2006年初中数学竞赛模拟试题 (4)
(2020年编辑)历年(95-10)全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(4)
历年(95-10)年全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(4)证明题 (9道题)1.材已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。
1995年全国初中数学联赛试题证法1：如图6，连DF，则由已知，有连BD、CF，由CD＝CB，知∠FBD＝∠CBD－45°＝∠CDB－45°＝∠FDB，得FB＝FD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是∠ECD的平分线．由于F是△CDE上两条角平分线的交点，因而就是△CDE的内心．证法2：同证法1，得出∠CDF＝45°＝90°－45°＝∠FDE之后，由于∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四点共圆．连EF，在证得∠FBD=∠FDB之后，立即有∠FED＝∠FBD＝∠FDB＝∠FEB，即EF是∠CED的平分线．2. 设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：∠OPF=∠OEP ．1996年全国初中数学联赛试题证 作AD 、BO 的延长线相交于G ，∵OE3．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P . 问EP 与PD 是否相等？证明你的结论. P DOCAB E2003年“TRULY ®信利杯”全国初中数学竞赛试题解：DP =PE . 证明如下：因为AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，所以AB ⊥BC .由Rt △AEP ∽Rt △ABC ，得ABAE BC EP = . ① 又AD ∥OC ，所以∠DAE=∠COB ，于是Rt △AED ∽Rt △OBC . 故AB AE AB AE OB AE BC ED 221=== ② 由①，②得 ED =2EP .所以 DP =PE .4．如图所示，在△ABC 中，∠ACB =90°.（1）当点D 在斜边AB 内部时，求证：ABBD AD BC BD CD -=-222. （2）当点D 与点A 重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.（3）当点D 在BA 的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由. B A CD2003年“TRULY ®信利杯”全国初中数学竞赛试题证：（1）作DE ⊥BC ，垂足为E . 由勾股定理得 .)()()(22222222BC BE CE BE CE DE BE DE CE BD CD -=-=+-+=-A B 所以BC BE BC CE BC BE CE BCBD CD -=-=-222. 因为DE ∥AC ，所以 AB BD BC BE AB AD BC CE ==,.故 AB BD AD AB BD AB AD BCBD CD -=-=-222. （2）当点D 与点A 重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。
2006年初中数学竞赛模拟试题
学校 班级 考号 姓名_________________试场号______________ 装订线内不要答题 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆2006年初中数学竞赛模拟试题一、选择题（本题有5小题，每小题6分，共30分）每小题都只有一个答案是正确的，多选不给分 1．如果多项式222242009p a b a b =++++，则p 的最小值是 （ ） （A ）2005 （B ）2006 （C ）2007 （D ）20082．一架天平因为两臂的长不相等，所以称得物体质量不准．要是把某物体放在天平的左盘，称得质量是1m 克，把这一物体放在天平的右盘，称得质量是2m 克，那么这个物体的准确质量（单位：克）是 （ ）（A ）221m m + （B ）21m m （C ）2121m m m m + （D ）22221m m +3．函数c bx ax y ++=2图象的大致位置如右图所示，则()()222222,,,2,,a b c b a b c a b a bc ab --+-++等代数式的值中，正数有 （ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 （第3题图）4．某工厂实行计时工资制，每个工人工作1小时的报酬是6元，一天工作8小时．但是用于计时的那口钟不准：每69分钟才使分针与时针重合一次，因此工厂每天少付给每个工人的工资是 （ ） （A ）2.20元 （B ）2.40元 （C ）2.60元 （D ）2.80元5．2条相交的弦把圆分成4部分，3条两两相交的弦最多能把圆分成7部分，如果两两相交的k 条弦最多能把圆分成n 部分，那么两两相交的k ＋1条弦最多能把圆分成几部分？答：（ ） （A ）n ＋1 （B ）2n （C ）n ＋k （D ）n ＋k ＋1二、填空题（本题有5小题，每小题6分，共30分）6．如图，⊙O 的直径AB 与弦EF 相交于点P ，交角为45°， 若22PF PE +=8，则AB 等于 ． 7．若573-=+y x ，753-=-y x ，则=xy ．8．已知不论x 取何数值，分式53++bx ax 的值都为同一个定值， （第6题图） 那么bba +的值为 ． 9．如图，在□ABCD 中，∠B =60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，E ，F 为垂足. 设□ABCD 的面积为 S ，则△AEF 的面积为 ． 10．若二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0）． 则c b a S ++=的值的变化范围是 ．（第9题图） 三、解答题（本题有4小题，每小题15分，共60分）11．甲、乙两辆公共汽车分别自A、B两地同时出发，相向而行．甲车行驶85千米后与乙车相遇，然后继续前进．各车到达对方的出发点等候30分钟立即依原路返回．当甲车行驶65千米后又与乙车相遇，求A、B两地距离．12．如图，四边形ABCD内接于以BC为直径的半圆O，且AB=AD，DA、CB的延长线相交于点P，CE⊥PE，PB=BO．已知DC=18，求DE的长．13．（1）试设计一种方法，把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形（分得的正方形大小可以不相同）；又问如何把正方形按上述要求分成31个正方形？（2）试设计一种方法，把一个立方体分割成55个立方体（要求：不重复不遗漏，分得的立方体大小可以不相同）．14．如图，AB、CD是半径为1的⊙P两条直径，且∠CPB=120°，⊙M与PC、PB及弧都相切，O、Q分别为PB、弧上的切点．(1)试求⊙M的半径r；(2)以AB为x轴，OM为y轴(分别以OB、OM为正方向)建立直角坐标系，①设直线m kx y +=过点M 、Q ，求k ，m ；②设函数c bx x y ++=2的图像经过点Q 、O ，求此函数解析式；③当c bx x y ++=2＜0时，求x 的取值范围；④若直线m kx y +=与抛物线c bx x y ++=2的另一个交点为E ，求线段EQ 的长度．参考答案一、选择题（每小题5分，共30分）1．B2006)1(2)1(22++++=b a p ，故最小值为2006．2．B设物体的准确质量为x ，左右两臂长分别为a ，b ，则21,am bx bm ax ==． 两式相乘，约去正数ab ，得212m m x =． 3. A显然，.0,0,0><<b c a 由12<-ab，得a b 2-<，所以02<+b a ； 由a －b ＋c <0得()()()022<+-++=-+c b a c b a b c a ；由a ＋b ＋c >0得a ＋b >－c >0，因此()0,,02222>->>-+a b a b c b a ．综上所述，仅有()2222,a b c b a --+为正数．4．C正常的时钟，分针与时针重合一次的时间为⎪⎭⎫⎝⎛+116060分，因此，工人一天实 际工作时间为30253116060698=+⨯（小时），超过3013830253=-（小时）．少付工资60.253230136==⨯元． 5．D第k ＋1条直线与前面的k 条直线都相交，且不经过原有的任何一个交点，因此 把前k 条直线为边界的（k ＋1）个区域一分为二，增加了（k ＋1）个区域，结果区域总数成为n ＋k ＋1．二、填空题（每小题6分，共30分） 6．4作E 关于AB 的对称点G ，则PG=PE ，PG ⊥PE ，22,822222===+=+FG FG PF PG PF PE ．但FG 所对的圆周角为45°，所以FG 所对的圆心角为90°，圆的半径为2． 7．57-)57(4)753()573()()(422-=---=--+=y x y x xy ，∴57-=xy ．8．58 当0=x 时，分式值为53． 所以当1=x 时，5353=++b a ，53=b a ，58=+b b a ．9．S 83由△ABE ∽△ADF 得AF AE AD AB =,即AFAEBC AB =， 易证∠B=∠EAF ，可知△AEF ∽△ABC ，相似比为23sin60=︒． 但△ABC 的面积为2S，所以△AEF 的面积为S S 83243=⨯． 10．20<<S分别令0=x ，1=y 和1-=x ，0=y ，求得1=c ，1-=b a ，∴b c b a S 2=++=． 由题设知，002<>-a ab且，∴02>b ．又由1+=a b 及0<a 可知22<b ． ∴20<<S ．三、解答题（每小题15分，共60分）11．设甲车的速度为x(千米/时)，乙车的速度为y(千米/时)，A 、B 两地的距离为S(千米) …………（2分）则…………（6分）即 …………（8分）得 …………（12分）①÷② 去分母，化简得S 2-190S=0S ＝0(舍) S ＝190 …………（14分） 答：A 、B 两地的距离为190千米。
数学竞赛模拟试题
数学竞赛模拟试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 32. 如果一个数的平方等于其自身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 所有选项3. 一个圆的半径是5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 以下哪个是二次方程的解？A. x = 2B. x = -2C. x = 3D. x = 1/25. 一个数列的前三项是1, 1, 2，如果每一项都是前两项之和，那么第四项是多少？B. 4C. 5D. 66. 以下哪个是勾股定理的表达式？A. a² + b² = c²B. a² - b² = c²C. a² * b² = c²D. a² / b² = c²7. 如果一个三角形的三个内角分别是40°，60°和80°，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形8. 一个数的立方根等于它自己，这个数可能是：A. 1B. -1C. 0D. 所有选项9. 以下哪个是等差数列的通项公式？A. an = a1 + (n-1)dB. an = a1 - (n-1)dC. an = a1 * (n-1)dD. an = a1 / (n-1)d10. 如果一个函数f(x) = x² + 2x + 1，那么f(-1)的值是：B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。
12. 如果一个数列的前n项和为S，且S = n²，那么这个数列是________。
13. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边的长度是________。
14. 一个函数f(x) = 3x - 2，当x = 1时，函数的值是________。
历年初中数学竞赛真题库含答案
