湖北名师联盟2020届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析

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2020届湖北名师联盟高三第一次模拟考试卷
理 科 数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}2|650A x x x =-+≤，{}
|3B x y x ==-，A B =I （ ） A ．[)1,+∞
B ．[]1,3
C ．(]3,5
D ．[]3,5
2．
34i 34i
12i 12i
+--=-+（ ） A ．4- B ．4 C ．4i - D ．4i
3．如图1为某省2019年14~月快递业务量统计图，图2是该省2019年14~月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ）
A ．2019年14~月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件
B ．2019年14~月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高
C ．从两图来看2019年14~月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一
致
D ．从14~月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长 4．已知两个单位向量12,e e ，满足12|2|3e e -=，则12,e e 的夹角为（ ）
A ．2π3
B ．
3π4
C ．π3
D ．π4
5．函数1
()cos 1
x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知斐波那契数列的前七项为1、1、2、3、5、8、13．大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层． A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
7．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，11A D 的中点，O 为正方形
1111A B C D 的中心，则（ ）
此
卷
只
装
订不
密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
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A ．直线EF ，AO 是异面直线
B ．直线EF ，1BB 是相交直线
C ．直线EF 与1BC 所成的角为30︒
D ．直线EF ，1BB
所成角的余弦值为3
8．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．2-
9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1,2]上是减函数，
令ln 2a =，121()4
b -=，12log 2
c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ）
A ．()()()f b f c f a <<
B ．()()()f a f c f b <<
C ．()()()f c f b f a <<
D ．()()()f c f a f b <<
10．已知点2F 是双曲线22
:193
x y C -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为
圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2||||AB AF +的最小值为（ ） A ．9
B ．8
C
．
D
．11．如图，已知P ，Q 是函数()sin()f x A x ωϕ=+π
(0,0,||)2
A ωϕ>><的图象与x 轴的两
个相邻交点，R 是函数()f x 的图象的最高点，且3RP RQ ⋅=uu r uu u r
，若函数()g x 的图象与()
f x 的图象关于直线1x =对称，则函数()
g x 的解析式是（ ）
A
．
ππ
()sin()24g x x =+ B
．
ππ
()sin()24g x x =- C ．ππ
()2sin()24
g x x =+
D ．ππ
()2sin()24
g x x =-
12．已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，在ABC △中，6AB =，8AC =，AB AC ⊥，D 是线段AC 上一点，
且3AD DC =．球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40π，则球O 的表面积为（ ） A ．72π
B ．86π
C ．112π
D ．128π
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知曲线()(1)ln f x ax x =-在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，则实数a 的值
为 ．
14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足711S S =，且10a >，则n S 最大时n 的值是 ．
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15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、異、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成(
)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为 ．
16．点A ，B 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的两点，F 是拋物线C 的焦点，若
120AFB ∠=︒，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则
