等腰三角形与直角三角形讲义

等腰三角形与直角三角形讲义
一、等腰三角形
（一）定义
等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。

相等的两条边称为这个
三角形的腰，另一边称为底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹
角叫做底角。

（二）性质
1、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重
合（简写成“三线合一”）。

3、等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线所在的直线。

（三）判定
1、有两条边相等的三角形是等腰三角形。

2、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

（四）常见题型及解法
1、求角度
例：在等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，∠A ＝ 80°，求∠B 的度数。

解：因为 AB ＝ AC，所以∠B ＝∠C。

又因为三角形内角和为 180°，所以∠B ＝（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°
2、求边长
例：等腰三角形的周长为 20cm，其中一边长为 8cm，求其他两边的长。

解：（1）当 8cm 为腰长时，底边长为 20 8×2 ＝ 4cm。

此时，三边长分别为 8cm，8cm，4cm，满足三角形三边关系。

（2）当 8cm 为底边时，腰长为（20 8）÷ 2 ＝ 6cm。

此时，三边长分别为 6cm，6cm，8cm，满足三角形三边关系。

综上，其他两边的长为 8cm，4cm 或 6cm，6cm。

二、直角三角形
（一）定义
有一个角为 90°的三角形，叫做直角三角形。

（二）性质
1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

3、直角三角形的两锐角互余。

（三）判定
1、有一个角为 90°的三角形是直角三角形。

2、若一个三角形的三边 a、b、c 满足 a²＋ b²＝ c²，则这个三角形
是直角三角形。

（四）特殊的直角三角形
1、等腰直角三角形
（1）定义：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。

（2）性质：等腰直角三角形的两个锐角都是 45°，斜边长等于直角
边长的√2 倍。

2、含 30°角的直角三角形
（1）性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对
的直角边等于斜边的一半。

（五）常见题型及解法
1、利用勾股定理求边长
例：在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，a ＝ 3，b ＝ 4，求 c 的长。

解：根据勾股定理，c²＝ a²＋ b²＝ 3²＋ 4²＝ 25，所以 c ＝ 5
2、求角度
例：在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A ＝ 30°，BC ＝ 2，求AB 的长。

解：因为在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，所以 AB ＝ 2BC ＝ 4
3、证明直角三角形
例：已知三角形的三边分别为 5、12、13，证明这个三角形是直角三角形。

解：因为 5²＋ 12²＝ 25 ＋ 144 ＝ 169 ＝ 13²，所以这个三角形是直角三角形。

三、等腰三角形与直角三角形的综合应用
（一）等腰直角三角形的应用
例：已知等腰直角三角形的斜边为 10，求其直角边的长度。

解：设直角边的长度为 x，根据等腰直角三角形的性质，斜边长等于直角边长的√2 倍，可得 10 ＝√2x，解得 x ＝5√2
（二）等腰三角形与直角三角形的转化
例：在等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，BD 是高，若∠ABD ＝45°，求这个三角形顶角的度数。

解：因为 BD 是高，∠ABD ＝ 45°，所以∠A ＝ 90° 45°＝ 45°或∠A ＝ 180°（90° 45°）＝ 135°
（三）利用等腰三角形和直角三角形的性质解决实际问题
例：一座金字塔的形状大致为等腰三角形，其中一条腰与底边所成
的角为 60°，底边长度为 100 米，求金字塔的高度。

解：设金字塔的高度为 h 米，因为底边所对的角为 60°，所以这个
等腰三角形是等边三角形，所以高度 h ＝100×√3/2 ＝50√3 米总之，等腰三角形和直角三角形是初中数学中非常重要的几何图形，熟练掌握它们的性质和判定方法，并能灵活运用解决各种问题，对于
提高我们的数学思维和解题能力有着重要的作用。