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试 一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是（A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18． 答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）11=S 3S =132=S（C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+acb 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ，yx四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为 2n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD ,AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(baa b . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N. 1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值. 其中正确的是(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B)53124x x x x x >>>>; (C)52413x x x x x >>>>; (D)24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5 6.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22-(B)22(C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n , p ,那么m :n :p 等于(A)cb a1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( ) 8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( ) 二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB ,AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题 第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A ，B 、C ，D ，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0 〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4 B．等于5C．等于6 D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
初三数学竞赛模拟试题(四 无答案)
第1页初三数学竞赛模拟考试卷(四)班级_________ 学号____ 姓名_________一、选择题（本题共6小题，每题5分，满分30分，每题只有一个正确答案） 1、如果x 1<2，且x1>－3，则x 的取值范围是（ ） A 、2131<<-x B 、03121<<->x x 或 C 、x>21或x<－31D 、这样的x 不存在2、已知方程组25722=+=+y x y x 的两解为 1111s y t x ==和 2222s y t x ==，则t 1s 2+t 2s 1=（ ） A 、25 B、7C 、8D 、24 3、53+-+53-的值等于（ ） A 、2 B 、2 C 、－2 D 、－24、设实数a 、b 满足a 4－a 2－1=0，012424=-+b b ，则4444bb a +的值为（ ） A 、2 B 、3 C 、6 D 、非上述答案 5、已知y=|x 2+2x －3|，试判断下列那个图象较正确（ ）A 、 C 、 D 、6、等腰△ABC 的顶角∠A=108°，BC=m ，AB=AC=n ，若x=n m n m -+，y=m nn m 2)(+，z=33nm ，则x 、y 、z 之间的大小关系正确的是（ ） A 、x>y>z B 、x<y<z C 、x=y ≠z D 、x=y=z 二、填空题（每题6分，共30分）1、在实数范围内分解因式：x 3+x 2－10x+8=____________________；2、若x=132-，求=+--22123x x x ______________________；3、如图，矩形ABCD 由三个全等的正方形连成，求∠AFB+∠ACB=_______度；4、两个质数p 、q 恰是整系数方程x 2－13x+m=0的两个根，则pqq p +的值等于_____； 5、函数y=1052-x 在第一象限的点的坐标(x ，y)， 且x 与y 都是整数，则有______个这样的点； 三、解答题（60分，每题20分）1，某次活动有四个人参加，问起他们各自的年龄，其中一个人答道：“我们四个人的年龄全都不一样大，如果把我们的年龄相加，那一共是129岁；另外我们当中有3个人的年龄是平方数，倒退15年，我们当中也有3个人的年龄是平方数。
初中数学竞赛模拟试题
初中数学竞赛模拟试题文／安振平苟春鹏第一试（共70分）一、选择题（每小题7分，共42分）1.ａ、ｂ、ｃ、ｄ都是实数．若｜ａ＋ｂ｜＝4，｜ｃ＋ｄ｜＝2，且｜（ａ－ｃ）＋（ｂ－ｄ）｜＝（ｃ－ａ）＋（ｄ－ｂ），则ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ的最大值是（）．Ａ．6 Ｂ．2 Ｃ．－2 Ｄ．－62．若实数ｘ、ｙ满足ｘ２＋ｙ２－ｘｙ－ｙ＋ｘ＜0，则有（）．Ａ．ｘ２＋ｙ２＜1 Ｂ．ｘ２＋ｙ２＝1Ｃ．ｘ２＋ｙ２＞1 Ｄ．ｘ２＋ｙ２≥13．如图1，ＡＢＣＤＥ是正五边形，ＡＰ、ＡＱ和ＡＲ是由Ａ向ＣＤ、ＣＢ和ＤＥ（或延长线）所引的垂线．设Ｏ是正五边形的中心，ＯＰ＝1，则ＡＯ＋ＡＱ＋ＡＲ等于（）．图1Ａ．3 Ｂ．1＋Ｃ．4 Ｄ．2＋4．已知△ＡＢＣ的两边长分别为2和4，且有一个内角等于30°，则这个三角形是（）．Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．直角三角形或钝角三角形5.正三角形ＡＢＣ的高等于⊙Ｏ的半径，⊙Ｏ在ＡＢ上滚动，切点为Ｔ，⊙Ｏ交ＡＣ、ＢＣ于Ｍ、Ｎ则（）．图1Ａ．在0°～30°变化Ｂ．在30°～60°变化Ｃ．在60°～90°变化Ｄ．保持60°不变6．已知实数ａ、ｂ、ｃ满足ａ２＋ａｂ＋ａｃ＜0，则关于ｘ的方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝0（）． Ａ．有两个不同的实根Ｂ．有两个相等的实根Ｃ．无实数根Ｄ．以上都不对二、填空题（每小题7分，共28分）1．设ｘ、ｙ、ｚ为3个非零实数，则（ｘ／｜ｘ｜）＋（｜ｙ｜／ｙ）＋（ｚ／｜ｚ｜）＋（ｘｙ／｜ｘｙ｜）＋（｜ｙｚ｜／ｙｚ）＋（ｚｘ／｜ｚｘ｜）＋（｜ｘｙｚ｜／ｘｙｚ）＝_______．2．折叠矩形纸片ＡＢＣＤ，先折出折痕（对角线）ＢＤ，再折叠使ＡＤ边与对角线ＢＤ重合，得折痕ＤＧ（图3）．若ＡＢ＝2，ＢＣ＝1，则ＡＧ＝_________．图33．某种商品，当出售价格是15元时卖出500个，价格每上涨1元，卖出的个数就要减少20个，要使售货金额取得最大值，价格应定为__________元．4．在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝75°，Ｐ点是ＢＣ边上的一点，且ＰＣ＝2ＢＰ，∠ＡＰＣ＝60°，则∠ＡＢＣ＝_________．第二试（共70分）一、（本题满分20分）如，ＯＭ是⊙Ｏ的半径，ＡＢ切⊙Ｏ于Ｍ，连结ＯＡ、ＯＢ交⊙Ｏ于Ｃ、Ｄ两点，且ＡＣ＝ＢＤ，求证：ＡＭ＝ＢＭ．图4二、（本题满分25分）解方程组＝10，①＝10．② 三、（本题满分25分）设ｘ、ｙ、ｚ为任意实数，求证：≥．参考答案第一试一、选择题1．选Ｃ．由｜ａ＋ｂ｜＝4，得ａ＋ｂ＝±4，由｜ｃ＋ｄ｜＝2，得ｃ＋ｄ＝±2．∴｜（ａ－ｃ）＋（ｂ－ｄ）｜＝（ｃ－ａ）＋（ｄ－ｂ），即｜（ａ＋ｂ）－（ｃ＋ｄ）｜＝（ｃ＋ｄ）－（ａ＋ｂ），∴ｃ＋ｄ＞ａ＋ｂ，则ｃ＋ｄ必等于±2，ａ＋ｂ必等于－4，∴ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ等于－2或－6．故ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ的最大值为－2．2．选Ａ．对已知不等式两边乘以2，得0＞2ｘ２＋2ｙ２－2ｘｙ－2ｙ＋2ｘ＝（ｘ２＋ｙ２－1）＋［ｘ２＋ｙ２＋1２－2ｘｙ－2ｙ＋2ｘ］＝（ｘ２＋ｙ２－1）＋（ｘ－ｙ＋1）２，即ｘ２＋ｙ２－1＜－（ｘ－ｙ＋1）２≤0．∴ｘ２＋ｙ２＜1．3．选Ｃ．∵Ｓ△ＡＣＤ＋Ｓ△ＡＢＣ＋Ｓ△ＡＤＥ＝Ｓ正五边形ＡＢＣＤＥ＝5Ｓ△ＣＯＤ，即（1／2）ＣＤ²ＡＰ＋（1／2）ＢＣ²ＡＱ＋（1／2）ＥＤ²ＡＲ＝5²（1／2）ＣＤ²ＯＰ．由ＣＤ＝ＢＣ＝ＤＥ，有ＡＰ＋ＡＱ＋ＡＲ＝5ＯＰ．又ＯＰ＝1，ＡＰ＝ＡＯ＋ＯＰ，∴ＡＯ＋1＋ＡＲ＋ＡＱ＝5，即ＡＯ＋ＡＱ＋ＡＲ＝4．4．选Ｄ．不妨设ＡＣ＝2，ＢＣ＝4，此题没有明确哪一个内角等于30°，因此三个内角都有可能等于30°，所以分以下三种情况：（第4题）①如图（1），当∠Ａ＝30°时，由ＢＣ＞ＡＣ得∠Ｂ＜∠Ａ，∴∠Ｂ＜30°，而且∠Ｃ＞120°，即△ＡＢＣ是钝角三角形；②如图（2），当∠Ｂ＝30°时，过点Ｃ作ＣＡ⊥ＡＢ，垂足为Ａ′，在Ｒｔ△Ａ′ＢＣ中，∵∠Ｂ＝30°，∴ＢＣ＝2Ａ′Ｃ，∵ＢＣ＝4，ＡＣ＝2，即ＢＣ＝2ＡＣ，∴ＡＣ＝Ａ′Ｃ，即Ａ′与Ａ重合．故∠Ａ＝90°，∴△ＡＢＣ是直角三角形．③如图（3），当∠Ｃ＝30°时，∵ＡＢ＞ＢＣ－ＡＣ，ＢＣ－ＡＣ＝2＝ＡＣ，∴ＡＢ＞ＡＣ，∴∠Ｂ＜∠Ｃ，于是有∠Ｂ＜30°，∴∠Ａ＞120°，即△ＡＢＣ是钝角三角形． 综合①、②、③得这个三角形是直角三角形或钝角三角形．5．选Ｄ．延长ＢＣ交⊙Ｏ于Ｇ，过Ｃ、Ｏ作⊙Ｏ的直径ＥＦ交⊙Ｏ于Ｅ、Ｆ，设ＣＡ交⊙Ｏ于M，连ＭＧ交ＥＦ于Ｐ（参看右图）．（第5题）由已知得ＥＦ∥ＡＢ，∠ＥＣＭ＝∠Ａ＝60°，∠ＥＣＧ＝∠Ｂ＝60°，∴∠ＥＣＭ＝∠ＥＣＧ＝60°．由于ＥＦ是⊙Ｏ的直径，由轴对称性质得ＥＧ＝ＥＭ，ＧＭ⊥ＣＥ．从而∠ＢＧＭ＝30°，∴＝60°．6．选Ａ．Δ＝ｂ２－4ａｃ，当ｃ＝0时，Δ＞0显然成立．下设ｃ≠0，将已知变形为ａ（ａ＋ｂ＋ｃ）＜0，即说明ａ与ａ＋ｂ＋ｃ异号．构造函数ｆ（ｘ）＝ｃｘ２＋ｂｘ＋ａ．∵ｆ（0）＝ａ，ｆ（1）＝ａ＋ｂ＋ｃ，∴ｆ（ｘ）的图象（抛物线）与ｘ轴有两个交点，故判别式Δ＝ｂ２－4ａｃ＞0．综上知，ｂ２＞4ａｃ．二、填空题1．填－1或7．设所求代数式的值为Ｓ，则Ｓ＝（ｘ／｜ｘ｜）＋（｜ｙ｜／ｙ）＋（ｚ／｜ｚ｜）＋（ｘ／｜ｘ｜）²（ｙ／｜ｙ｜）＋（｜ｙ｜／ｙ）²（｜ｚ｜／ｚ）＋（ｚ／｜ｚ｜）²（ｘ／｜ｘ｜）＋（｜ｘ｜／ｘ）²（｜ｙ｜／ｙ）²（｜ｚ｜／ｚ）＝（ｘ／｜ｘ｜）＋（ｙ／｜ｙ｜）＋（ｚ／｜ｚ｜）＋（ｘ／｜ｘ｜）²（ｙ／｜ｙ｜）＋（ｙ／｜ｙ｜）²（ｚ／｜ｚ｜）＋（ｚ／｜ｚ｜）²（ｘ／｜ｘ｜）＋（ｘ／｜ｘ｜）²（ｙ／｜ｙ｜）²（ｚ／｜ｚ｜）＝（（ｘ／｜ｘ｜）＋1）（（ｙ／｜ｙ｜）＋1）（（ｚ／｜ｚ｜）＋1）－1 （∵（ａ／｜ａ｜）＝｜ａ｜／ａ）．因为对任意实数ａ≠0，有ａ／｜ａ｜1 （ａ＞0），－1 （ａ＜0），所以当ｘ、ｙ、ｚ中至少有一个为负数时，Ｓ的值是－1；当ｘ、ｙ、ｚ均为正数时，Ｓ的值是7． 2．填（＋1）／2．（第2题）如图，设折叠后点Ａ落在ＢＤ上Ａ′点的位置，并设ＡＧ＝ｘ，则Ａ′Ｇ＝ｘ，ＤＡ′＝ＤＡ＝ＢＣ＝1，ＧＢ＝2－ｘ，且ＧＡ′⊥ＢＤ．∵ＢＤ＝＝，∴Ａ′Ｂ＝－1．在Ｒｔ△ＢＧＡ′中，Ａ′Ｇ２＋Ａ′Ｂ２＝ＧＢ２．解得ＡＧ＝ｘ＝（＋1）／2．3．填8000．设每个提价ｘ元，总金额为ｙ，则有ｙ＝500（15＋ｘ）－20ｘ（15＋ｘ）＝－20ｘ２＋200ｘ＋7500＝－20（ｘ－5）２＋8000．显然当ｘ＝5时，ｙ有最大值8000．因此要使销售金额最大，售出价格应定为15＋5＝20元，此时最大金额为8000元．4．填45°．（第4题）如图，过点Ｃ作ＣＱ⊥ＡＰ，连结ＢＱ．由∠ＡＰＣ＝60°，∠ＡＣＢ＝75°，得∠ＣＡＱ＝45°．∵ＡＱ＝ＣＱ，又∠ＰＣＱ＝30°，∴ＰＱ＝（1／2）ＰＣ＝ＢＰ．则∠ＱＢＰ＝∠ＰＱＢ＝∠ＰＣＱ＝30°．∴ＢＱ＝ＡＱ＝ＣＱ，∠ＡＢＱ＝∠ＢＡＱ＝15°，则∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＱ＋∠ＱＢＰ＝15°＋30°＝45°．第二试一、如图，设ＡＭ＝ｘ，ＢＭ＝ｙ，ＯＭ＝ｒ，延长ＡＯ交⊙Ｏ于Ｅ，延长ＢＯ交⊙Ｏ于Ｆ．由切割线定理，得ＡＭ２＝ＡＣ²ＡＥ，ＢＭ２＝ＢＤ²ＢＦ，即（第一题）ｘ２＝ＡＣ（ＡＯ＋ＯＥ）＝ＡＣ（＋ＯＥ）＝ＡＣ（＋ｒ），①ｙ２＝ＢＤ（ＢＯ＋ＯＦ）＝ＢＤ（＋ＯＦ２）＝ＢＤ（＋ｒ）．② ∵ＡＣ＝ＢＤ，∴由①÷②，得ｘ２／ｙ２＝（＋ｒ）／（＋ｒ），即ｘ２－ｙ２＝（ｙ２－ｘ２）ｒ．两边平方，整理得ｘ２＋2ｒ２＋ｙ２＝2．将上式两边平方，整理得（ｘ２－ｙ２）２＝0．∴ｘ２－ｙ２＝0，ｘ＝ｙ，故ＡＭ＝ＢＭ．二、由①得－5＝－＋5，分子有理化，得16（ｘ－1）／（＋5）＝－9（ｙ－1）／（＋5）．③对①－②的变形式－＝－，作分子有理化，得（ｘ－1）／（＋）＝（ｙ－1）／（＋）．④ 由③³④，得16（ｘ－1）２／（＋5）（＋）＝－9（ｙ－1）２／（＋5）（＋）．⑤注意到⑤的左端非负，而右端非正，故有ｘ－1＝0，且ｙ－1＝0，∴ｘ＝ｙ＝1．三、在平面上建立坐标系ｘＯｙ，并取三个点Ａ（ｘ，0），Ｂ（－ｙ／2，－（／2）ｙ），Ｃ（－ｚ／2，（／2）ｚ），则｜ＡＢ｜＝＝，｜ＡＣ｜＝＝，｜ＢＣ｜＝＝．∵｜ＡＢ｜＋｜ＡＣ｜≥｜ＢＣ｜，∴≥．。
2006年全国初中数学竞赛试题(含答案)
选择题1.C具体方法：19+4*9=552.C具体方法：不明3.B具体方法：因为平行，且左右对称，所以原点到三角形斜边与y轴的交点就是高h，所以有y=x, 又因为题目有y=x的平方，解方程组有x=1,x=o（舍去），所以斜边是2，h=1。
