3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离
3.3.3点到直线的距离3.3.4两平行线间的距离简化向量处理
12 ( 3 )2
122 (5)2
x 1 或 x 171 37
所以P点坐标为：
d Ax0 By0 C A2 B2
练习2
(1)已知点A(-2,3)到直线y=ax+1的距离为 2，求a的值. (2)已知点A(-2,3)到直线y=-x+a的距离为 2，求a的值.
解 : (1) y ax 1,ax y 1 0,
2a 3 1 2a 2
d
2,
a2 1
a2 1
2a 2 2a2 2, 4a2 8a 4 2a2 2,
解 : 由点到直线的距离公式：
(2)dd
3|
A(x01) By002C A322 0B22
2|
5 3
可得：思(1考)d： |还2有(1其) 他2 解10法| 吗2？ 5 41
点到直线的距离：
练习1 求点 P0 2到，下3列直线的距离：
(1) 3x+4y+3=0; (2) 3y=2 ； (3)-x+3y=7.
3.3.3《点到直线的距离》 3.3.4《平行线间的距离》
导入
铁路
仓库
导入
l
仓库
点到直线的距离 l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
. P(x0,y0)
o
x
引入新课
已知点 P0 x0 , y0 ，直线 l : Ax By C 0，
如何求点 P0到直线 l 的距离？ 点 P0 到直线 l 的距离，是指从点 P0到直线 l 的
|n|
y
l : Ax By C 0
| A(x1 x0 ) B( y1 y0 ) | A2 B2
3.3.3点到直线的而距离及两条平行直线间的距离
l
x
O
点到直线距离公式
y
S Q l : Ax By C 0
d
R
P0 (x0,y0)
O
d
| Ax0 By0 C | A2 B 2
x
注意： 化为一般式．
例1 求点P(-1,2)到直线① 3x=2的距离。 ②y=-4/3x-2；
① 解：
还有其他方 如图，直线3x=2平行于y轴， 法吗？ 2 5 d ( 1) 3 3
y 3 2 1 -1 O C (-1,0)
A (1,3)
k AB
3 1 1 1 3
AB的方程为
h
1 2
还有其他方 法吗？
B (3,1)
y 3 1 ( x 1)
化为一般式
h
x y4 0
| 1 0 4 | 12 12
3 x
因此, S ABC
1 5 2 2 5 2 2
②
y
P(-1,2) O
化为一般式4x-3y-6=0，得 根据点到直线的距离公式，得
x l:3x=2
d
2 1 1 2 10 2 1
2 2
2
例 已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形 ABC的面积
解：设AB边上的高为h
1 S | AB | h 2
| AB | (3 1) 2 (1 3) 2 2 2
两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间 y l1 的公垂线段的长. P 两条平行线 l1:Ax+By+C1=0与 Q o x
l2
l2:Ax+By+C2=0
《创新设计》2015-2016学年(人教版,必修二)高中数学第三章直线与方程3.3.3
课堂讲义
2．当两直线都与 x 轴(或 y 轴)垂直时，可利用数形结合来 解决． (1)两直线都与 x 轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2， 则 d＝|x2－x1|； (2)两直线都与 y 轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2， 则 d＝|y2－y1|.
课堂讲义
• 跟踪演练2 求与直线l：5x－12y＋6＝0平 行且与直线l距
2y＋3＝0之间的距离．
解 法一 在直线 l1：2x－y－1＝0 上任取一点，不妨取点 P(0，－1)
则点 P 到直线 l2：4x－2y＋3＝0 的距离为
d＝|4×0＋4－2＋2×－2－21＋3|＝
5 2
∴l1
与
l2
间的距离为
5 2.
课堂讲义
法二 将直线 l2 的方程化为：2x－y＋32＝0.
课堂讲义
法二 经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴ 2|＋52λ＋2＋λ－1－5|2λ2＝3， 即 2λ2－5λ＋2＝0， 解得 λ＝2 或12， ∴l 的方程为 4x－3y－5＝0 或 x＝2.
课堂讲义
|C1－C2| ＋C2＝0 之间的距离 d＝_____A_2_＋__B_2__.
课堂讲义
要点一 点到直线的距离 例 1 求点 P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝34x＋41； (2)y＝6； (3)x＝4.
课堂讲义
解 (1)把方程 y＝34x＋41写成 3x－4y＋1＝0，由点到直线的 距离公式得 d＝|3×3－324＋×－－422＋1|＝158. (2)法一 把方程 y＝6 写成 0·x＋y－6＝0，由点到直线的距 离公式得 d＝|0×3＋02＋－122－6|＝8. 法二 因为直线 y＝6 平行于 x 轴，所以 d＝|6－(－2)|＝8. (3)因为直线 x＝4 平行于 y 轴，所以 d＝|4－3|＝1.
