生成冲裁条带四块排样方式的最优算法

生成冲裁条带四块排样方式的最优算法
潘卫平;苏兰;陈秋莲;崔耀东
【摘要】With the purpose of solving the unconstrained punching layout problem,this paper presents an optimal algorithm for generating four-block layout patterns of blanking strips.It uses three cutting line to divide the sheet into four blocks,each of which contains the blanking strips with the same direction and length only.The algorithm first generates the blanking strips of all possible length,and then generates the optimal layout of the blanking strips in the block by solving knapsack problem,finally it obtains different four-block composites by enumera-ting three cutting line positions,and chooses the four-block composite which can make the sheet have a maximum layout value to generate the optimal four-block layout pattern.Experimental results show that the algorithm can not only improve the utilisation rate of the material,but al-so has a reasonable time computation.%提出一个生成冲裁条带四块布局方式的最优算法，用于解决冲裁件无约束排样问题。

该算法用三条剪切线把板材划分成四个块，每个块里面只包含方向和长度都相同的冲裁条带。

首先生成所有可能长度的冲裁条带，然后求解背包问题生成冲裁条带在块里面的最优布局，最后通过枚举三条剪切线位置得到不同的四块组合，选择使排样价值最大的四块组合生成最优的四块排样方式。

实验结果表明，该算法不仅可以提高材料利用率，而且计算时间合理。

【期刊名称】《计算机应用与软件》
【年(卷),期】2015(000)010
【总页数】4页(P253-255,297)
【关键词】冲裁件;剪冲下料;二维排样;条带布局;四块排样方式
【作者】潘卫平;苏兰;陈秋莲;崔耀东
【作者单位】广西大学计算机与电子信息学院广西南宁 530004;武汉理工大学理学院湖北武汉 430070;广西大学计算机与电子信息学院广西南宁 530004;广西
大学计算机与电子信息学院广西南宁 530004
【正文语种】中文
【中图分类】TH164;TP301.6
在剪冲下料工艺中把金属板材切割成冲裁件，通常需要剪切和冲压两种工艺［1］。

在剪切阶段用剪床把板材剪切成多个条带，冲压阶段用冲床将条带冲压出所需要的冲裁件。

从而存在两个布局问题：冲裁件在条带中的布局方式和条带在板材中布局方式［2］。

冲裁件的布局方式在设计模具时就固定，无法更改［3－5］。

而条带布局可以在下料过程中加以优化。

条带的优化布局，可以提升板材的利用率，节约生产成本。

本文主要研究条带布局问题。

本文讨论冲裁件无约束二维条带排样问题UTDSC（Unconstrained Two-dimensional Strip-Cutting Problem）：将规格为L×W的板材剪冲出m种冲裁件，对每种冲裁件在板材上出现的次数无限制，排样目标是使得排样价值即板材中所含冲裁件的总价值最大。