4.B具体方法：把4边形剪成62边形，要剪58次，而且剪出来的都是3角形，3角形要剪成62边形要59次，所以总共要剪58+59*33=20055.D具体方法：不明，不过可自己画一幅精确的图去量出来（迫不得已啊……）6. 5013具体方法：把已知的两式相加得b+c=4011,因此只需讨论a的最大值，因为a＜b ，所以容易知道a=1002所以最大值为1002+4011=50137.—20/3具体方法：因为正三角形面积为1，可求出3边的值，根据正三角形底边的正方形的边与底边的比值可以求出正方形的一边，接着求出正方形面积为28×根号3—48，因此可求出a=28,b=3,c=48,接着把它们分别代入就求得了8.104具体方法：先求出他们相隔400米时的时间，因为在这之前，他们不可能走在同一条线上，接着当他们相隔400时再向前拐弯，就一定是走在同一条线上，所以求出当他们相隔400米时，甲刚好走了12.5圈所以甲走了13圈时，就跟乙走在同一条线上，所以可求出时间为13×（400÷50）=104 9.6具体方法：根据题意得（1—11/30）＜a＜（1—12/30），求得0.6 ＜a＜0.633……，所以[10a]=610.282500具体方法：比较抽象麻烦，就不具体说明了，方法是用像根号的那个除法，就是小学2年级学的那种做除法的那种方法，一个个推出a,b,c,d,e,f.三` 11 (1)1/2 2/3 3/5 5/7 4/7 3/7 5/8。
2006全国初中数学联赛试题及答案全
2006年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知四边形ABCD 为任意凸四边形，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点用S 、p 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；S1、p1，分别表示四边形EFGH 的面积和周长．设111,p p k S S k ==．则下面关于1k k 、的说法中，正确的是（ ）A ．1k k 、均为常值．B ．k 为常值，1k 不为常值． C.k 不为常值，1k 为常值． D.1k k 、均不为常值．2．已知m 为实数，且ααcos sin 、是关于x 的方程0132=+-mx x 的两根．则4sin α+α4cos 的值为（ ） A.92． B.31 ． C.97 ． D.1．3．关于x 的方程a x x =-|1|2仅有两个不同的实根．则实数a 的取值范围是（ ）A.a ＞0．B.a≥4．C.2＜a ＜4．D.0＜a ＜4． 4．设.,02,0222a bc c ab a b >=+->则实数c b a 、、的大小关系是 ( )A.a c b >> ．B.b a c >> ．C.c b a >> ．D.c a b >> ．5．b a 、为有理数，且满足等式324163++⨯=+b a ,则b a +的值为 ( )A.2．B.4．C.6．D.8．6．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，…．则这列数中的第158个数为 ( )A ．2000．B ．2004．C ．2008．D ．2012．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．函数2008||20062+-=x x y 的图像与x 轴交点的横坐标之和等于 ． 8．在等腰ABC Rt ∆中，AC ＝BC ＝1，M 是BC 的中点，CE ⊥AM 于点E ，交AB 于点F ，则S △MBF ＝ ．9．使16)8(422+-++x x 取最小值的实数x 的值为 ．10．在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点坐标分别为O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)．若正方形0ABC 内部(边界及顶点除外)一格点P 满足PO C PAB PBC PO A S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅.就称格点P 为“好点”．则正方形OABC 内部好点的个数为 ．注：所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知关于x 的一元二次方程0)994()32(222=++++++b a x b a x 无相异两实根．则满足条件的有序正整数组)(b a ，有多少组?二、（本题满分25分）如图，D 为等腰△ABC 底边BC 的中点，E 、F 分别为AC 及其延长线上的点．已知∠EDF ＝90°．ED ＝DF ＝1，AD ＝5．求线段BC 的长．三、（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，点O 、O1分别为△CEF 、△ABE 的外心．求证： (1)O 、E 、O1三点共线；(2).21ABC OBD ∠=∠ ．第二试（B ）一、（本题满分20分）题目与（A ）卷第一题相同．二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同．三、（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，点O 、O1分别为△CEF 、△ABE 的外心．(1)求证：O 、E 、01三点共线；(2)若,70o ABC =∠求OBD ∠的度数．第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（A ）卷第二题相同．二、（本题满分25分）题目与（B ）卷第三题相同．三、（本题满分25分）设p 为正整数，且2≥p ．在平面直角坐标系中，点),0(p A 和点)0,(p B 的连线段通过1-p 个格点,),1,1(1 -p C )1,1(,).,(1---p C i p i C p i ．证明： (1)若p 为质数，则在原点O(0，0)与点),(i p i C i-的连线段)1,,2,1(.-=p i OC i 上除端点外无其他格点；(2)若在原点O(0，0)与点),(i p i C i -的连线段)1,,2,1(-=p i OC i 上除端点外无其他格点，则p 为质数． 2007年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为（ ） A ．1. B ．31. C ．31-. D ．21. 2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx +-的值，将所得的结果相加，其和等于（ ） A ．－1. B ．1. C ．0. D ．2007.3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形. B ．锐角三角形. C ．钝角三角形. D ）直角三角形.4. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）A ．30°.B ．45°.C ．60°.D ．75°.5．设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F ，则ABC DEF S S △△:的值为（ ）A ．91.B ．92.C ．94.D ．32. 6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是（ ）A ．101.B ．51.C ．103.D ．52. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1. 设121-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333___ ． 2. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ），则)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a = ． 3. 已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为 ．4． 若64100+a 和64201+a 均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是 ．第二试（A ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME .三、 （本题满分25分）已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.第二试（B ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数xy 56=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值. A B C D EF M N P第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数x a y 311-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点. 2008年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（ ） A. 5. B.7. C .9. D.11.2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（ ）A.185.B.4.C.215.D.245. 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）A.15.B.310.C.25.D.12. 4．在△ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（ ）A.BM CN >.B.BM CN =.C.BM CN <.D.BM 和CN 的大小关系不确定.5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（ ）A.39()8.B.49()8.C.59()8.D.98. 6． 已知实数,x y 满足22(2008)(2008)2008x x y y ----=，则223233x y x y -+-2007-的值为（ ）A.2008-.B.2008.C.1-.D.1.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．设51a -=，则5432322a a a a a a a +---+=-.2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且5AM =，135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 .第二试（A ）一、（本题满分20分） 已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ 恒成立.当乘积ab取最小值时，求,a b 的值.二、（本题满分25分） 如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.三、（本题满分25分）设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+，求a ，b 的值.第二试（B ）一、（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ，不等式220ay xy bx -+≥恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）题目与（A ）卷第三题相同. 第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 为质数，,b c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩ ,求()a b c +的值. 2009年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.设1a =，则32312612a a a +--=（ ）A.24.B. 25.C. 10. D. 12.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（ ）A.103．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为（ ）A.1.B. 2.C. 3.D. 4.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ ） A.314. B. 37. C. 12. D. 47. 5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin ∠CBE ＝（ ）23. C. 13. 6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是（ ） A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.2． 