第3章 3.3.3-3.3.4点到直线的距离 、两条平行直线间的距离
3.3.3 点到直线的距离 3.3.4两条平行直线间的距离【课时目标】 1．会应用点到直线的距离公式求点到直线的距离．2．掌握两条平行直线间的距离公式并会应用．3．能综合应用平行与垂直的关系解决有关距离问题．一、选择题1．点(2,3)到直线y ＝1的距离为( )A ．1B ．－1C ．0D ．2 2．原点到直线3x ＋4y －26＝0的距离是( )A ．2677B ．265C ．245D ．2753．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是( ) A ．10 B ．2 2 C ． 6 D ．24．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( )A ．95B ．185C ．3D ．65．过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是( ) A ．y ＝1B ．2x ＋y －1＝0C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝06．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17] 二、填空题7．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________．8．若直线3x ＋4y ＋12＝0和6x ＋8y －11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为________．9．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．三、解答题10．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34．(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．11．△ABC 的三个顶点是A (－1,4)，B (－2，－1)，C (2,3)． (1)求BC 边的高所在直线方程； (2)求△ABC 的面积S ．能力提升12．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．13．已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求正方形其他三边的方程．1．在使用点到直线的距离公式时，应注意以下两点： (1)若方程不是一般式，需先化为一般式．(2)当点P 在直线上时，公式仍成立，点P 到直线的距离为0．2．在使用两平行线间的距离公式时，要先把直线方程化为一般式，且两直线方程中x ，y 的系数要化为分别相等的数．3．注意数形结合思想的运用，将抽象的代数问题几何化，要能见“数”想“形”，以“形”助“数”．3．3．3 点到直线的距离 3．3．4两条平行直线间的距离答案知识梳理 公垂线段|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2 |C 2－C 1|A 2＋B 2作业设计1．D [画图可得；也可用点到直线的距离公式．] 2．B3．B [|OP |最小值即为O 到直线x ＋y －4＝0的距离，∴d ＝|－4|2＝22．]4．C [|PQ |的最小值即为两平行线间的距离，d ＝|3＋12|5＝3．]5．C [①所求直线平行于AB ，∵k AB ＝－2，∴其方程为y ＝－2x ＋1，即2x ＋y －1＝0． ②所求直线过线段AB 的中点M (4,1)，∴所求直线方程为y ＝1．]6．C [当这两条直线l 1，l 2与直线PQ 垂直时，d 达到最大值，此时 d ＝(2＋1)2＋(－1－3)2＝5． ∴0<d ≤5．] 7．2x ＋y －5＝0 解析如图所示，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝12，∴k l ＝－2，∴方程为y －1＝－2(x －2)， 即2x ＋y －5＝0． 8．4916π 9．71326解析 直线3x ＋2y －3＝0变为6x ＋4y －6＝0，∴m ＝4．由两条平行线间的距离公式得d ＝|－6－1|62＋42＝71326．10．解 (1)由点斜式方程得，y －5＝－34(x ＋2)，∴3x ＋4y －14＝0．(2)设m 的方程为3x ＋4y ＋c ＝0， 则由平行线间的距离公式得， |c ＋14|5＝3，c ＝1或－29． ∴3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0． 11．解 (1)设BC 边的高所在直线为l ，由题知k BC ＝3－(－1)2－(－2)＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)， 即x ＋y －3＝0．(2)BC 所在直线方程为：y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0， 点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋(－1)2＝22，又|BC |＝(－2－2)2＋(－1－3)2＝4 2则S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×42×22＝8．12．解 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )． ∴|AD |＝2，|BC |＝2b ．梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3． 但b >1，∴b ＝3．从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0．13．解 设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边的直线方程为l 1： x ＋3y ＋c ＝0． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0得正方形的中心坐标P (－1,0)， 由点P 到两直线l ，l 1的距离相等， 则|－1－5|12＋32＝|－1＋c |12＋32，得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0． 又∵正方形另两边所在直线与l 垂直，∴设另两边方程为3x －y ＋a ＝0,3x －y ＋b ＝0． ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴|－3＋a |32＋12＝|－1－5|12＋32，得a ＝9或－3，∴另两条边所在的直线方程为 3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0． ∴另三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0．。
