 、N 两点？证明你的
结论.
21．（本小题满分12分）为了更好地了解鲸的生活习性,某动物 保护组织在受伤的鲸安装了电子监控装置,从海洋放归点A 处 （如图所示）把它放归大海,并沿海岸线由西到东不停地对鲸 进行长达40分钟的跟踪观测,每隔10分钟踩点测得数据如下 表（设鲸沿海面游动）,然后又在观测站B 处对鲸进行生活
观测时刻t （分钟）
跟踪观测点到放归点的距离a (km) 鲸位于跟踪观测点的正北方
向的距离b (km)
10 1 0.999 20
2
1.413
30 3 1.732 40
4
2.001
（1） 据表中信息：①计算出鲸沿岸线方向运动的速度；②试写出,近似地满足的关
系式并画出鲸的运动草图；
（2）若鲸继续以（1）中②的运动路线运动,试预测,该鲸经过多少时间（从放归时计时）,
可进入前方观测站B 的观测范围？并求出可持续观测的时间及最佳观测时刻（注
41 6.40≈；精确到1分钟）.
22．（本小题满分14分）已知2
4
2
()1,()22()()()f x x g x x x F x g x f x λ=+=++=-且,试问：是否存在实数λ,使()(,1)F x -∞-在上是减函数,且在（－1,0）上是增函数.
答案；
（文科）试题（五）
1．C 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．C 8．A 9．B 10．B 11．B 12．B 13．192π cm 2
14．38
15．
3152 16．1
2
17．解：∵1
2
3log 2sin x +0,3cos 2sin x
x
+ 1.
又－1≤sin x ≤2sin 0,x >32sin .x x ≥
+
∥∥∥2cos()2262464x k x k ππππππ+≥⇒-≤+≤+ 2()264ππππ⇒-+≤≤k x k
()(Z)23tan 2346
k x ππ
+-∈⇒-≤而2(tan 3) 5.y x =+- 当tan 3x =-,y min ＝－5；
当tan 23x =-,y max ＝－1,∴y ∈[－5,－1].
18．解：由题中每台发动机发生的概率为P.甲的两台发动机均有故障的概率为P 2
,甲能安全
飞行概率为P 甲＝1－P 2
；
乙四台或三台发动机有故障的概率为433
4(1).P C P P +-乙能安全飞行的概率为P 乙＝ 433
341[(1)]1(43);P C P P P P -+-=--P 甲－P 乙＝（1－P 2）－[1－P 3（4－3P ）]＝P 2（1
－P ）（3P －1）,而P 2
（1－P ）＞0,于是
当1
3P >
时,P 甲＞P 乙,甲飞行更安全； 当1
3P =时,P 甲＝P 乙,甲、乙飞行一样安全；
当1
3
P <时,P 甲＜P 乙,乙飞行更安全.
19．解：①证明：取SC 中点G ,连结HG 、BG .
∵H 为SD 的中点,∴HG
1,2CD AB 又 12
CD . AB HG
.∴四边形ABGH 为Y .∴AH ∥BG ,∴AH ∥面SBC . ∵CD ⊥面SAD ,且CD ⊂面SCD .
∴面SCD ⊥面SAD ,且交线为SD .
∴SA ＝AD ＝SD 且SH ＝HD ,∴AH ⊥SD .
∴AH ⊥面SCD ,又AH ∥BG ,∴BG ⊥面SCD ,又BG ⊂面SBC . ∴面SBC ⊥面SCD .
②连结BD ,设D 到平面SBC 的距离为h ,则1
,3
D SBC SBC V S h -∆=g 又,D SBC B SDC V V --=∴11
.33
SBC SCD S h S BG ∆∆=g g ∴3115,224
SBC BG AH S SC BG ∆==
==g ∵1
1,2
SCD S CD SD ∆=
=g ∴55h = ③∵CD ⊥面SAD ,且AB ∥CD ,∴AB ⊥面SAD .
∴△SAD 为△SBC 的射影. 令所求二面角的平面角为θ
则S △SAD ＝S △SBC ·cos θ,∴35
4cos 13522
θ=
=
⨯ 20．解：(1)设抛物线顶点为(,)P x y ,则抛物线的焦点F (22,)x y +,由抛物线定义可得
2
2
(222)4x y +-+=,∴22
1416
x y +
=, ∴轨迹C 的方程为22
1416
x y +=［除去点（－2,0）］. （2）不存在. 设过点B （0,－5）,斜率为k 的直线方程为y ＝kx －5（斜率不存在时,显然不符合题意）.
由22225(4)1090.1416
y kx k x kx x y =-⎧⎪
+-+=⎨+
=⎪⎩ 得
由△≥得k 2
≥
94
. 假设在轨迹C 上存在两点M 、N ,令MB 、NB 的斜率分别为k 1、k 2,则｜k 1｜≥
32
, ｜k 2｜≥
3
2
,显然不满足k 1·k 2＝－1, ∴轨迹C 上不存在满足0MB NB =u u u r u u u r
g 的两点.
21．解：（1）由表中信息可知：①鲸沿海岸线方向的速度为1
10
＝0.1(km/分钟). ②a,b 近似地满足b a =
,鲸的运动线草图略.
（2）以A 为原点,海岸线AB 为x 轴,建议坐标系,如图 设鲸所在位置点(,)P x y ,由（1）中的②知y x =
.
又B (15,0),依题意,观测站B 的观测区域为：2
2
(15)5(0),x y y -+≤≥ 又y x =
,代入上式得22(15)25,292000,x x x x -+≤-+≤即∴11.30≤x ≤17.70,
∴该鲸从A 点时入前方观测站B 的时间为：11.30
1130.1
=（分钟）, 可持续观测的时间为
17.7011.30
640.1
-=（分钟）,
∵鲸与B 站距离2
2
2(15)29225d x y x x =-+=
-+.
∴当鲸距B 站最近时,
29
14.52-=（km ）. ∴最佳观测时刻为：14.5
1450.1
=（分钟）.
∴鲸大约经过113分钟进入B 站的观测范围,可持续观测时间为64分钟,最佳观测时刻为放归后的第145分钟.
22．解：假设存在实数λ满足题设.
42242()()()(22)(1)(2)(2)F x g x f x x x x x x λλλλ=-=++-+=--+-, 3'()42(2),F x x x λ=--
342(2)0,2,x x λλ--=≤令若则x ＝0.
当x ∈（－∞,0）时,'()0;F x < 当x ∈（0,＋∞）时,'()0;F x >
∴()F x 在(－∞,0)上单调增递减,在（0,＋∞）上单调递增,显然不符合题设.
若2λ>,则x ＝0或2
x λ-=,当2
(,x λ-∈-∞时,'()0.F x <
当2
(x λ-∈时,'()0;F x >
当2
(0,)2
x λ-∈-
时,'()0;F x <
当2
)2
x λ-∈+∞时,'()0.F x >
∴()F x 的单调增区间是2
2
(,0),2
2
λλ---
，(
＋∞）,
单调减区间是2
2
(λλ---∞
要使()(,1)F x -∞-在上是减函数,且在（－1,0）上是增函数,则2
1λ-=-,即
4.λ=
故存在实数4,λ=使F （x ）在（－∞,－1）上是减函数,且在（－1,0）上是增函数.。