设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=_ ____. 4．已知,a b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有_____对. 第二试（A ）一、（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、DCB ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.二、（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I .三、（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++=14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=.第二试（B ）一、（本题满分20分）题目与（A ）卷第一题相同.二、（本题满分25分） 已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.三、（本题满分25分）题目与（A ）卷第三题相同. 第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（A ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（B ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++=14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=.2010年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（ ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为（ ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.N A B3．若b a ,是两个正数，且,0111=+-+-ab b a 则（ ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bxc +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB （ ）A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，12320092010a a a a a +++++=（ ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PAPC ＝5，则PB ＝_____．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放______个球.第二试（A ）一、（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二、（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.三、（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . N（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.第二试（B ）一、（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）题目与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．2012年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知，，，那么的大小关系是（）A. B. C. D.2．方程的整数解的组数为（）A．3. B．4. C．5. D．6.3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A． B． C． D．4．已知实数满足，则的最小值为（）A．. B．0. C．1. D．.5．若方程的两个不相等的实数根满足，则实数的所有可能的值之和为（）A．0. B．. C．. D．.6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足.这样的四位数共有（）A．36个. B．40个. C．44个. D．48个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数满足，则．2．使得是完全平方数的整数的个数为．3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则＝．4．已知实数满足，，，则＝．第二试（A）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.二、（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明：.三、（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P，与轴的正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M，若AM//BC，求抛物线的解析式.第二试（B）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积.二、（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：∠BAE＝∠ACB.三、（本题满分25分）题目与（A）卷第三题相同.第二试（C）一、（本题满分20分）题目与（B）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（B）卷第二题相同.三、（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P ，与轴的正半轴交于A 、B（）两点，与轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线的解析式.2011年四川初中数学联赛初赛试题一、选择题:（本题满分42分，每小题7分） 1．如果a ，b ，c 是三个任意的数，那么2b a +，2c b +，2ac +这三个数一定（ ） A.都是整数. B.都不是整数. C.至多有两个整数. D.至少有一个整数. 2.关于x 的方程m x x =+-1||22恰好有3个不同的实数根，则实数m 的值等于（ ） A.1-. B.0. C.1. D.2.3.ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于D ，若BD AB BC +=，︒=∠30C ，则B ∠的度数等于（ ）A. 45.B. 60.C. 75.D. 90.4.在1，2，3，…，100这100个数之间添上（99个）“+”号或“－”号，使算式的代数和为4150，则“－”号至少可添的个数是（ ）A.4.B.5.C.6.D.7.5.点P 是矩形ABCD 内部的一点，满足6=PA ，8=PB ，10=PC ，则PD 等于（ ） A.25. B.35. C.26. D.28.6.设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足c by ax =+，a cx bz =+，b az cy =+，则以a 、b 、c 为边长的三角形一定是（ ）A.锐角三角形.B.直角三角形.C.钝角三角形.D.形状不等确定. 二、填空题:（本题满分28分，每小题7分） 1.已知131+=a ，131-=b ，则baa b +的值为 . 2.如图，矩形ABCD 中，8=AB ，6=AD ，将BDC ∆沿BD 对折为BDE ∆，再将点B 对折与点A 重合，则折痕MN 的长度为 .3.若方程0132=+-x x 的两根也是方程024=+-q px x 的根，则()11q p +的个位数字是 ．4.在正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，满足︒=∠20BAP ，︒=∠45PAQ ，则AQP ∠的度数为 .三、（本题满分20分）已知抛物线()02a c bx ax y ++=与直线()412k x k y --=．无论k 取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点，求抛物线的解析式.DM CBNE A四、（本题满分25分）如图，ABC ∆与ADE ∆都是等腰直角三角形，其中 90=∠=∠DAE BAC ，点M 是线段BE 的中点，求证：DC AM ⊥．五、（本题满分25分）已知a 为实数，若关于x 的方程0143||214442=-+-+a x x x x 有实数解，求实数a 的取值范围.2011年四川初中数学联赛决赛试题一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有（ ） A ．42条. B ．54条. C ．66条. D ．78条.2．如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ．若∠CAE＝15°，则∠BOE ＝（ ） A ．30°. B ．45°. C ．60°. D ．75°. 3．设方程()()0x a x b x ---=的两根是c ，d ，则方程()()0x c x d x --+=的根分别是（ ）A ．a ，b.B ．－a ，－b.C ．c ，d.D ．－c ，－d. 4．若不等式2133x x a -+-≤有解，则实数a 的最小值是（ ）A ．1.B ．2.C ．4.D ．6.5．若一个三角形的任意两条边都不相等，则称它为“不规则三角形”．用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，“不规则三角形”的个数是（ ） A ．18 B ．24 C ．30 D ．36.6．不定方程2225x y -=的正整数解（x ，y ）的组数是（ ） A ．0组. B ．2组. C ．4组. D ．无穷多组． 二、填空题:（本大题满分28分，每小题7分）1．二次函数22y x ax =-+的图象关于直线x=1对称，则y 的最小值是__________． 2．已知1a ，则20122011201022a a a +-的值为_____________．3．已知△ABC 中，AB，BC ＝6，CAM 是BC 的中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D ，则线段BD 的长度是_______________．4．一次棋赛，有n 个女选手和9n 个男选手参赛，每位选手都与其余10n －1个选手各对局一次．计分方式为：胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后统计发现，所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍．则n 的所有可能值是__________． 三、（本题满分20分）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程22(31)210x a x a +-+-=的两个实数根，使得1212(3)(3)80x x x x --=-成立．求实数a 的所有可能值．DM CBEAO EDCBA四、（本题满分25分）抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点M （x 1，0），N （x 2，0），且经过点A （0，1），其中0<x 1<x 2．过点A 的直线l 与x 轴交于点C ，与抛物线交于点B （异于点A ），满足△CAN 是等腰直角三角形， 且S △BMN =52S △AMN ．求该抛物线的解析式． 五、（本题满分25分）如图，AD 、AH 分别是△ABC （其中AB>AC）的角平分线、高线，M 是AD 的中点．△MDH 的外接圆交CM 于E ．求证：∠AEB ＝90°．2012年四川初中数学联赛初赛试题一、选择题:（本题满分42分，每小题7分） 1．已知关于x 的方程3x+a=0的根比关于x 的方程5x －a=0的根大2，那么a 的值为（ ）A ．415-. B.415. C.41-. D.45. 2．设a a 312=+，b b 312=+且a ≠b ，则代数式2211ba +的值为（ ）A.5.B.7.C.9.D.11.3．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOD=30°，半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 得距离为8cm.如果⊙P 以1cm/秒的速度沿由A 到B 的方向移动，那么⊙P 与直线CD 相切所需的时间为（ ）秒A.6.B.8.C.10.D.6或10. 4．