人教A版高中数学必修二3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离
人教A版高中数学必修二3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离选择题(2016·青岛高一检测)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是()A. 4B.C.D.【答案】D【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4.直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+=0，由两条平行直线间的距离公式可得：d===.点晴：本题考查的是两条平行直线间的距离。
用两条平行直线间的距离公式时，要注意两条直线要化成直线方程的一般式，并且两条直线方程中的系数要，这时才可以有两条平行直线间的距离为。
选择题点P(a，0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3，则实数a的取值范围为()A. a>7B. a7或a7或-3>3，解得a>7或a=5，故0【答案】直线l2的方程是x+y-3=0.【解析】试题分析：由l1∥l2设出l2的方程y=-x+b(b>1)，梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离,然后由梯形的面积求解试题解析：设l2的方程为y=-x+b(b>1)，则图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).所以AD=，BC= b.梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，故h==(b>1)，由梯形面积公式得×=4，所以b2=9，b=±3.但b>1，所以b=3.从而得到直线l2的方程是x+y-3=0.选择题点P为x轴上一点，点P到直线3x-4y+6=0的距离为6，则点P 的坐标为()A. (8，0)B. (-12，0)C. (8，0)或(-12，0)D. (0，0)【答案】C【解析】设P(x0，0)，因为d==6，所以|3x0+6|=30，故x0=8或x0=-12.故选C选择题已知点(a，1)到直线x-y+1=0的距离为1，则a的值为()A. 1B. -1C.D. ±【答案】D【解析】.由题意，得=1，即|a|=，所以a=±.解答题在△ABC中，A(3，2)，B(-1，5)，点C在直线3x-y+3=0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标.【答案】点C的坐标为(-1，0)或.【解析】试题分析：根据三角形的面积公式，所以只需求AB两点间距离，然后设C点坐标，利用点到直线的距离公式，即可求出C 点坐标试题解析：由题知|AB|==5，因为S△ABC=|AB|·h=10，所以h=4.设点C的坐标为(x0，y0)，而AB的方程为y-2=-(x-3)，即3x+4y-17=0.所以解得或所以点C的坐标为(-1，0)或.选择题过点P(1，2)引直线，使A(2，3)，B(4，-5)到它的距离相等，则这条直线的方程为()A. 4x+y-6=0B. x+4y-6=0C. 2x+3y-7=0或x+4y-6=0D. 3x+2y-7=0或4x+y-6=0【答案】D【解析】显然直线斜率存在，设直线方程为：y-2=k(x-1)，即kx-y+2-k=0，A，B到直线距离相等，则=，解得k=-4或k=-，代入方程得4x+y-6=0或3x+2y-7=0.点晴：本题考查的是过一点到另外两点距离相等的直线方程。
3.3.3点到直线的距离公式
即bx－ay＋ab＝0；
直线BC： ，即bx＋ay－ab＝0，
∴点B（a，0）．
在线段AB上任取一点D（m，0），
则－a≤m≤a．
∴d1＋d2＝ ，即等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
1.点到直线的距离公式应用非常广泛，你能举例说明它在解决实际问题中的应用吗？
注意：（1）在求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式．
（2）当直线与x轴或y轴平行时，公式也成立，但此时求距离一般不用公式．
［例 题］
1.求点P（－1，2）到下列直线的距离：
l1：2x＋y＝5，l2：3x＝2．
注意：规范解题格式．
2.求两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝０，（C1≠C2）之间的距离．
由Ax1＋By0＋C＝0，Ax0＋By2＋C＝0得
易证A＝0或B＝0，公式也成立．
（2）点到直线的距离公式也可用向量的知识求得，此法更能体现出代数与几何的联系，比其他方法更简单，直观，易懂．求法如下：
①如图24-4，证明向量n＝（A，B）与直线l垂直．
不妨设A≠0，直线l与x轴的交点是Q（－ ，0）．
课堂检测
教学效果
自我评估：
⑴教学任务完成情况
⑵学生掌握情况
分层作业
课后反思
改进设想
分析：求两条平行线间的距离，就是在其中一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离．
解：在l1上任取一点P（x1，y1），则Ax1＋By＝－C1，点P到l2的距离
3.建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
解：以等腰三角形底边所在的直线为x轴，底边上的高所在的直线为ｙ轴，建立直角坐标系（如图24-2）．
3.3.3点到直线的而距离-3.3.4两条平行直线间的距离
2
.
点到直线距离公式
已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则
P P2 1
x2 x1 y2 y1
2
2
.
两点间的距离公式
已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则
P P2 1
x2 x1 y2 y1
2
2
.
点到直线距离公式
已知点P(x,y),直线l:Ax+By+C=0,则点 P到直线l的距离：
.