||
d
AB 的最大值为 ．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22()sin a c b C +=+． （1）求B 的大小；
（2）若8b =，a c >，且ABC △的面积为a ．
18．（12分）如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED FB ∥，
1
2
DE BF =
，AB FB =，FB ⊥平面ABCD ． （1）设BD 与AC 的交点为O ，求证：OE ⊥平面ACF ；
（2）求二面角E AF C --的正弦值．
19．（12分）设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，上顶点为B ，
O 是坐标原点，且1||||OB F B ⋅． （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知过点1F 的直线l 与椭圆C 的两交点为M ，N ，若22MF NF ⊥，求直线l 的方程．
20．（12分）已知函数1π()4cos()23
x
f x x e =--，()f x '为()f x 的导数，证明：
（1）()f x '在区间[π,0]-上存在唯一极大值点；
（2）()f x 在区间[π,0]-上有且仅有一个零点．
21．（12分）11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地—安徽凤阳举
办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮)．在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1-分；两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投球命中的概
率为
12，乙每次投球命中的概率为2
3
，且各次投球互不影响． （1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；
（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率．
①求1p ，2p ，3p ；
②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中1p ，2p ，
3p 的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
1C 方程为2sin ρθ=，2C
的参数方程为112x t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）．
（1）写出曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；
（2）设点P 为曲线1C 上的任意一点，求点P 到曲线2C 距离的取值范围．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知0a >，0b >，23a b +=．
证明：（1）22
9
5
a b +≥
； （2）3381416
a b ab +≤
．
2020届湖北名师联盟高三第一次模拟考试卷
理科数学答 案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D
【解析】由已知可得[]1,5A =，[)3,B =+∞，则[3,5]A B =I ． 2．【答案】D
【解析】由复数的运算法则可得：
()()()()()()
()()34i 12i 34i 12i 510i 510i 34i 34i 4i 12i 12i 12i 12i 5++----+---+--===-++-． 3．【答案】D
【解析】对于选项A ：2019年14~月的业务量，3月最高，2月最低，差值为
439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；
对于选项B ：2019年14~月的业务量同比增长率分别为55%，53%，62%，58%， 均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；
对于选项C ：2019年2、3、4月快递业务量与收入的同比增长率不一致， 所以C 是正确的． 4．【答案】C
【解析】∵12|2|e e -=121443e e +-⋅=，∴1212
e e ⋅=
， ∴121cos ,2
e e <>=
，∴12π,3e e <>=．
5．【答案】B
【解析】1
()cos 1
x x e f x x e +=⋅-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，
∵11
()cos()cos ()11x x x
x e e f x x x f x e e --++-=-⋅=-⋅=---， ∴函数1
()cos 1
x x e f x x e +=⋅-奇函数，排除A 、D ，
又因为当0x +
→时，cos 0x >且101
x x
e e +>-，所以1
()cos 01x x e f x x e +=⋅>-， 故选B ． 6．【答案】C
【解析】由题设知，斐波那契数列的前6项之和为20，前7项之和为33， 由此可推测该种玫瑰花最可能有7层． 7．【答案】C
【解析】易知四边形AEOF 为平行四边形，所以直线EF ，AO 相交； 直线EF ，1BB 是异面直线；
直线EF ，1BB 所成角的余弦值为
3
C 正确．
8．【答案】B
【解析】第一次循环，4S =，1i =； 第二次循环，2S =，2i =； 第三次循环，4S =，1i =； 第四次循环，2S =，2i =．
可知S 随i 变化的周期为2，当2019i =时，输出的2S =． 9．【答案】C
【解析】∵()f x 是R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-， ∴(2)()f x f x +=-，∴函数()f x 的图象关于1x =对称，
∵函数()f x 在区间[1,2]是减函数，∴函数()f x 在[1,1]-上为增函数，且
(2)(0)0f f ==，
由题知1c =-，2b =，01a <<，∴()()()f c f b f a <<． 10．【答案】A