已知7=a,70=b,则9.4等于（ ）A.10b a +. B.10a b -. C.a b . D.10ab.5．已知0221≠+=+b ab a ，则b a 为（ ）A.－1.B.1.C.2.D.4.6．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD,AC 交BD 于O,MON ∥AB,且MON 分别交AD 、BC 于M 、N ，则CDMNAB MN +等于（ A.1. B. 2. C.3. D.4.二、 填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．有一列数，按1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,1,2，…的规律排列，那么从左往右数，第2012个位置上的数是 .EHMDCBA2．若函数y=kx与函数y=2x的图象交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为 .3．如图，在平面上将△ABC绕点B旋转到△A′BC′的位置时，AA′∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC′= .4．如图，大圆O的直径AB=12cm，分别以OA，OB为直径作圆1O和圆2O，并在圆O与圆1O和圆2O的空隙间作两个等圆圆3O和圆4O，这些圆相互内切或外切，则四边形1423OO O O的面积为 cm2.三、（本题满分20分）如图，一次函数y=－2x+8的图象与两坐标轴分别交于P、Q两点，在线段PQ上有一点A，过A点分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为B、C.(1)若矩形ABOC的面积为4，求A点坐标；(2)若点A在线段PQ上移动，求矩形ABOC面积的最大值.四、（本题满分25分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+CB,过D作AC的垂线交△ABC的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N，求证：MN为△ABC外接圆的直径.五、（本题满分25分）已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++azxyazxyzxyzyx2的所有各组解（x,y,z）都是由正实数组成的，其中a是参数.试求a的取值范围.一、2012年四川初中数学联赛决赛试题一、选择题：(每小题7分，共42分)1．若－3＜x＜－1，则化简2|1|x-+得( )A．1－x. B．－3＋x. C．3－x. D．3＋x.2．若抛物线y＝x2－4x＋m的顶点在x轴上，则m的值是( )A．0. B．1. C．2. D．4.3．菱形ABCD的边长为1，面积为79，则AC＋BD的值是( )A．43. B．169. C．83. D．329.4．在凸四边形ABCD中，AB＝2AD，BC＝1，∠ABC＝∠BCD＝60°，∠ADC＝90°，则AB的长度是( )A．. B．.C．2. D．3.5．一个活动小组，如果有5个13岁的成员退出，或者有5个17岁的人员加入(两种情况不同时发生)，其成员的平均年龄都增加1岁，则这个活动小组原有成员的人数是( ) A ．10. B ．12. C ．14. D ．16.6．一个正整数，如果它顺着数和倒着数都是一样的，则称这个数为“回文数”．比如：1、11、121都是回文数，而110则不是回文数，将所有“回文数”从小到大排成一列：1、2、…、9、11、22、…，则第2012个“回文数”是( )A ．1011101.B ．1013101.C ．1021201.D ．1030301. 二、填空题：(每小题7分，共28分)1．设1x 、2x 是方程x2－2x －m ＝0的两根，且122x x +＝0，则m 的值是＿＿＿＿＿． 2．在△ABC 中，∠ACB ＝45°，D 是AB 边上异于A 、B 两点的任意一点，△ABC 、△ADC 和△BDC 的外接圆圆心分别为O 、1O 、2O ，则∠12O OO 的度数等于＿＿＿＿．3．已知a ，b 为正实数，m 为正整数，且满足14,48,a b ab m +≤⎧⎨≥+⎩则m 的值是＿＿＿＿＿．4．在一次球类比赛中有8个队参赛，每两队要进行一场比赛，胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．一个队要确保进入前四名(即积分至少要超过其他四个队)，则他的积分最少是＿＿＿＿＿＿．三、（本题满分20分）已知抛物线2y x =与直线(2)(21)y k x k =+--．(1)求证：无论k 为什么实数，该抛物线与直线恒有两个不同的交点；(2)设该抛物线与直线的两个不同的交点分别为A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，若1x ，2x 均为整数，求实数k 的值．四、（本题满分25分）如图，已知⊙A 与⊙B 相交于C 、D 两点，延长AC 交⊙B 于E ，延长BC 交⊙A 于F ．求证：C 是△DEF 的内心．五、（本题满分25分）将10，11，12，…，98，99这90个正整数写在黑板上，擦去其中的n 个数，可使黑板上剩下的所有数的乘积的个位数是1，求n 的最小值．二、 2013年四川初中数学联赛初赛试题一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知10x ，则2x ，x ，1x的大小关系是（ ）A ．21x xx B ．21x x x C ．21x x x D ．21x x x2．如图，正方形ABCD ，点P 是对角线AC 上一点，连接BP ， 过P 作PQ ⊥BP ，PQ 交CD 于Q ，若AP ＝CQ ＝2，则正方形ABCD 的面积为A ．642B ．16C ．1282D ．323．若实数a ，b 满足2220ba b ，则a 的取值范围是（ ） A ． a ≤－1 B ：a ≥－1 C ：a ≤1 D ：a ≥14．如图，在四边形ABCD 中，∠B=135°，∠C=120°，，BC=33，CD=6，则AD 边的长为（）A ．B ．C ．D ．5．方程1137x y 的正整数解(,)x y 的组数是（ ） A ．0B ．1C ．3D ．5 6．已知实数,,x y z 满足1x y z y z z x x y ，则222x y z y z z x x y 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．1D ．2二、填空题：（本题满分28分,每小题7分）1．x 是正整数，○x 表示x 的正约数个数，则③×④÷⑥等于 ． 2．草原上的一片青草，到处长得一样密一样快，70头牛在24天内可以吃完这片青草，30头牛在60天内可以吃完这片青草，则20头牛吃完这片青草需要的天数是 ． 3．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、DC 的中点，AM=4，AN=3，且角MAN=60°，则AB 的长是 ．4、小明将1，2，3，…，n 这n 个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示输入(1)n 个数，且平均值为30.75，假设这(1)n 个数输入无误，则漏输入的一个数是 ． 三、（本题满分20分） 解方程2|21|20x x ．四、（本题满分25分）如图，圆内接四边形ABCD 中，CB CD ，求证：CA 2－CB 2＝AB ×AD ； 五、（本题满分25分） 已知二次函数2yaxbx c 和一次函数ybx ，其中a 、b 、c 满足a b c ，0a b c ．(a 、b 、c ∈R )．（1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A 、B ；（2）过（1）中的两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为A 1、B 1．求线段A1B 1的长的取值范围．2006年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．B 2．C 3．D 4．A 5． B 6．C二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7．0 8．1129．8310．197第二试(A)一、（本题满分20分）解：由题可得二、（本题满分25分）三、（本题满分25分）解：第二试（B）一、（本题满分20分）题目与（A）卷第一题相同二、（本题满分20分）题目与（A）卷第二题相同三、（本题满分25分）解：第二试（C）一、（本题满分20分）题目与（A）卷第二题相同二、（本题满分20分）题目与（B）卷第三题相同三、（本题满分25分）解：2007年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.B2.C3.D4.C5.A6.B（解析：1.由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选B. 注：本题也可用特殊值法来判断.2． 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n n n 011112222=+-++-n n n n ，即当x 分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选C.3. 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选D.4. 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选C.5． A.分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=.易证△DEF ∽△MNP ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=.所以:DEF S △19ABC S =△.故选A. 6．设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ；当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y .因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选B.） 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1.1 2. 10034016- 3.4 4.7 （解析：1.∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a . 又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ，∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++-b a ab b ab a . 2.由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以 =--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+， 则11111()(2)(2)2(1)21n n a b n n n n =-=----++， )2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a ＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤--+-++-=--=-⎢⎥⎣⎦. 3.延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE .4．设264100m a =+，264201n a =+，则100,32<≤n m ，两式相减得))((10122m n m n m n a -+=-=，因为101是质数，且101101<-<-m n ，所以101=+m n ，故1012-=-=n m n a .代入264201n a =+，整理得020*******=+-n n ，解得59=n ，或343=n （舍去）.所以171012=-=n a .）第二试 （A ）一、（本题满分20分）解：因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt + （5分） 由题意，32mt t n +≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥（10分） 由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m （15分） 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2m n m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m （20分） 二、（本题满分25分） 证明:设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ， ∴△PNE ∽△PBC ，∴PCPE PB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅.(5分)又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PF PE PB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅.(10分)∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPC PN PM =(15分) 又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC(20分)∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED. A B C D E FM N P∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.(25分)三、（本题满分25分）解：观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得[]056)18()1(2=+++-x a x x （5分）因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （1） 的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.（10分）设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .（15分）显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a ⎩⎨⎧==.26,12k a （20分） 当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-.当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-.（25分） 第二试 （B ）一、（本题满分20分）解：因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ；一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22.（5分）所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）（10分）由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m （15分） 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2m n m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m ⎩⎨⎧==.1,6n m （20分） 二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分） 解：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得a x a x -+++38)17(2x56=，即056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1）（5分）显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.（10分）而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .（15分）显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a （20分）当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数。
初三数学竞赛模拟试题及答案
初三数学竞赛模拟试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 0.33333（无限循环）D. 1/32. 如果一个多项式f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c均为整数，且f(1) = 1，f(2) = 4，f(3) = 9，那么a的值是多少？A. 1B. 2C. 3D. 43. 一个圆的半径为r，圆心到圆上一点的距离为d，如果d = r，那么点在圆的什么位置？A. 圆内B. 圆上C. 圆外D. 不能确定4. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值。
A. 32B. 35C. 41D. 475. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，如果长方体的体积是120，且a=2b，c=2a，那么b的值是多少？A. 2√5B. 2√6C. 2√10D. 2√15二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个数的平方根是它本身，这个数是________。
7. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么它的斜边长为________。
8. 一个数的立方根是2，这个数是________。
9. 一个等比数列的首项为1，公比为2，求第5项的值是________。
10. 如果一个二次方程x^2 - 4x + 4 = 0，它的判别式Δ的值是________。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知一个函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5，求f(2)的值。
12. 解不等式：2x + 5 > 3x - 2。
13. 一个圆的周长是44cm，求这个圆的半径。
四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明：在一个直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
15. 证明：如果一个三角形的两边和它们之间的夹角的和等于另一个三角形的两边和它们之间的夹角的和，那么这两个三角形是相似的。
五、附加题（每题20分，共20分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求这个圆的半径。
初中数学竞赛模拟试卷(含答案和解析)
初中数学竞赛模拟试题011.已知等比数列2341,2,2,2,2,…和等差数列2，7，12，17，22，…，将同时出现这两个数列中的数按从小到大的顺序排成一个新的数列{}n x ，记1002k x =，则_________k =. 解:由2，7，12，17，22，…，知，等差数列第k 个数表示为()251k +-，所以模5余2的数，等比数列第m 个数为12m -，两个数列同时出现在{}n x 中，所以()12512m k -+-=，那么12k -也是模5余2的数，那么{}n x 为()411592,2,2,,2a -+ ，()410011397k =⨯-+=.2.设锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，BC 的中点为M ，若cot A x =，cot B y =，则 cot _________BAM ∠=（用关于x ，y 的代数式表示结果）解：cot 2APA h =，cot BQ B h =，cot AQ BAM h∠=， ∵AQ AP PQ AP BQ =+=+ ∴cot 222AQ AP BQ BQ BQAP AP BAM x y h h h h hh +∠===+=⨯+=+.3.符号[]x 表示不超过x 的最大整数，则不等式[][]352018x x +=的解集是________. 解：∵[]3133x x x -<≤，[]5155x x x -<≤，∴[][]31513535x x x x x x -+-<+≤+， 即8220188x x -<≤，252.25252.5x ≤<，令()2520.250.5x a a =+≤<代入[][]352018x x +=得：[][]2016352018a a ++=，即[][]352a a +=，∴1235a ≤<，∴1225225235x ≤<4.将12个不同的物体分成3堆（不分顺序），每堆4个，则不同的分法总类为_____.解：4441284445775C C C A⨯⨯=.BC5.圆的内接四边形ABCD 中，12BD =，30ABD CBD ︒∠=∠=，则ABCD 的面积等于_______.解：∵ABD CBD ∠=∠，∴AD CD =，∴AD CD =， 又∵QD CD =，∴△AQD ≌△CPD ，∴AQD CPD S S ∆∆=， ∴11262DP =⨯=，BP ==∴1=22ABCD S ⨯⨯四边形6.如果m ，n 为正实数，分成220x mx n ++=和方程220x nx m ++=都有实数根，那么m n +的最小值是________.解：21420m n ∆=-⨯≥，∴28m n ≥；()22240n m ∆=-≥，∴2n m ≥，2m n ≤≤(),0m n >，∴2n ≥，∴48n n ≥，2n ≥，∴28m n ≥，216m ≥，∴4m ≥，∴426m n +≥+=，∴m n +的最小值为6.7.方程2237x y x xy y +=-+的所有正整数解为________.解：由2237x y x xy y+=-+得2237x y ax xy y a +=⎧⎨-+=⎩，2973a a xy -=，∴3|a ， ∵()24x y xy +≥∴2297943a a a -≥⨯，即97943a a -≥⨯，289a ≤，∴3a =∴920x y xy +=⎧⎨=⎩，∴45x y =⎧⎨=⎩或54x y =⎧⎨=⎩，即()(),4,5x y =，()5,4.6P A C。
历年初中数学竞赛试题精选(含解答)
初中数学竞赛专项训练(1)1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。
A. 111B. 1000C. 1001D. 1111 解：依题意设六位数为abcabc ，则abcabc ＝a ×105＋b ×104＋c ×103＋a ×102＋b ×10＋c ＝a ×102（103＋1）＋b ×10（103＋1）＋c （103＋1）＝（a ×103＋b ×10＋c ）（103＋1）＝1001（a ×103＋b ×10＋c ），而a ×103＋b ×10＋c 是整数，所以能被1001整除。
故选C方法二：代入法2、若2001119811198011⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________解：因1981、1982……2001均大于1980，所以9022198019801221==⨯>S ，又1980、1981……2000均小于2001，所以22219022*********221==⨯<S ，从而知S 的整数部分为90。
3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n 个（n ≤100）学生进来，凡号码是n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。
解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。
06年初三数学竞赛模拟试题(1)
４ ．下 图 为 一 个 抽 奖 的 大 转 盘 （ 意 图 ） 它 的 内 圆 半 径 为 ２ ｍ ， 圆 半 示 ， ０ｃ 外
径 为 ４ ｍ． 中阴影 部分 圆心 角 为 １ 。 规 定 ：在 一 定 距 离 外 投 标 ０ｃ 图 ０．
打 中 阴 影 部 分 获 一 等 奖 ． 标 总 能 投 到 圆 盘 上 ， 投 标 获 一 等 奖 的 若 则 可能 性是 （
１
）（ 分 数表 示 ） ．用
１ １ １
（） Ａ志
（） ． Ｂ壶
（） ｃ
（） Ｄ
⑧ ③
第 ４题 第 ５题
５ ．有 一 种 足 球 是 由若 干 块 黑 白相 问 的 牛 皮 缝 制 而 成 的 ， 皮 为 正 五 边 黑
形， 白皮 为 正六边 形 （ 图 ） 如 果 一个 缝 制 好 的 这 种 足 球 黑 皮有 １ 如 。 ２
维普资讯
四件 商品 的价 格 各是 多少 ？ ｌ ．当 ｚ 为 何 有 理 数 时 ， 数 式 ９ ２ ｘ一 ２的 值 恰 为 两 ４ 代 ｘ＋ ３
的乘 积 ？
ｌ ．已 知 △ ＡＢＣ 中 ， 为 边 ＢＣ 的 中 点 ． ５ Ｄ
（ Ａ） １ ５ ０ （ １０ Ｂ） ０ （ Ｃ）９ ５
） ．
（ Ｄ）９ ０
２ ．爷 爷 与 孙 子 同 时 从 同 一 地 点 出发 反 向 绕 一 环 路 跑 步 ． 第 一 次 相 遇 在 后 ， 爷 又 跑 了 ８分 钟 回 到 原 地 ． 知 孙 子 跑 一 圈 需 ６分 钟 ， 爷 跑 爷 已 爷
表１