点到直线距离公式
已知点P(x,y),直线l:Ax+By+C=0,则点 P到直线l的距离：
d
Ax0 By0 C A B
2 2
例1.求点P(-1,2)到下列直线的距离. (1)2x+y-10=0； (2)3x=2
教材108页练习1,2
例2.已知点A(1,3),B(3,1)C(-1,0), 求三角形ABC的面积.
y 3 2
1 -1 O C (-1,0) A (1,3)
h
1 2 3 x
证明:两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+ C2=0的距离是 d
C1 C2 A B
2 2
.
结论:两条平行线间的距离公式
例3.求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0 的距离.
结论:直线到直线的距离转化为点到直线的距离
已知点A(a,-5)与B(0,10)间的距离 是17,求a的值.
点到直线距离公式
已知点P1(x1,y1 y2 y1
2
2
.
点到直线距离公式
已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则
2021_2022学年高中数学第3章直线与方程3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离
2．两条平行直线间的距离 (1) 定 义 ： 夹 在 两 条 平 行 直 线 间 _公__垂__线__段_ 的 长 叫 做 这 两 条 平 行 直 线 间 的 距
离． (2)求法：转化为求_点__到__直__线_的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，
这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．
[思路点拨]
思路一
由直线平行设出方程
→
利用平行线间 的距离公式求解
思路二
设出直线上任意 一点的坐标
→
Байду номын сангаас
利用点到直线的距 离公式求出直线上的 点满足的方程即可
[解析] 方法一 由已知可设所求直线的方程为 2x－y＋C＝0(C≠－1)，则它 与直线 2x－y－1＝0 的距离为 d＝ |C22－＋－－11|2＝|C＋51|＝2，
互动探究学案
命题方向1 ⇨点到直线的距离公式
典例 1 求点 P(3，－2)到下列直线的距离． (1)y＝34x＋14； (2)y＝6; (3)x＝4. [思路分析] 解答本题可先把直线方程化为一般式(特殊直线可以不化)，然后 再利用点到直线的距离公式及特殊形式求出相应的距离．
[解析] (1)把方程 y＝34x＋14写成 3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得 d ＝|3×3－324＋×－－422＋1|＝158.
或 x＋y－6＝0.
综上，所求直线 l 的方程为 x－y＝0 或 7x＋y＝0 或 x＋y－2＝0 或 x＋y－6＝
0.
命题方向2 ⇨求两平行直线的距离
典例 2 (2019·山东省烟台市期末)与直线 2x－y－1＝0 平行，且距离为 2 的直线方程为_2_x_－__y_＋__2__5_－___1_＝__0_或___2_x－__y_－__2___5_－__1_＝__0_. ______
3.3.3点到直线的距离、3.3.4两条平行直线间的距离
复习引入
两点间的距离公式是什么？
复习引入
两点间的距离公式是什么？ 点B(x2，y2)到A(x1，y1)的距离为
AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
讲授新课 讨 论：
什么是平面上点到直线的距离？ 怎样才能求出这一段的距离？
求△ABC的面积.
练习1. 已知A(2, 1)，直线BC的方程是
x＋y＝1，求△ABC的BC边上的高.
讨 论：
两条平行直线间的距离怎样求？
讨 论：
两条平行直线间的距离怎样求？ 平行直线间的距离 转 化 为
点到直线的距离
例3. 已知直线l1：2x－7y－8＝0，
l2：6x－21y－1＝0， l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间的距离.
平行且到l的距离为2的直线的方程.
课堂小结
1. 点到直线的距离；
2. 两条平行直线间的距离.
课后作业
1. 作业本。
讲授新课 讨 论：
什么是平面上点到直线的距离？ 怎样才能求出这一段的距离？ 点P0(x0, y0)到直线Ax＋Bx＋C＝0
的距离为 d
Ax0 By0 C A B
2 2
.
例1. 求点P0(0, 5)到直线y＝2x的距离.
例2. 已知点A(1, 3)，B(3, 1：ax＋2y＋2＝0
l2：3x－y＋d＝0的距离为 10 ， 求a与d的值.
练习3.求过点M(－2, 1)，且与
A(－1, 2)，B(3, 0)距离相等的
直线方程.
练习4. 求两条直线
l1：3x＋4y＋1＝0
l2：5x＋12y－1＝0
高中数学 第三章 3.3.33.3.4两条平行直线间的距离课件 新人教A版必修2
填一填·知识要点、记下(jì xià)疑难 点
1．点到直线的距离的定义： 点P0到直线l的距离，是指从点P0 到直线l的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足 ．
2．在平面直角坐标系中，点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离为d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C| .
第三页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
探究点一 点到直线的距离 问题1 两点间的距离公式是什么？
答 已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.