令R（R满足剪冲工艺要求）为一个排样方式，xi为此排样方式中包含第i种冲裁件的个数，ci为第i种冲裁件的价值。

优化模型为：
目前在排样领域中，针对矩形件下料问题研究较多，针对冲裁件剪冲下料问题研究比较少。

文献［6］使用四块方式解决矩形件毛坯下料问题。

文献［2］使用递归
算法生成冲裁条带T型排样方式。

文献［7］使用确定算法生成冲裁条带两段排样
方式，文献［8］使用递归算法生成冲裁条带两阶段排样方式。

文献［9］使用动
态规划算法生成冲裁条带多段排样方式。

以上四种冲裁条带排样方式，各段的长宽至少有一个指标已经固定，且其值等于板材的长或宽。

段的尺寸固定了一个指标，势必会降低段的灵活度。

在四块排样方式中，各块的长宽尺寸可以任意选取，其灵活度显然要大于段。

在四块排样方式中板材最多只划分为四个块，而多段排样方式中板材划分的段数是未知的，所以从切割工艺上来说，四块排样方式会好于多段排样方式。

对以上三种冲裁条带排样方式的几何性质进行分析可以得出：（1）两段是T型的超集；（2）两阶段是两段的超集；（3）多段是两阶段的另一种表述方式，其本
质是一样的。

本文的四块排样方式是两段排样方式的超集，所以其优化结果在理论上好于两段排样方式是确定无疑的。

四块排样方式不是多段排样方式的子集，即多段排样方式不能包含四块排样方式。

本文提出基于四块方式的冲裁条带无约束排样最优算法，采用动态规划技术确定板材上冲裁条带的最优四块排样方式，并通过实验验证算法的有效性。

1.1 冲裁条带
冲裁条带有三个特征参数：初始步距、后续步距、条带宽度，这些参数在模具设计时就已经固定［1］。

初始步距指从条带上切下第一个冲裁件所需要的条带进给量，后续步距指切下后续的冲裁件所需要的条带进给量。

一般来说，初始步距大于等于后续步距。

用（ai，bi，wi）来标示含第i冲裁件的条带特征。

其中初始步距为ai，后续步距为bi，条带宽度为wi。

图1（a）所示为一种水平X向冲裁条带，其初始步距为100，后续步距为65，条带宽度为229，包含4个冲裁件。

图1（b）所
示为一种竖直Y向冲裁条带，其初始步距为100，后续步距为65，条带宽度为229，包含4个冲裁件。

在研究条带布局问题时，为了方便起见我们用矩形替代条带中不规则冲裁件加以显示。

图2是图1的等效图。

1.2 四块排样方式
在四块排样方式中首先用一条父分界线将板材分为两块，然后用两条与父分界线垂直的子分界线将两块分为四块，当父分界线为竖直线时，我们称之为X向四块方式，当父分界线为水平线时我们称之为Y向四块方式（如图3所示）。

同一块中
只能包含方向和长度均相同的条带。

当块中条带方向是X向时，称之为X向块，
此时条带的长度等于块的长度（块的水平边为长，竖直边为宽）。

当块中条带方向是Y向时，称之为Y向块，此时条带的长度等于块的宽度。

图4中板材的左上角
为X向块，包含一根8号X向条带。

左下角为Y向块，包含两根2号、一根24
号Y向条带。

右上角为X向块，包含三根25号X向条带。

右下角为Y向块，包
含三根14号、一根15号Y向条带。

假设板材的尺寸和冲裁件的尺寸都为整数。

对于规格为L×W的板材，假设L≥W。

最优四块排样方式的算法包含以下步骤：1）求解条带的价值；2）求解块的价值；3）求解四块方式的价值。

2.1 求解条带的价值
令n（i，x）为条带x×wi（长为x，宽为wi）中所含冲裁件个数，v（i，x）为条带的价值，则有如下公式：
2.2 求解块的价值
对于块x×y（长为x，宽为y），记F（x，y）为块的价值，x≤L，y≤W。

对X向块，令zx（i，x）为块中包含X向条带x×wi的个数，FX（x，y）为块价值；对
Y向块，令zy（i，y）为块中包含Y向条带y×wi的个数，FY（x，y）为块价值。

则有如下公式：
式（2）、式（3）两个模型都是背包问题，背包问题解法在文献［11］中有很好
的介绍。

2.3 规范尺寸
规范尺寸在求解排样问题中应用很普遍［10］，其目的是为了减少算法中不必要
的计算开销。

本文规范长度是沿着条带长度方向度量的。

设xi，k为规范长度，定义如下：
令Q为规范长度集合，Q＝｛q｜q＝xi，k｝∪｛0，L，W｝，将Q中元素按照
升序排列，Q＝｛q1，q2，…，qM｝，其中q1＝0，qM＝L，共有M个元素。

规范宽度是沿着条带宽度方向度量的。

设y为规范宽度，定义如下：
令H为规范宽度集合，H＝｛h｜h＝y｝∪｛0，L，W｝，将H中元素按照升序
排列，H＝｛h1，h2，…，hN｝，其中h1＝0，hN＝L，共有N个元素。