９ ．把 单 位 正 方 体 的 六 个 面 分 别 染 上 ６种 颜 色 ， 画 上 个 数 不 同 的 金 并
2006年初中数学竞赛模拟试题
１ ． ０ ＋ １＋ ２十 ３＋ … ＋ ２０ 。中 ， 有 １ ０ 奇 数 ， ２在 。 ０５ 共 ０ ３个 因此 ， 无论 怎么添加 “ 号 或“ 号 ， 代数 和必 为奇数． ＋” 一” 其 于 是 ， １ 个 正整 数 中 ， 表 出 的 数 必 在 １ ３ ５ ７ ９之 中． 面 前 Ｏ 可 ，，， ， 下 说 明 这 ５个 数 都 可 表 出 ． 于 ４个 连 续 平 方 数 。 （ １ ， 对 ， ＋ ）
０ （） ・ １ ＡＢ一
＜ ＋ ， － ＋÷≤ ≤ ÷ ，－ ＋ ≤ｎ ÷ ｋ ｎ ＋ ＋ ｋ １ ≤ ＋ ．
这 说 明 当 取 七 一 ＋ １ 一 ， ＋２ … ， ＋七这 ２ ， 个 自然
√ 一
数时 ， 接 近 的整 数都 是 ． 与√ 最 由于 ４ ４ １８ ， ４ ＋４ — ９０ 则有
Ｄ． 无 数 多 个 有 ６从小到大 排 列 的 １ ． １个 两 两 不 等 的 自然 数 ｎ ， … ， 。ｎ ，
，
２ 已 知 平 行 四 边 形 ＡＢ Ｄ 中 ， 一 ３ Ｂ ． Ｃ ＡＢ ， Ｃ＝ ２ Ａ一６ 。 ， ０，
它们的和为 ２ ０ ． 么，ｅ ０５那 ａ 的最大 最小值之和为（
Ａ． １ Ａ Ｂ １ ＜ Ａ Ｂ １ １＜ 一 一 ２ ＋ ＜ ３
一 赛
Ｂ １ ＜ Ａ０ Ｂ： １ ＜ Ａ Ｂ ＜ １ ． １ 一 ｉ ２ ＜ ＋ ３
Ｃ． ２ Ａ。 Ｂ０ １ ＜ Ａ １＜ 一 — ３ ＋ ＜ ｌ ４ Ｄ． ２ Ａ Ｂ １ ＜ Ａ。 Ｂ ＜ １ １＜ 一 ＜ ３ ＋ 。 ４
７ 如图 １ 在等腰 直角三角形 ＡＢ ． ， Ｃ 中 ， Ａ一 ９ 。ＡＢ一 １ Ｅ 为 腰 ＡＣ 上 任 ０， ， 意一 点 ， 为 底 边 Ｂ 上 一 点 ， Ｅ Ｆ Ｃ 且 Ｆ上 Ｂ ． ＡＥ Ｅ记 ＝ｘ，ｋ Ｅ 的 面积 为 厂（ ） ／Ｃ Ｆ ｚ，
全国初中数学竞赛试题及答案(2006年).doc
2006 年全国初中数学比赛试题考试时间2006年4月2日上午9∶ 30－11∶30满分120分一、选择题（共 5 小题，每题 6 分，满分30 分。
以下每道小题均给出了代号为A，B， C， D 的四个选项，此中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填均得0 分）1．在高速公路上，从 3 千米处开始，每隔 4 千米经过一个限速标记牌；而且从10 千米处开始，每隔9 千米经过一个速度监控仪．恰幸亏19 千米处第一次同时经过这两种设备，那么第二次同时经过这两种设备的千米数是（）（A）36 （B）37 （C）55 （D）902．已知m 1 2 ， n 1 2 ，且 (7m 2 14m a)(3n 2 6n 7) =8，则a的值等于（）（A）－5 （B）5 （C）－ 9 （D）93． Rt△ABC 的三个极点 A，B， C 均在抛物线y x 2上，而且斜边AB平行于x 轴．若斜边上的高为 h，则（）（A ）h<1 （B）h=1 （C）1<h<2 （D）h>24．一个正方形纸片，用剪刀沿一条可是任何极点的直线将其剪成两部分；取出此中一部分，再沿一条可是任何极点的直线将其剪成两部分；又从获得的三部分中取出此中之一，仍是沿一条可是任何极点的直线将其剪成两部分这样下去，最后获得了 34 个六十二边形和一些多边形纸片，则起码要剪的刀数是（）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）20075．如图，正方形 ABCD 内接于⊙ O，点 P 在劣弧 AB 上，连接 DP，交 AC 于点 Q．若QP=QO，则QC的值为（）D C QA（A ）2 3 1O（B） 2 3 Q（C） 3 2 A BP（D）3 2二、填空题（共5小题，每题6分，满分30分）6．已知 a， b， c 为整数，且 a＋ b=2006，c－ a=2005．若 a<b，则 a＋b＋c 的最大值为． A7．如图，面积为 a b c 的正方形DEFG内接于D G面积为 1 的正三角形 ABC，此中 a， b，c 为整数，且 b 不可以被任何质数的平方整除，则 a c 的值BE F Cb等于．（第 7 题图）8．正五边形广场 ABCDE 的周长为 2000 米．甲、乙两人分别从A、C 两点同时出发，沿 A→B→ C→ D→E→A→ 方向绕广场行走，甲的速度为50 米/分，乙的速度为 46 米/分．那么出发后经过分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．1a 2 299．已知 0<a<1，且知足 a a 18 ，则 10a 的值等于30 30 30．( x表示不超出 x 的最大整数 )10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字 8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，正是本来电话号码的六位数的81 倍，则小明家本来的电话号码是．三、解答题（共 4 题，每题 15 分，满分 60 分）11．已知x b，a，b为互质的正整数（即a，b是正整数，且它们的最大条约a数为 1），且a≤ 8，2 1 x3 1 ．（1）试写出一个知足条件的x；（2）求全部知足条件的x．12．设a， b ，c为互不相等的实数，且知足关系式b 2c 2 2a 2 16a 14 ①bc a2 4a 5 ②求 a 的取值范围．13．如图，点 P 为⊙ O 外一点，过点 P 作⊙ O 的两条切线，切点分别为 A，B．过点 A 作 PB 的平行线，交⊙ O 于点 C．连接 PC，交⊙ O 于点 E；连接 AE，并延伸AE 交 PB 于点 K．求证： PE· AC=CE·KB．PKEBAO14．10 个学生参加 n 个课外小组，每一个小组至多 5 个人，每两个学生起码参加某一个小组，随意两个课外小组，起码能够找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求 n 的最小值．2006 年全国初中数学比赛试题参照答案一、选择题（共 5 小题，每题 6 分，满分30 分。
2006年「育苗杯」数学竞赛模拟试题
2006年“育苗杯”數學競賽類比試題1、計算：0.5×12.5×2.5×128=（）。
2、計算：555÷32＋821÷32=（）。
3、學校買來5副乒乓球拍和8副羽毛球拍共用去210元，其中羽毛球拍的單價是乒乓球拍的2倍，乒乓球拍的單價是（）；羽毛球拍的單價是（）。
4、8筐重量相等的蘋果，如果從每筐中取走25千克，剩下蘋果的重量等於原來3筐蘋果的重量，求每筐蘋果重（）千克。
5、小張有2分和5分的硬幣共34枚，總值1.1元，問2分的硬幣有（）枚；5分的硬幣有（）枚。
6、甲車間比乙車間的人數少530人，若從甲車間調500人到乙車間，乙車間人數恰好是甲車間人數的4倍。
甲車間有原有（）人；乙車間原有（）人。
7、在爺爺是父親現在的年齡時候，父親才12歲。
等父親到爺爺現在這麽大的年齡時，爺爺84歲。
爺爺現在（）歲；父親現在（）歲。
8、小明和小紅拿出同樣多的錢合買作業本，結果小明拿了8本，小紅拿了12本，這樣，小紅就給小明1.1元。
每本作業本的單價是（）元。
9、有5個連續的奇數，它們的積爲45045，求這五個數奇數是（）。
10、有一批木料，可以做同樣的課桌20張或同樣的椅子30把，現在要做同樣成套的課桌椅，可以做（）套。
11、用同型號的地磚鋪地，鋪28平方米用磚168塊，如果再鋪14平方米，一共需要用磚（）塊。
12、一個質數的3倍與另一個質數的2倍之和等於200，這兩個質數的和是（）。
13、一個平行四邊形和一個長方形重疊了一部分平放在桌面上，平行四邊形的底是13釐米，高是6釐米，沒有重疊的部分是甲，長方形的底是7釐米，高是5，沒重疊的部分是乙。
甲比乙大（）平方釐米？14、有一堆桃子，第一隻猴子拿走一半加半個；第二隻猴子拿走剩下的一半加半個；第三隻猴子拿走剩下的一半加半個，結果剩下一個桃。
那麽原來有桃子（）個。
15、有48塊糖，要把它分成4塊，且要一份比一份多2塊，那麽最少的一份有（）塊；最多的一份有（）塊。
2006年全国初中数学联合竞赛试卷
2006年全国初中数学联合竞赛试卷（辽宁）第一试（4月9日上午8:30-9:30）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，用S、P分别表示四边形ABCD的面积和周长；S1、P1分别表示四边形EFGH的面积和周长．设K = SS1，K1 =PP1，则下面关于K、K1的说法正确的是（）．A.K、K1均为常值B.K为常值，K1不为常值C.K不为常值,K1为常值D.K、K1均不为常值2.已知m为实数，且sinα、cosα是关于x的方程3x2 –mx + 1= 0的两根，则sin4α+ cos4α的值为（）．A.29B.13C.79D.13.关于x的方程|x2x–1|=a仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围是（）．A.a > 0B.a ≥4C.2 < a < 4D.0 < a < 44.设b>0，a2 -2ab + c2 = 0，bc > a2，则实数a、b、c的大小关系是（）．A.b > c >aB.c> a > bC.a > b > cD.b > a > c5.设a、b为有理数，且满足等式a + b 3 = 6 ⋅1 + 4 + 2 3 ，则a + b 的值为（）．A.2B.4C.6D.86.将满足条件“至少出现一个数字0，且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，……，则这列数中的第158个数为（）．A.2000B.2004C.2008D.2012二、填空题（本题满分28分,每小题7分）1.函数y= x2-2006|x|+ 2008的图象与x轴交点的横坐标之和等于__________．2.在等腰Rt△ABC中，AC = BC =1，M是BC的中点，CE⊥AM于E交AB于F，则S⊿MBF = __________.3.使x2 + 4 + (8 - x)2 + 16 取最小值的实数x的值为__________.4.在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)，A(100,0)，B(100,100)，C(0,100)．若正方形OABC内部（边界及顶点除外）一格点P满足：S⊿POA ⋅ S⊿PBC = S⊿P AB⋅S⊿POC，就称格点P为“好点”，则正方形OABC内部“好点”的个数为__________.（注：所谓“格点”，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．）2006年全国初中数学联合竞赛试卷(辽宁）第二试(4月9日上午10:00-11:30)一、(本题满分20分)已知关于x的一元二次方程x2 +2(a + 2b + 3)x+(a2 + 4b2 + 99)= 0无相异两实根，则满足条件的有序正整数组(a,b)有多少组？二、(本题满分25分)如图，D为等腰△ABC底边BC的中点，E、F分别为AC及其延长线上的点．又已知∠EDF = 90°，ED = DF = 1，AD = 5．求线段BC的长．三、(本题满分25分)在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC及DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心． (1)求证：O、E、O1三点共线；(2)求证：若∠ABC = 70°，求∠OBD的度数．参考答案：选择题：BCDABC填空题：1. 0 2. 112 3.38 4. 197解答题：1. 16 2. 107 3. (1) 证明相似三角形的对应角相等；（2）35°.FEDCBA．1OOFEDCBA。
2006年初中数学竞赛模拟试题(2)含答案-