问题2 什么是平面上点到直线的距离？ 答 如下图，P到直线l的距离，是指从点P到直线l的垂线段PQ 的长度，其中Q是垂足．
|Ax0＋By0＋C1| A2＋B2
.又Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，∴d＝
|CA1－2＋CB22| .
小结 若两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离为d＝ |CA2－2＋CB1|2.
第十二页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高 效
例2 已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，l1与 l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离． 解 l1 的斜率 k1＝27，l2 的斜率 k2＝261＝27.因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2. 先求l1与x轴的交点A的坐标，容易知道A的坐标为(4,0)． 点A到直线l2的距离d＝|6×4－622＋1×2102－1|＝32353＝12539 53. 所以l1与l2间的距离为12539 53.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的
3.3.3点到直线的距离和3.3.4两平行线间的距离学案
y
A
h C
O
B
探究二。两平行线间的距离公式的应用。 探究二。两平行线间的距离公式的应用。 公式的应用 例 3、已知直线 l1 : 3 x − 4 y − 8 = 0, l2 : 3 x − 4 y + 2 = 0 ，求 l1 与 l2 间的距离。
x
例 4、已知直线 l1 : 2 x − 7 y − 8 = 0, l2 : 6 x − 21 y − 1 = 0 ， l1 与 l2 是否平行？若平行，求 l1 与 l2 间的距离。
当 A=0 时，公式 。
合作探究
探究一。点到直线的距离公式的应用。 探究一。点到直线的距离公式的应用。 距离公式的应用 例 1、求点 P0 ( −1, 2) 到直线 l : 3 x = 2 的距离。
例 2、已知点 A(1,3), B (3,1), C ( −1, 0) ，求 ∆ABC 的面积。 （如下图）
探究三。距离公式的综合应用。 探究三。距离公式的综合应用。 例 5.求经过点 P（1，2）的直线，且使 A（2，3） ，B（0，-5）到它的距离相等的直线方程。
1
连南民族高级中学“学案导学”课堂教学活页学案 执笔人：雷训福 审阅人：姚尹赞 时间：09 年 12 月 16 日 课堂达标 课堂达标 [一层练习 ： 一层练习]： 一层练习 1.已知点 A（ a ，6）到直线 3 x －４ y ＝2 的距离 d=4，则 a 的值为 2.求点 p(3, −2) 到下列直线的距离： （1） y =
连南民族高级中学“学案导学”课堂教学活页学案 执笔人：雷训福 审阅人：姚尹赞 时间：09 年 12 月两平行线间的距离学案 3.3.3 点到直线的距离和 3.3.4 两平行线间的距离学案
学习目标： 学习目标：
【创新设计】高中数学(人教A版)必修2【配套课件】16
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
【题后反思】 对变量问题要善于从函数的观点去思考，利用函 数的知识去解决，如本题之关键在于建立面积 S 与变量 m 之间 的函数关系式，转化为二次函数最值问题，同时在解题时又要 考虑到问题的实际意义 .
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
【变式 3】 两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)，B(－3，－1)， 并且各自绕着 A，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为 d. (1)求 d 的取值范围； (2)求当 d 取最大值时两直线的方程．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
解 设点 P 的坐标为(x,0)， 则根据点到直线的距离公式可得|3x－32＋4×－0＋462 |＝6， 解得 x＝8 或 x＝－12. 所以点 P 的坐标为(8,0)或(－12,0)．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
题型二 两条平行线间的距离 【例 2】 求两条平行直线 l1：6x＋8y＝20 与 l2：3x＋4y－15＝0 的距离． [思路探索] 首先将方程化为 x、y 项系数相等的一般式形式，然 后利用公式即可．
课堂讲练互动
活页限时训练
试一试：两平行线间的距离可转化为其中一直线上的任意一点 到另一条直线的距离，这一点该如何选择？ 提示 这一点的选取具有任意性，一般选取计算较为简便的特 殊点．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
名师点睛 1．应用点到直线的距离公式应注意的问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再 用公式．例如求 P(x0，y0)到直线 y＝kx＋b 的距离， 应先把直 线方程化为 kx－y＋b＝0，得 d＝|kx0－k2y＋0＋1 b|. (2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用， 故应用公式时不必判定点 P 与直线 l 的位置关系． (3)直线方程 Ax＋By＋C＝0 中 A＝0 或 B＝0 时，公式也成立， 也可以用下列方法求点到直线的距离： ①P(x0，y0)到 x＝a 的距离 d＝|a－x0|； ②P(x0，y0)到 y＝b 的距离 d＝|b－y0|.
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
点到直线的距离
1:实例中的第(1)中点与直线什 么关系,你能求出点到直线的距离吗?
