高考数学压轴专题宜昌备战高考《推理与证明》易错题汇编及答案解析

新数学《推理与证明》试卷含答案
一、选择题
1．用数学归纳法证明 11151236
n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111
313233
k k k +++++ B ．112
313233
k k k +-+++ C ．
11
331k k -++ D ．
1
33
k + 【答案】B 【解析】
分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为
111123k k k
++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为
111111233313233
k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是
1111112
3132331313233
k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.
2．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( ) A ．20 B ．21
C ．22
D ．23
【答案】C 【解析】 【分析】
一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案. 【详解】
设画n 条直线,最多可将面分成()f n 个部分,
1,(1)112n f ==+=Q ;
2,(2)(1)24n f f ==+=; 3,(3)(2)37n f f ==+=;, 4,(4)(3)411n f f ==+=; ,
5,(5)(4)516n f f ==+=;
6,(6)(5)622n f f ==+=.
故选:C. 【点睛】
本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.
3．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成
()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．
A ．2n
B ．22n n -+
C ．2(1)(2)(3)n n n n ----
D ．325104n n n -+-
【答案】B 【解析】 【分析】
分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可. 【详解】
由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.
即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-. 累加可得()()()21222224 (2222)
2n n n n f n n -+-=++++-=-++=.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.
4．已知0x >，不等式12x x +
≥，243x x +≥，327
4x x
+≥，…，可推广为1n a
x n x
+
≥+ ，则a 的值为( ) A ．2n B ．n n
C ．2n
D ．222n -
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】
由题意，当分母的指数为1时，分子为111=；
当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n a
x n x
+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
5．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：
记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ） A ．147 B ．294
C ．882
D ．1764
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值. 【详解】 依题意列表如下：
上列乘6 上列乘5 上列乘2 1
6 30 60 12
3
15
30
S=+++++=.
所以6603020151210147
故选：A
【点睛】
本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.
6．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【解析】
【分析】
对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论.
【详解】
若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；
若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符；
若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；
若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符．故选：D．
【点睛】
本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
7．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}
n a 的递堆公式11(),n n a a n n N *
+=++∈其中正确的是（ ）
A ．①②④
B ．①③④
C ．①②
D ．①④
【答案】D 【解析】
由图形可得：a 1=1,a 2=1+2，… ∴()1122
n n n a n +=++⋯+=
.
所以①a 5=15； 正确；
②an −a n −1= n ,所以数列{a n }不是一个等差数列；故②错误； ③数列{an }不是一个等比数列；③错误； ④数列{a n }的递推关系是a n +1=a n +n +1(n ∈N ∗).正确； 本题选择D 选项.
点睛： 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
8．某游泳馆内的一个游泳池设有四个出水量不同的出水口a ，b ，c ，d ，当游泳池内装满水时，同时打开其中两个出水口，放完水所需时间如下表： 出水口 a ，b
a ，c c ，d
b ，d
时间（秒）
170
160
140
150
则a ，b ，c ，d 四个出水口放水速度最快的是（ ） A ．d B ．b
C ．c
D ．a
【答案】A 【解析】 【分析】
利用所给数据，计算出每个出水口分别的放水时间，比较大小即可.
由题易解得a，b，c，d放水时间分别为70，100，90，50，所以d出水速度最快.
故选：A.
【点睛】
本题考查了方程的思想，属于基础题.
9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【解析】
【分析】
结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.【详解】
结合题意分类讨论：
若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；
若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；
若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；
若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；
综上可得，获奖人为乙.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.
10．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【解析】
【分析】
可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.
【详解】
由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，
丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；
假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，
乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，
所以可以断定值班人是甲.
【点睛】
本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.
11．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下： 甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.
事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．甲或乙 【答案】A
【解析】假设甲说的是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;因此甲得满分,故选A.
12．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（ ） A ．5748b b b b > B ．7845b b b b > C ．5748b b b b +<+ D ．7845b b b b ++<
【答案】C 【解析】 【分析】
类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案． 【详解】
在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >， 类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，
因为433
4857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+-
32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，
所以4857b b b b +>+成立． 故选：C 【点睛】
本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．
13．某单位实行职工值夜班制度，己知A ，B ，C ，D ，E 5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A 昨天值夜班，从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班，D 星期四值夜班，则今天是星期几 A ．二 B ．三
C ．四
D ．五
【答案】C
分析：A昨天值夜班，D周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．
详解：∵A昨天值夜班，D周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，
若今天是周二，则周一A值夜班，周四D值夜班，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，
与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；
若今天是周三，则A周二值夜班，D周四值夜班，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，
与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；
若今天是周四，则周三A值夜班，周四D值夜班，周五E值夜班，符合题意．
故今天是周四．
故选：C．
点睛：本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题．
14．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A、B、C、D、E五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A的学生，其另外一科等级为B，则该班（）
A．物理化学等级都是B的学生至多有12人
B．物理化学等级都是B的学生至少有5人
C．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至多有18人
D．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至少有1人
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意分别计算出物理等级为A，化学等级为B的学生人数以及物理等级为B，化学等
级为A 的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项. 【详解】
根据题意可知，36名学生减去5名全A 和一科为A 另一科为B 的学生105858-+-=人（其中物理A 化学B 的有5人，物理B 化学A 的有3人）， 表格变为：
A B
C
D E
物理 10550--= 16313-= 9
1
化学
8530--=
19514-=
7
2 0
对于A 选项，物理化学等级都是B 的学生至多有13人，A 选项错误；
对于B 选项，当物理C 和D ，化学都是B 时，或化学C 和D ，物理都是B 时，物理、化学都是B 的人数最少，至少为13724--=（人），B 选项错误；
对于C 选项，在表格中，除去物理化学都是B 的学生，剩下的都是一科为B 且最高等级为
B 的学生，
因为都是B 的学生最少4人，所以一科为B 且最高等级为B 的学生最多为
1391419++-=（人）， C 选项错误；
对于D 选项，物理化学都是B 的最多13人，所以两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生最少14131-=（人），D 选项正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.
15．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。