2006年初中数学竞赛模拟试题(2)一、选择题（每小题6分，共30分）1．已知4=-b a ，042=++c ab ，则b a +＝（ ） （A ）4 （B ）0 （C ）2 （D ）－22．方程xx x x ||34||=-的实根的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于O ，△AOD 的面积为4，△BOC 的面积为9，则梯形ABCD 的面积为（ ） （A ）21 （B ）22 （C ）25 （D ）264．已知⊙O 1与⊙O 2是平面上相切的半径均为1的两个圆，则在这个平面上有（ ）个半径为3的圆与它们都相切． （A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）65．一个商人用m 元（m 是正整数）买来了n 台（n 为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n 的最小值是（ ） （A ）11 （B ）13 （C ）17 （D ）19二、填空题（每小题6分，共30分）6．已知等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O ，若底边BC ＝8cm ，则△ABC 的面积为 ．7．△ABC 的三边长a 、b 、c 满足8=+c b ，52122+-=a a bc ，则△ABC 的周长等于 ． 8．若[]x 表示不超过x 的最大整数，且满足方程[]04953=-+x x ，则x ＝ ．9．若直线1103457323=+y x 与直线897543177=+y x 的交点坐标是（a ，b ），则222004b a +的值是 ．10．抛物线5422--=x x y 向左平移3个单位，再向上平移两个单位，得抛物线C ，则C 关于y 轴对称的抛物线解析式是 ．三、解答题（每小题15分，共60分）11．如图所示，在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝4，D 为AB 的中点，E 为AC 边上一点，且∠AED ＝90°＋21∠C ，求CE 的长．12．某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到几点时，停车场内第一次出现无车辆？A DB CE13．已知一个两位数，其十位与个位数字分别为p 、q ，二次函数p qx x y ++=2的图象与x 轴交于不同的两点A 、B ，顶点为C ，且S △ABC ≤1．（1）求p q 42-的取值范围；（2）求出所有这样的两位数pq ．14．已知n 是正整数，且12+n 与13+n 都是完全平方数．是否存在n ，使得35+n 是质数？如果存在，请求出所有n 的值；如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．B 2．A 3．C 4．D 5．C二、填空题6．8cm 2或32cm 2 7．14 8．319 9．2008 10．3822+-=x x y 三、解答题11．作BF ∥DE 交AC 于F ，作∠ACB 的平分线交AB 于G ，交BF 于H ．则∠AED ＝∠AFB ＝∠CHF ＋21∠C 。
初中数学竞赛模拟试题
初中数学竞赛模拟试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 若a、b、c是三角形的三边，下列哪个条件可以判断a、b、c能构成直角三角形？A. a^2 + b^2 = c^2B. a + b = cC. a * b * c = 1D. a = b + c2. 一个数的平方根等于这个数本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都不是3. 以下哪个分数是最简分数？A. 4/8B. 5/10C. 3/4D. 7/144. 如果一个圆的半径是r，那么它的面积是多少？A. πrB. πr^2C. 2πrD. 4πr^25. 一个数的立方根是它本身，这个数可以是：A. 1B. -1C. 0D. A和B6. 以下哪个是二次方程？A. x + 2 = 0B. x^2 + 3x + 2 = 0C. x^3 - 5x^2 + 6x = 0D. x^2 - 4 = 07. 以下哪个是等差数列？A. 2, 4, 6, 8B. 1, 3, 5, 7C. 2, 3, 5, 7D. 以上都是8. 一个直角三角形的两个直角边分别是3和4，斜边是多少？A. 5B. 6C. 7D. 89. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可以是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 都不是10. 以下哪个是不等式？A. 3x + 4 > 7B. 2x = 4C. 5x + 3 = 0D. 以上都不是二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的相反数是-5，这个数是______。
12. 如果一个数的平方等于25，那么这个数可以是______。
13. 一个数的立方等于-27，这个数是______。
14. 一个等差数列的首项是2，公差是3，第5项是______。
15. 如果一个三角形的底边是10，高是6，那么它的面积是______。
16. 一个圆的直径是14，那么它的半径是______。
17. 一个直角三角形的斜边是13，一个直角边是5，另一个直角边是______。
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◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆2006年初中数学竞赛模拟试题一、选择题（本题有5小题，每小题6分，共30分）每小题都只有一个答案是正确的，多选不给分 1．如果多项式222242009p a b a b =++++，则p 的最小值是 （ ） （A ）2005 （B ）2006 （C ）2007 （D ）20082．一架天平因为两臂的长不相等，所以称得物体质量不准．要是把某物体放在天平的左盘，称得质量是1m 克，把这一物体放在天平的右盘，称得质量是2m 克，那么这个物体的准确质量（单位：克）是 （ ）（A ）221m m + （B ）21m m （C ）2121m m m m + （D ）22221m m +3．函数c bx ax y ++=2图象的大致位置如右图所示，则()()222222,,,2,,a b c b a b c a b a bc ab --+-++等代数式的值中，正数有 （ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 （第3题图）4．某工厂实行计时工资制，每个工人工作1小时的报酬是6元，一天工作8小时．但是用于计时的那口钟不准：每69分钟才使分针与时针重合一次，因此工厂每天少付给每个工人的工资是 （ ） （A ）2.20元 （B ）2.40元 （C ）2.60元 （D ）2.80元5．2条相交的弦把圆分成4部分，3条两两相交的弦最多能把圆分成7部分，如果两两相交的k 条弦最多能把圆分成n 部分，那么两两相交的k ＋1条弦最多能把圆分成几部分？答：（ ） （A ）n ＋1 （B ）2n （C ）n ＋k （D ）n ＋k ＋1二、填空题（本题有5小题，每小题6分，共30分）6．如图，⊙O 的直径AB 与弦EF 相交于点P ，交角为45°， 若22PF PE +=8，则AB 等于 ． 7．若573-=+y x ，753-=-y x ，则=xy ．8．已知不论x 取何数值，分式53++bx ax 的值都为同一个定值， （第6题图） 那么bba +的值为 ． 9．如图，在□ABCD 中，∠B =60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，E ，F 为垂足. 设□ABCD 的面积为 S ，则△AEF 的面积为 ． 10．若二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0）． 则c b a S ++=的值的变化范围是 ．（第9题图） 三、解答题（本题有4小题，每小题15分，共60分）11．甲、乙两辆公共汽车分别自A 、B 两地同时出发，相向而行．甲车行驶85千米后与乙车相遇，然后继续前进．各车到达对方的出发点等候30分钟立即依原路返回．当甲车行驶65千米后又与乙车相遇，求A 、B 两地距离． 12．如图，四边形ABCD 内接于以BC 为直径的半圆O ，且AB=AD ，DA 、CB 的延长线相交于点P ，CE ⊥PE ，PB=BO ．已知DC=18，求DE 的长．13．（1）试设计一种方法，把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形（分得的正方形大小可以不相同）；又问如何把正方形按上述要求分成31个正方形？（2）试设计一种方法，把一个立方体分割成55个立方体（要求：不重复不遗漏，分得的立方体大小可以不相同）．14．如图，AB 、CD 是半径为1的⊙P 两条直径，且∠CPB=120°，⊙M 与PC 、PB 及弧都相切，O 、Q 分别为PB 、弧上的切点．(1)试求⊙M 的半径r ；(2)以AB 为x 轴，OM 为y 轴(分别以OB 、OM 为正方向) 建立直角坐标系， ①设直线m kx y +=过点M 、Q ，求k ，m ；②设函数c bx x y ++=2的图像经过点Q 、O ，求此函数解析式；③当c bx x y ++=2＜0时，求x 的取值范围；④若直线m kx y +=与抛物线c bx x y ++=2的另一个交点为E ，求线段EQ 的长度．参考答案一、选择题（每小题5分，共30分）2006)1(2)1(22++++=b a p ，故最小值为2006．2．B设物体的准确质量为x ，左右两臂长分别为a ，b ，则21,am bx bm ax ==． 两式相乘，约去正数ab ，得212m m x =． 3. A显然，.0,0,0><<b c a 由12<-ab，得a b 2-<，所以02<+b a ； 由a －b ＋c <0得()()()022<+-++=-+c b a c b a b c a ；由a ＋b ＋c >0得a ＋b >－c >0，因此()0,,02222>->>-+a b a b c b a ．综上所述，仅有()2222,a b c b a --+为正数．4．C正常的时钟，分针与时针重合一次的时间为⎪⎭⎫⎝⎛+116060分，因此，工人一天实 际工作时间为30253116060698=+⨯（小时），超过3013830253=-（小时）． 少付工资60.253230136==⨯元． 5．D第k ＋1条直线与前面的k 条直线都相交，且不经过原有的任何一个交点，因此 把前k 条直线为边界的（k ＋1）个区域一分为二，增加了（k ＋1）个区域，结果区域总数成为n ＋k ＋1．二、填空题（每小题6分，共30分） 6．4作E 关于AB 的对称点G ，则PG=PE ，PG ⊥PE ，22,822222===+=+FG FG PF PG PF PE ．但FG 所对的圆周角为45°，所以FG 所对的圆心角为90°，圆的半径为2． 7．57-)57(4)753()573()()(422-=---=--+=y x y x xy ，∴57-=xy ．8．58 当0=x 时，分式值为53． 所以当1=x 时，5353=++b a ，53=b a ，58=+b b a ．9．S 83由△ABE ∽△ADF 得AF AE AD AB =,即AFAEBC AB =， 易证∠B=∠EAF ，可知△AEF ∽△ABC ，相似比为23sin60=︒． 但△ABC 的面积为2S，所以△AEF 的面积为S S 83243=⨯． 10．20<<S分别令0=x ，1=y 和1-=x ，0=y ，求得1=c ，1-=b a ，∴b c b a S 2=++=． 由题设知，002<>-a ab且，∴02>b ．又由1+=a b 及0<a 可知22<b ． ∴20<<S ．三、解答题（每小题15分，共60分）11．设甲车的速度为x(千米/时)，乙车的速度为y(千米/时)，A 、B 两地的距离为S(千米) …………（2分） 则…………（6分）即 …………（8分）①÷②得 …………（12分）去分母，化简得S 2-190S=0S ＝0(舍) S ＝190 …………（14分） 答：A 、B 两地的距离为190千米。
…………（15分）12．如图，连结AO ，AC ．……（1分）由AD AB =知，ACD BCA ∠=∠.…（2分） 又OCA BOA ∠=∠2，所以OCD BOA ∠=∠，AO ∥DC .…（4分） ∵ OC BO PB ==，∴ AD PA 2=,1232==CD AO .…（6分） 由切割线定理知PA ·PB PD =·PC ，33622==BO AD ·212，……（8分）∴ 26=AD . ∴ 26==AD AB .…………（10分）∵ Rt △EDC ∽Rt △ABC ，…（12分）∴ BC AB DC ED =，242618=ED ，…（14分） ∴ 229=DE .…………（15分） 13．（1）容易把一个正方形分成42=16个正方形，再把其中位于一角的9个拼成一个正方形，共得：16﹣9+1=8个正方形. …………（5分）分成16个正方形后，把其中任意5个分成4个小正方形，共有16﹣5+5×4=31个正方形. …………（10分）（2）把立方体分割成33=27个立方体，再把其中4个各分成23=8个立方体，共27﹣4+4×23=55个立方体. …………（15分）14．(1)由2360sin =︒=PM r ，=+MQ PM 32r +r 1=， 得 r 2=3-3. …………（2分）(2)①点()r M ,0，即)332,0(-M ；点)23,60cos (︒r Q ，即)23,233(-Q .由已知直线过点M 、Q ，得 332-=m ,23)233(=+-m k , 解得 3=k ，332-=m . …………（5分）②由c bx x y ++=2过点O 、Q ，则0=c ,23233223322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b ，得 27=b ,即得 x x y 272+=. …………（8分）③令0272=+x x ，则271-=x ，02=x , 即得 当027<<-x 时，0<y . ④由已知得 3323-+=x y ，x x y 272+=， 消去y ，得 0323)327(2=-+-+x x . …………（12分）设点E 的横坐标为2x ，点Q 的横坐标为2331-=x ， 由根与系数的关系得 22-=x ，则213223321+=+-=-x x …………（14分） 进而得线段EQ 的长为132+. …………（15分）。