第(1)小题中点在直线外,过 A 作 x,y 轴平
行线交 l1 于 B、C 两点,点 A 到直线 l1 的距离 |AD|=
AB AC 2 5 BC 5
平面上任意一点 P0(x0,y0)到直线
l:Ax+By+C=0 的距离为 d=
10 ].…………………………(8 分)
法二 如图所示,
显然有 0<d≤|AB|,……………………(3 分)
而|AB|=
(6 3) (2 1)
2
2
=3
10 ,
故所求的 d 的变化范围为 (0,3
10 ].………………(8 分)
(2)由图可知,当 d 取最大值时,两直线垂直于 AB. 而 kAB
2 2
=3,
解之得 C=45 或 C=-33, 故所求直线方程为 5x-12y+45=0 或 5x-12y-33=0.
法二 设所求直线方程为 5x-12y+c=0,
1 在直线 5x-12y+6=0 上取一点 P 0, , 2
则 P 到直线 5x-12y+c=0 的距离为
1 12 c 2 5 (12)
2:直线 l1:x-2y-1=0 与直线 l2:2x-4y+3=0 之间的距离等于 .
解析:l2 方程可化为 x-2y+ 3 =0,显然 l1∥l2, 2
1
因此两直线 l1,l2 间的距离为
3 2
=
2 2 1 2
5. 2
答案:
5 2
求点到直线的距离
3.3.3~3.3.4 点到直线的距离~两条平行直线间的距离
时，利用 yx－ －yx00·－AB＝－1，
可以求点P′的坐标.
x0＋x y0＋y A· 2 ＋B· 2 ＋C＝0，
对称问题的解决，要充分利用对称的几何性质，同时还要注意运算的策
略和方法，所以说对称问题充分体现了直观想象和数学运算的数学核心
素养.
3 达标检测
PART THREE
1.已知原点O(0,0)，则点O到直线x＋y＋2＝0的距离等于
解 3y＝4可化为3y－4＝0， 则点 P(2，－3)到该直线的距离为|－30×2＋3－324|＝133. ③x＝3.
解 x＝3可化为x－3＝0， 则点 P(2，－3)到该直线的距离为|2－1 3|＝1.
(2)求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程.
反思
感悟 (1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 ①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式. ②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用. ③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是 特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. (2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意.
A.1
√B.2
C. 1 2
D.4
解析 由两条直线平行可得－34＝－m6 ，解得 m＝8.由两条平行线间的距离公式得 d＝ |－332＋－472|＝2.
(3)已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距 离最大时，直线l1的方程是__x_＋__2_y－__3_＝__0__.
解析 当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大. 因为A(1,1)，B(0，－1).
新人教A版必修高中数学第三章《两条平行直线间的距离》
h= | 1 0 4 | = 5 ,因此,S△ABC= 1 ×2 2 × 5 =5.
12 12
2
2
2
23
答案:5
.
2021/6/20
4-2:若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是( )
(A)2
(B)2 2
(C)4
5
5
综上得直线 l1,l2 的方程分别为 x=0 和 x=5 或 y= 12 x+1 和 y= 12 (x-5).
5
5
17
2021/6/20
题型三 距离公式的综合应用 【例3】(12分)已知正方形ABCD的中心M(-1,0)和一边CD所在的直线方程为 x+3y-5=0,求其他三边所在的直线方程.
规范解答:因为 AB∥CD,所以可设 AB 边所在的直线方程为 x+3y+m=0. …………………………………………………………………………1 分 又因为 AD⊥CD,BC⊥CD,故可设 AD,BC 边所在的直线方程为 3x-y+n=0. …………………………………………………………………………3 分 因为中心 M(-1,0)到 CD 的距离为
3.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( A )
(A)x+2y-5=0 (B)2x+y-4=0
(C)x+3y-7=0 (D)3x+y-5=0
6
2021/6/20
4.直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0的距离为
.