【解析】设双曲线C 的左焦点为1F ，21126AF AF a AF =+=+，
∴216AB AF AB AF +=++=115559AB AF BE F E +++≥+=． 11．【答案】C
【解析】由已知，得3
(,)2
R A ，则(1,)RP A =--u u r ，(1,)RQ A =-u u u r ， 于是213RP RQ A ⋅=-=u u r u u u r
，得2A =，
又
51222T =-，∴4T =，2ππ2
T ω==， 由π12π22k ϕ⋅+=，k ∈Z 及π||2ϕ<，得π4ϕ=-，故ππ()2sin()24
f x x =-， 因为()
g x 与()f x 的图象关于1x =对称，
则ππππππ()(2)2sin[(2)]2sin[π()]2sin()242424
g x f x x x x =-=--=-+=+．
12．【答案】C
【解析】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的中心为1O ，
设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =， 连接1O A ，则15O A =，∴2225R x =+，
在ABC △中，取AC 的中点为E ，连接1O D ，1O E ，
则1132O E AB =
=，1
24
DE AC ==，∴1O D =
在1OO D Rt △中，OD =
由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，
设此时截面圆的半径为r ，则2222225(13)12r R OD x x =-=+-+=， 所以最小截面圆的面积为12π，当截面过球心时，截面面积最大为2πR ， ∴212ππ40πR +=，228R =，球的表面积为24π112πR =．(或将三棱锥补成长方体求解)．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】2
【解析】1
()ln ax f x a x x
-'=+
，(1)11f a '=-=，∴2a =． 14．【答案】9
【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由711S S =，可得
11761110
71122
a d a d ⨯⨯+
=+， 即12170a d +=，得到12
17
d a =-
， 所以211111(1)(1)281
()(9)22171717
n a n n n n S na d na a n a --=+
=+⨯-=--+， 由10a >可知1
017
a -
<，故当9n =时，n S 最大． 15．【答案】3
14
【解析】观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含有3根阳线的共有1卦，含
有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，
故从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰有两根阳线，四根阴线的概率为
12
33
2
8C C 3C 14
+=． 16．
【解析】设AF a =，BF b =，
则2
a b
d +=
，222222cos AB a b ab AFB a b ab =+-∠=++，
∴3d AB ===， 当且仅当a b =时取等号．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由，得，
所以，即， 所以有，
因为，所以，所以，
π
3
5+()2
2sin a c b C +
=+2222sin a c ac b C ++=
+2222sin a c b ac C
+-+=()2cos 1sin ac B C +=(
)sin cos 1sin C B B C +=(0,π)C ∈sin 0C >cos 1B B +=
，所以，
又，所以，所以，即． （2）因为
，
又，
所以，把代入到中，得．
18．【答案】（1）证明见解析；（2
【解析】（1）证明：由题意可知：平面，从而， ∴，
又为中点，∴，
在中，，∴，∴
， 又，∴平面．
（2）面，且，
如图以为原点，，，方向建立空间直角坐标系，
cos 2sin 16πB B B ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭1sin 2π6B ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭0πB <<ππ5π666B -
<-<6ππ6B -=π3
B =11sin 22ac B ac ==12ac =22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-=2()3664a c +-=10a c +=10c a =-12()ac a c =>5a =ED ⊥ABCD EDA ED
C ≅Rt Rt △△EA EC =O AC DE AC ⊥EOF △3OE OF EF ===222OE OF EF +=OE OF ⊥AC OF O =I OE ⊥ACF E
D ⊥ABCD DA DC ⊥D DA DC DE
从而，，，，，
由（1）可知是面的一个法向量，
设为面的一个法向量，
由，令，得， 设为二面角的平面角，则，
， ∴二面角
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1
）设椭圆的焦距为，则
，∴， ∵，∴，
又
，，∴
，
(0,0,1)E (2,0,0)A (0,2,0)C (2,2,2)F (1,1,0)O (1,1,1)EO =-uu u r
AFC (,,)x y z =n AEF 22020
AF y z AE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n uu u r uu u r 1x =(1,2,2)=-n θE AF C --|||cos ||cos ,|3||||
EO EO EO θ⋅=<>==⋅n n n uu u r
uu u r uu u r sin θ∴=
E A
F C --22
132
x y +=10x ±+=C 2c c a =
a =222a
b