2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的 A ．甲辰年 B ．乙巳年
C ．丙午年
D ．丁未年
【答案】C 【解析】 【分析】
按照题中规则依次从年列举到
年，可得出答案。

【详解】 根据规则，
年是己亥年，
年是庚子年，
年是辛丑年，
年是壬寅年，
年是癸卯年，
年是甲辰年，
年是乙巳年，
年是丙午年，故选：C 。

【点睛】
本题考查合情推理的应用，理解题中“干支纪年法”的定义，并找出相应的规律，是解本题的关键，考查逻辑推理能力，属于中等题。

16．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，
5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）
A ．255
B ．419
C ．414
D ．253
【答案】B 【解析】 【分析】
每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算． 【详解】
以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数
列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()
*
3,n n ≥∈N ，
则876854928154a a a =++=++=，
9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项．
17．数列{}1212:1
,(2)n n n n F F F F F F n --===+>，最初记载于意大利数学家斐波那契
在1202年所著的《算盘全书》.若将数列{}n F 的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{}n a ，则数列{}n a 的前50项和为（ ） A ．33 B ．34
C ．49
D ．50
【答案】B 【解析】 【分析】
根据{}n a 为{}n F 除以2的余数，依次写出{}n F 的各项，从而可得{}n a 是按1,1,0的周期排列规律，即可求出结论. 【详解】
依次写出{}n F 的各项1234561,1,2,3,5,8F F F F F F ======L ，
{}n a 为{}n F 除以2的余数，依次写出{}n a 各项为
1234561,1,0,1,1,0a a a a a a ======L ，
{}n a ∴各项是按1,1,0的周期规律排列，
1234950162234a a a a a +++++=⨯+=L .
故选：B.
【点睛】
本题考查归纳推理、猜想能力，考查分析问题、解决问题能力，属于中档题.
18．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班
B ．14班、7班、15班
C ．14班、15班、7班
D ．15班、14班、7班
【答案】C
【解析】
【分析】
分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级．
【详解】
假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误， 14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；
假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，
7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，
则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；
假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，
7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．
综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班．
故选：C ．
【点睛】
本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式11111+
++⋅⋅⋅
中“⋅⋅⋅”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程
11x x +=
求得x =231111333++++⋅⋅⋅=( )
A ．2
B ．32
C ．3
D ．53 【答案】B 【解析】 【分析】 由232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，类比已知中的求法，可构造方程求得结果.
【详解】 232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
Q ∴可设23111333
x =+++⋅⋅⋅，则31x x =+，解得：12x = 23111131133322
++++⋅⋅⋅=+=∴ 故选：B
【点睛】
本题考查类比推理的应用问题，关键是能够明确已知中的代换关系，将所求式子整理变形为可以整体换元的方式.
20．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i 行，第j 列的数记为ij a ，例如329a =，4215a =，5423a =，若2019ij a =，则i j -=（ ）
A ．71
B ．72
C ．20
D ．19
【答案】D
【解析】
【分析】 先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i 行末共有
()11+2+3++=
2i i i +⋅⋅⋅个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，
即可得解.
【详解】 奇数2019为第1010个奇数，
由题意按照蛇形排列，从第1行到第i 行末共有()
11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，
则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数， 则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数，
故2019位于第45行，从右往左第20列，
则45i =，26j =，故19i j -=.
故选：D.
【点睛】
本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.。