解析:直线 8x-6y+5=0 化简为 4x-3y+ 5 =0, 2
点到直线的距离两条平行线间的距离的教学设计
点到直线的距离两条平行线间的距离的教学设计(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行线间的距离的教学设计（3课时）主备教师：谢太正一、内容及其解析点到直线的距离和两条平行线间的距离是高中课本必修2第三章直线的最后一节，其主要内容是：点到直线的距离和平行线间的距离的公式的推导及应用。
在此之前，学生已经学习了两点间的距离公式、直线方程、两直线的位置关系。
点到直线的距离公式是解决理论和实际问题的重要工具，它使学生对点与直线的位置关系的认识从定性的认识上升到定量的认识。
点到直线的距离公式可用于研究曲线的性质如求两条平行线间的距离，求三角形的高，求圆心到直线的距离等等，借助它也可以求点的轨迹方程，如角平分线的方程，抛物线的方程等等。
二、目标及其解析目标：1、掌握点到直线的距离公式及其推导；2、会求两平行线间的距离。
解析：1、点),(000y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2、两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长度，如果我们知道两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为三、问题诊断与分析学生已掌握直线的方程和平面上两点间的距离公式,具备了探讨新问题的一定的基础知识,但大部分学生基础较差，很难理解，还需要补充大量的练习。
四、教学设计（一）复习准备：（1）直线方程的一般形式：Ax+By+C=0(A,B 不全为0)。
（2）平面上两点P 1 (x 1，y 1)，P 2 (x 2，y 2)间的距离公式22122121||()()PP x x y y =-+-（3）三角形的面积公式。
（二）探究：点到直线的距离公式问题一：已知P (x 0，y 0)，直线l ：Ax + By + C = 0，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线0:=++C By Ax l 的距离呢?2200B A cBy Ax d +++=2221||B A C C d +-=过程：方案一：设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由PQ ⊥l 可知，直线PQ 的斜率为B A (A ≠0)，根据点斜式写出直线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点Q 的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ |，得到点P 到直线l 的距离为d .方案二：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点()01,y x R ；作y 轴的平行线，交l 于点()20,y x S ，由⎩⎨⎧=++=++002001C By Ax C By Ax 得0012,By C Ax C x y A B ----==所以0001||||||Ax By C PR x x A ++=-= 0002||||||Ax By C PS y y B++=-= 22||RS PR PS =+=22||A B AB +00||Ax By C ⨯++ 由三角形面积公式可知d ·|RS |=|PR |·|PS |.所以0022d A B =+可证明，当A = 0时仍适用.追问：在应用此公式时对直线方程有什么要求？说明：必须是方程的一般式。
高中数学：第三章 直线与方程 (6)
由点 A 到 l 的距离为 5，得－3kk2＋－（1－－21k）－223＝5， 解得 k＝43.(8 分) 所以 l 的方程为43x－y－83－23＝0，(10 分) 即 4x－3y－10＝0.(11 分) 综上，所求直线方程为 x＝2 或 4x－3y－10＝0.(12 分) 失分警示：若漏掉此处扣去1分.
解析：(1)由题意，得63＝m1 ，所以 m＝2，
将直线 3x＋y－3＝0 化为 6x＋2y－6＝0，
由两平行线间的距离公式，得|－612＋＋262|＝
5＝ 40
10 4.
(2)设直线 l 的方程为 2x－y＋C＝0，
由题意，得 |32－2＋C1|2＝ |C22＋＋11|2，解得 C＝1，
所以直线 l 的方程为 2x－y＋1＝0.
答案：(1)
10 4
(2)2x－y＋1＝0
类型 3 距离的综合应用(规范解答) [典例 3] (本小题满分 12 分)求经过两直线 l1：x－3y －4＝0 与 l2：4x＋3y－6＝0 的交点，且和点 A(－3，1) 的距离为 5 的直线 l 的方程． 审题指导：根据两直线相交，首先求出交点坐标， 然后再根据点斜式设出直线方程，但需要讨论斜率 k 是否 存在两种情况． [规范解答]由x4－ x＋3y3－y－4＝ 6＝0， 0，解得yx＝＝－2，23，
且 最 大 值 为 |AB| ＝ （－3－6）2＋（－1－2）2 ＝
3 10. 所以 d 的取值范围为(0，3 10 ]． (2)由(1)知 dmax＝3 10，此时 k＝－3， 两直线的方程分别为 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
1．点到直线的距离公式是本节的重要公式，其用途 十分广泛，在使用此公式时，用公式求距离．
第三章 直线与方程