c =+b =1OB F B ⋅OB b =1F B a =ab =2=1c =
∴
，∴． （2）由（1
）知，，设直线方程为，
由，得，
设，，则，， ∵，∴，∴
， ∴，∴，
∴，∴，∴． ∴的方程为．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意知：定义域为，且．
令，，，．
∵在上单调递减，
在上单调递减， 在上单调递减．
又，，
a =
b =22
132
x y +
=1(1,0)F -2(1,0)F l 1x ty =-221
13
2x ty x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩22(23)440t y ty +--=11(,)M x y 22(,)N x y 122423t y y t +=
+122
4
23
y y t -=+22MF NF ⊥220F M F N ⋅=uuuu r uuu r
1212(1)(1)0
x x y y --+=12
12(11)(11)0ty ty y y ----+=2
1212(1)2()40t y y t y y +-++=22
2
24(1)8402323
t t t t -+-+=++22t =t =l 10x ±+=()f x (,)-∞+∞1π()2sin()23x
f x x e '=---1π()2sin()23x
g x x e =---[π,0]x
∈-1π()cos()23x
g x x e '=---[π,0]x ∈-x
y e =-[π,0]-1πcos()23y x =--[π,0]-()g x '[π,0]-π(0)cos()103g '=---<ππππ1
(π)cos()023g e e
-'-=----=->
∴，使得，
∴当时，；当时，， 即在区间上单调递增；在上单调递减，
则为唯一的极大值点，即在区间上存在唯一的极大值点．
（2）由（1）知，且在区间存在唯一极大值
点，
在上单调递增，在上单调递减，
而， ，故在上恒有，
∴在上单调递增，
又，，
因此，在上有且仅有一个零点．
21．【答案】（1）见解析；（2）①，，；②，，．
【解析】（1）的可能取值为，，．
，，
0(π,0)x ∃∈-0()0g x '=0[π,)x x ∈-()0g x '>0(,0]x x ∈()0g x '<()g x 0[π,)x -0(,0]x 0x x =()g x ()f x '[π,0]-0x 1π()2sin()23
x
f x x e '=---()f x '[π,0]-()f x '0[π,)x -0(,0]x π
π
ππ1(π)2sin()1023f e e
-'-=----=-
>π
(0)2sin()1103
f '=---=>()f x '[π,0]-()0f x '>()f x [π,0]
-π
πππ1(π)4cos()023f e e --=---=-<π(0)4cos()1103
f =--=>()f x [π,0]-116P =
2736P =3
43216P =6
(1)7
a b =-1(1)7c b =-11
(1)56
n n P =-X 1-01121(1)(1)233P x =-=-⨯=12121(0)(1)(1)23232
P x ==⨯+-⨯-=
．
∴的分布列为
（2）①由（1）知，， 经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是两轮甲各得分； 二是两轮有一轮甲得分，有一轮甲得分，
∴，
经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得分；二是三轮有两轮各得分，一轮得分；三是轮得分，两轮各得分；四是两轮各得分，
轮得分，
∴．
②由，知， 将，，，代人，求得
，， ∴，，
121
(1)(1)236
P x ==⨯-=X 16
P =
1011221111
7C ()()662636
P =⨯+=110110111-322122233331111111
()C ()()C ()()C ()()6626263
P =+++11i i i i P aP bP cP +-=++1111i i i a c
P P P b b
+-=
+--00P =116P =
2736P =343216P =617a b =-1
17
c b =-6(1)7a b =-1
(1)7
c b =-
∴，∴．∴， ∵，∴是等比数列，首项和公比都是． ， ∴． 22．【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）
的直角坐标方程，
． （2
）由（1）知，为以为圆心，为半径的圆，
的圆心到的距离为，
则与相交，到曲线距离最小值为，最大值为， 则点到曲线距离的取值范围为． 23．【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解析】
证明：（1）∵，，，∴，， ∴，
116177i i i P P P +-=
+117166i i i P P P +-=
-111
()6
i i i i P P P P +--=-1016P P -=
1{}n n P P --1
6
116
n n n P P --=
01021111
(1)1166()()()(1)15616
n n n n n
P P P P P P P P --=+-+-++-==--L ()2
121:1x y C +-=20C y -=[1C ()2
211x y +-=2C 0y -+=1C (0,1)1r =1C (0,1)2C 112
d =
=
<1C 2C P 2C 01
2
d r +=
P 2C [0a >0b >23a b +=320a b =->3
02
b <<
22222
2699(32)51295()555
a b b b b b b +=-+=-+=-+≥
∴当，时，的最小值为， ∴． （2）∵，，，
∴
，当且仅当时，取等号，
∴
， ∴时，的最大值为，
∴．
65b =
3325a b =-=22a b +95229
5
a b +≥
0a >0b >23a b +=3≥908
ab <≤3
22a b ==334a b ab +22(4)ab a b =+2[(2)4]ab a b ab =+-22819
(94)94()4()168
ab ab ab ab ab =-=-=
--98ab =334a b ab +81
16
3381
416
a b ab +≤。