规范尺寸有如下性质：假设q（x）为不大于x的最大规范长度，h（y）为不大于
y的最大规范宽度。

当块的方向为X向时，块x×y价值等于块q（x）×h（y）价值。

当块的方向为Y向时，块x×y价值等于块h（x）×q（y）价值。

在计算块价值时，对于X向块，只需计算长度取自Q中元素宽度取自H中元素的块的价值。

对于其他尺寸的X向块，由公式FX（x，y）＝FX（q（x），h（y））可以得出其价值。

对于Y向块，只需计算宽度取自Q中元素长度取自H中元素的块的价值。

对于其他尺寸的Y向块，由公式FY（x，y）＝FY（h（x），q（y））可以得出其价值。

因为M、N远远小于L，所以运用规范尺寸可以减少求解所有
块价值时算法的运行时间。

2.4 求解四块方式的价值
用VX，VY分别表示最优X向四块方式与最优Y向四块方式的价值，V为最终的
四块排样方式价值。

则有如下公式：
其中x为父分界线位置，y1，y2为两条子分界线位置。

其中x，y1，y2均为整数。

其中y为父分界线位置，x1，x2为两条子分界线位置。

其中y，x1，x2均为整数。

式（9）说明选择X向四块方式和Y向四块方式中价值较大的作为最终的四块排样方式。

2.5 四块方式算法的时间复杂度
式（1）计算条带价值时间复杂度为O（mL）。

式（2）－式（4）计算块价值时间复杂度为O（mWL）。

式（5）、式（6）计算规范尺寸时间复杂度为O（mL）。

式（7）－式（9）确定最优四块排样方式时间复杂度为O（WL）。

综上得出：四块排样方式总的时间复杂度为O（mWL）。

2.6 确定最优四块方式的动态规划算法
步骤1输入板材和冲裁件尺寸数据；
步骤2用2.1节所述方法求解条带价值v（i，x）；i＝1，2，…，m；0≤x≤L；
步骤3用动态规划方法求解式（2）、式（3）两个背包模型；确定所有可能尺寸
的X向块价值和Y向块价值，根据式（4）确定F（x，y），0≤x≤L，0≤y≤W；
在计算过程中运用2.3节的规范尺寸概念减少计算时间；
步骤4用2.4节所述方法求解X向四块方式价值和Y向四块方式价值，确定最终
的四块排样方式价值V。

用C＃语言实现本文算法，在主频为2.7 GHz，内存为2 GB的计算机上进行实验。

3.1 与两段方式比较
实验板材尺寸L∈［2000，2600］，W∈［1000，1300］，冲裁条带宽度wi∈［100，450］，初始步距ai∈［100，450］；后续步距bi＝int（riai），其中
ri∈［0.7，0.95］；冲裁件价值ci＝biwi，i＝1，2，…，m。

这样选取随机数据
符合实际生产情况［1］。

文献［7］中6道例题的板材尺寸分别为2238×1155，2123×1002，2522× 1290，2280×1113，2531×1117，2230×1222，冲裁件
尺寸数据见文献［7］中Table1。

文献［7］算法生成冲裁条带最优两段排样方式，本文算法生成最优四块排样方式，设板材利用率usage＝［V／（L×W）］
×100%。

二种排样方式的价值和利用率比较见表1所示。

由表1可以看出本文排样方式的板材利用率要高于两段排样方式。

图5为本文算法生成的6道例题的排样方式图。

3.2 与多段方式比较
参照文献［9］例题1，板材尺寸为3000×1500，包含30种冲裁件，冲裁条带特征数据ai×bi×wi见文献［9］表1（ID 1）。

使用本文算法得到的四块排样方式，排样价值为4 479 972。

使用文献［9］中的算法生成多段排样方式，排样价值为4 473 096。

图4为本文排样方式图。

本文算法获得的解较优。

本文提出了一种新型冲裁条带排样方式四块排样方式，并通过动态规划算法生成这种排样方式，算法时间合理。

该算法可以用在剪切阶段，生成冲裁条带最优四块布局方式。

该方式作为一种特定排样方式，其切割工艺比较简单，其优化结果好于两段排样方式。

本文算法与线性规划方法结合可以用来求解冲裁条带下料方案。

在排样领域中，存在多种特定排样方式。

譬如两阶段排样方式、三阶段排样方式、T型排样方式、两段排样方式、普通排样方式。

一般来说不同的排样方式具有不同的板材利用率，切割工艺复杂程度不尽相同，算法时间也不相同。

寻找一种更加优良的冲裁条带排样方式，是以后研究的方向。

【相关文献】
［1］崔耀东.计算机排样及应用［M］.北京：机械工业出版社，2004.
［2］Cui Y.Recursive algorithm for the two-dimensional cutting prob-lem of punched strips［J］.Engineering computations，2006，23（6）：587-596.
［3］Nye T J.Optimal nesting of irregular convex blanks in strips v-ia an exactalgorithm ［J］.International Journalof Machine Tool-s and Manufacture，2001，41（7）：991-1002.
［4］Venkata Rao R.Evaluation ofmetal stamping layouts using an analytic hierarchy processmethod［J］.Journal of Materials Proc-essing Technology，2004，152（1）：71-
76.
［5］Peng Y，Zhao Z.Developmentof a practical blank layout opti-misation system for stamping die design［J］.The International J-ournal of Advanced Manufacturing Technology，2002，20（5）：357-362.
［6］杨玉丽，崔耀东，许道云.矩形毛坯四块排样方式及其算法［J］.微电子学与计算机，2009，26（4）：156-158.
［7］Cui Y.Exact algorithm for generating two-segment cutting patte-rnsof punched strips［J］.Applied mathematical modelling，2007，31（9）：1865-1873.
［8］Cui Y.Recursive algorithm for generating two-staged cutting pat-terns of punched strips［J］.Mathematical and Computational A-pplications，2007，12（2）：107-115. ［9］李尚芳，崔耀东，王晓庆.冲裁条带最优多段排样方式的动态规划算法［J］.计算机工程与应用，2011，47（34）：238-241.
［10］崔耀东.生成矩形毛坯最优T型排样方式的递归算法［J］.计算机辅助设计与图形学学报，2006，18（1）：111-114.
［11］Kellerer H，Pferschy U，Pisinger D.Knapsack problems［M］. S-pringer，2004.。