江苏省无锡市四校2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题

2015—2016学年第一学期高二期中考试数学学科试卷
时间：120分钟 分值：160分
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1．命题“∀x ∈R ，x 2
+x+1≥0”的否定是 ．
2. 过点()3,2-且与直线012=+-y x 垂直的直线的方程为 ．
3. 设βα,为两个不重合的平面，n m ,为两条不重合的直线，给出下列四个命题： ①若αα⊄⊥⊥n m n m ,,,则α//n ；②若βα//,//,n m n m ⊥,则βα⊥； ③若m n n m ⊥⊂=⋂⊥,,,αβαβα则β⊥n ；
④若αβα,,⊂⊂m n 与β相交且不垂直，则n 与m 一定不垂直. 其中，所有真命题的序号是 . 4. 已知点),(y x P 在圆1)1(2
2
=-+y x 上运动. 则
2
1
--x y 范围是__ ____ 5. 设134:≤-x p ，()()0112:2≤+++-a a x a x q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．
6. 若圆42
2
=+y x 与圆0122
2
2
=-+-+m mx y x 相外切，则实数m = ．
7．焦点在x 轴，两准线间的距离为
5
5
18，焦距为52的椭圆方程为
方体1111D C B A ABCD -则1BD 与平面1111D C B A 所成的角的大小为
9. 圆锥的表面积是底面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的弧度数为______
10.若圆C ：03422
2
=+-++y x y x ，关于直线062=++by ax 对称，则由点()b a ,向圆所作的切
线长的最小值为 ．
11.在坐标平面内，与原点距离为1，且与点（2，2）距离为2的直线共有 条． 12.曲线C ：y y x 22--=
与直线0:=--m y x l 有两个交点，则实数m 的取值范围是
13. 已知椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x ，F 1，F 2是左右焦点,l 是右准线，若椭圆上存在点P ，使|PF 1|是
P 到直线l 的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是 ．
xoy 中，圆C 的方程为()1422
=+-y x ，若直线3-=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，2
为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大是 ．
二、解答题：（本大题共6小题，共90分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 15．如图，四边形ABCD 为平行四边形，四边形ADEF 是正方形，且BD ⊥平面CDE ，H 是BE 的中点，G 是AE ，DF 的交点． （1）求证：GH ∥平面CDE ； （2）求证：面ADEF ⊥面ABCD ．
p ：R x ∈∀，不等式02
3
2
>+-mx x 恒成立，q ：椭圆
13122=-+-m y m x 的焦点在x 轴上．若命题p ∧q 为真命题，求实数m 的取值范围．
﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为8的菱形，∠BAD=，若PA=PD=5，平面PAD ⊥平面ABCD ．
（1）求四棱锥P ﹣ABCD 的体积； （2）求证：AD ⊥PB ．
P
C
A B
D
18.在平面直角坐标系中，设△ABC 的顶点分别为()()()0,2,0,1,2,0C B A -,圆M 是△ABC 的外接圆，直线l 的方程是()()013122=---++m y m x m ，R m ∈ （1）求圆M 的方程；
（2）证明：直线l 与圆M 相交；
（3）若直线l 被圆M 截得的弦长为3，求直线l 的方程．
l 与圆C ：04222=+-++a y x y x 相交于A ，B 两点，弦AB 中点为M （0，1）， （1）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程； （2）若圆C 上存在四个点到直线l 的距离为
，求实数a 的取值范围；
（3）已知N （0，﹣3），若圆C 上存在两个不同的点P ，使PN PM 3=，求实数a 的取值范围．
20.已知椭圆G ：()0122
22>>=+b a b
y a x ,过点A （0，5），B （﹣8，﹣3），C 、D 在该椭圆上，直线CD
过原点O ，且在线段AB 的右下侧． （1）求椭圆G 的方程；
（2）求四边形ABCD 的面积的最大值．
A
B
C
D
O
y
x
2015--2016学年第一学期高二期中数学评分标准
一、填空题（70514='⨯）
1．01,2
<++∈∃x x R x 2. 012=++y x 3.①③ 4.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-
33,33 5. ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡21,0 6. 3± 7．14922=+y x 8. 6π 9. 3
2π
10．4 11. 4 12.(]
2,12--- 13．⎪⎪⎭
⎫⎢
⎣⎡+-1,2173 14.724
二、解答题（09616151514141'='+'+'+'+'+'） 15. （本小题满分14分）
证明：（1）∵四边形ADEF 是正方形，G 是AE ，DF 的交点， ∴G 是AE 中点， 又H 是BE 的中点，
∴△EAB 中，GH ∥AB ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分 ∵ABCD 为平行四边形 ∴AB ∥CD
∴GH ∥CD ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分 又∵CD ⊂平面CDE ，GH ⊄平面CDE
∴GH ∥平面CDE ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分 （2）∵BD ⊥平面CDE ，
∴BD ⊥ED ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9分
∵四边形AFED 为正方形，∴ED ⊥AD ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分 ∵AD ∩BD=D ，ED ⊥面ABCD ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12分 ∵ED ⊂面AFED ，
∴面AFED ⊥面ABCD ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分． 16.(本小题满分14分) 解：∵p ：∀x ∈R ，不等式
恒成立，
∴0<∆即062<-m ----------------------------------4分
解得：
；--------------------------------6分
q ：椭圆的焦点在x 轴上，
∴m ﹣1＞3﹣m ＞0，-------------------------------------8分 解得：2＜m ＜3，--------------------------------------10分 由p ∧q 为真可知，p ，q 都为真，--------------------------12分 解得
．--------------------------------------14分
17. （本小题满分15分）
（1）
解：过P 作PM ⊥AD 于M ．∵面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ∩面ABCD=AD ，PM ⊂面PAD ． ∴PM ⊥面ABCD ，-------------------------4分 又PA=PD=5，AD=8． ∴M 为AD 的中点且PM==3．-----------6分
∵
，AD=8，
∴菱形ABCD 的面积S==
．--------8分 ∴V P ﹣ABCD =
=
=
．---10分
（2）证明：连接BM ． ∵BD=BA=8，AM=DM ，
．
∴AD ⊥BM ，-----------------------------------------12分 又AD ⊥PM ，且BM ∩PM=M ．
∴AD ⊥平面PMB ．-----------------------------------14分 ∴AD ⊥PB ．---------------------------------------- 15分
18.（本小题满分15分）
解：（1）∵△ABC 的顶点分别为A （0，2），B （﹣1，0），C （2，0），故线段BC 的垂直平分线方程为x=，--------------------------------------2分
线段AC 的垂直平分线为 y=x ，再由圆心M 在这2条边的垂直平分线上，可得M （，），
故圆的半径为|MC|==，---------------4分
P
C
D
B
故圆M的方程为+=．-------------------5分
（2）根据直线l的方程是（2+m）x+（2m﹣1）y﹣3m﹣1=0（m∈R），即m（x+2y﹣3）+2x﹣y﹣1=0，由可得，故直线经过定点N（1，1）．---------------- 7分
由于MN==＜r=，故点N在圆的内部，故圆和直线相交．--------10分
（3）∵直线l被圆M截得的弦长为3，故圆心M（，）到直线l的距离为
d==．-----------------------------11分
再根据=，求得 m=﹣2，或m=，---------13分
故直线l的方程为y=1，或x=1．------------------------------------15分
19.（本小题满分16分）
解：（1）圆
-----1分
据题意：
-------------2分
因为CM⊥AB，⇒k CM•k AB=﹣1，k CM=﹣1，⇒k AB=1
所以直线l的方程为x﹣y+1=0------------------------4分
（2）与直线l平行且距离为的直线为：l1：x﹣y+3=0过圆心，有两个交点，----6分
l2：x﹣y﹣1=0与圆相交，-------------8分
（3）设…（12分）
据题意：两个圆相交：
-----14分
且，所以：---------16分
20.（本小题满分16分）
解：（1）将点A （0，5），B （﹣8，﹣3）代入椭圆G 的方程解得：
，解得：a 2
=100，b 2
=25．---4分 ∴椭圆G 的方程为：； ----------------5分
（2）连结OB ， 则
，---7分
其中d A ，d B 分别表示点A ，点B 到直线CD 的距离． 设直线CD 方程为y =kx ，代入椭圆方程
，得x 2
+4k 2x 2
﹣100=0，--------9分
解得：，--------------------------------------10分
∴，
又，，----------------------------------12分
则
=
．----------15分
当且仅当k=1时 取等号。

--------------------------------------------------16分
A
B
C
D
O
y x。