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离 自 学 导 引1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离公式,并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.进一步体验解析几何的基本思想,初步掌握用解析法研究几何问题的方法.课 前 热 身1.在平面直角坐标系中,如果已知某点P 的坐标为(x 0,y 0),直线l 的方程是Ax+By+C=0,则点P 到直线l 的距离d=___________________________________.2.若直线l 的方程Ax+By+C=0中,B=0,则A ≠0,其方程为x=-AC,此时点P(x 0,y 0)到该直线的距离d=________________;若直线l 的方程Ax+By+C=0中,A=0,则B ≠0,其方程为y=-B C此时点P(x 0,y 0)到该直线的距离d=__________________.名 师 讲 解1.点到直线的距离公式点P(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)的距离使用此公式应注意以下几点:(1)若给出的直线方程不是一般式,则应先把方程化为一般式,再利用公式求距离. (2)若点P 在直线上,点P 到直线的距离为零,距离公式仍然适用. (3)点到几种特殊直线的距离: ①点P(x0,y0)到x 轴的距离d=|y0|; ②点P(x0,y0)到y 轴的距离d=|x0|;③点P(x0,y0)到与x 轴平行的直线y=a 的距离d=|y0-a|; ④点P(x0,y0)到与y 轴平行的直线x=b 的距离d=|x0-b|.2.两平行线间的距离(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离,也可以应用公式.(2)应用两平行线间的距离公式2221BA C C d +-=时,两直线方程必须是一般形式.而且x,y 的系数对应相等. (3)当直线与坐标轴垂直时,可利用数形结合法来解决. ①两直线都与x 轴垂直时,l 1:x=x 1,l 2:x=x 2则d=|x 2-x 1|; ②两直线都与y 轴垂直时,l 1:y=y 1,l 2:y=y 2,则d=|y 2-y 1|.典 例 剖 析题型一 距离公式的应用例1:求过点M(-2,1)且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线方程.分析:可利用待定系数法求直线方程,也可用平面几何知识,先判断直线l 与直线AB 的位置关系.事实上,l ∥AB 或l 过线段AB 的中点时,都满足题目的要求.解:当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x+2). 即kx-y+2k+1=0. 由条件得解得k=0或k=-21. 故所求的直线方程为y=1或x+2y=0.当直线斜率不存在时,不存在符合题意的直线.规律技巧:与定直线的距离为定值的点的集合是与定直线平行的两条平行直线,因此,由点到直线的距离公式和求轨迹方程的方法即可求得所求的方程.变式训练1:求点P(1,2)到下列直线的距离 (1)l1:y=x-3; (2)l2:y=-1; (3)y 轴(x=0).解:(1)点P(1,2)到直线x-y-3=0的距离为(2)点P(1,2)到直线y=-1的距离为d=|2-(-1)|=3. (3)点P(1,2)到直线x=0的距离为d=1.题型二 平行线之间的距离解:在直线x+3y-4=0上选点P(4,0),那么点P(4,0)到直线2x+6y-9=0的距离d 就是两条平行线之间的距离.∴两条平行线之间的距离规律技巧:一般地,已知两条平行线l 1:Ax+By+C 1=0,l 2:Ax+By+C 2=0(C 1≠C 2).设P(x 0,y 0)是直线l 2上的任意一点,则Ax 0+By 0+C 2=0,即Ax 0+By 0=-C 2.于是,点P(x 0,y 0)到直线l 1:Ax+By+C 1=0的距离就是两平行直线l 1与l 2之间的距离.应用公式时要注意l 1､l 2中x ､y 的系数必须对应相等.变式训练2:求下列两条平行线之间的距离. (1)5x-12y+2=0与5x-12y+15=0;(2)6x-4y+5=0与y=23x.题型三 综合应用分析:(1)可先求出l 1与l 2的交点,再设出点斜式方程求解.也可以先设出所求直线的直线系方程,利用条件确定参数的值,从而求得直线的方程.(2)解答本题可采用数形结合,分析出点A 到直线l 的最大值,然后应用点到直线的距离公式求出.解:(1)方法1:由 ⎩⎨⎧==+02y -x 05-y 2x ,得交点B(2,1).当直线斜率存在时,设l 的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0. ∴解得:34=k ∴l 的方程为y-1=34(x-2), 即4x-3y-5=0.方法2:设经过已知直线交点的直线系方程为: (2x+y-5)+λ(x-2y)=0, 即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0.∴即2λ2-5λ+2=0,解得λ=2或λ=21.∴l 的方程为4x-3y-5=0或x=2.(2)由⎩⎨⎧==+02y -x 05-y 2x ,解得交点B(2,1).过点B任意作直线l,设d为A到直线l的距离,则d≤|AB|(仅当l⊥AB时等号成立),∴d的最大值为|AB|=10 .规律技巧:在(1)的方法1中易忽略直线斜率不存在的情况,即易丢掉解x=2.方法2可避开讨论,直接求得两个解.变式训练3:若已知A(7,8),B(10,4),C(2,-4),求△ABC的面积.易错探究例4:求经过点A(1,2)且到原点的距离等于1的直线方程.错解:∵所求直线过点A(1,2),∴可设直线方程y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.∵原点到此直线的距离为1,错因分析:本题出错的根本原因在于思维不严密,当用待定系统法确定直线斜率时,一定要对斜率是否存在的情况进行讨论,否则容易犯解析不全的错误.(2)当直线过点A(1,2)且与x轴不垂直时,由题意可设直线方程y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,又由原点到此直线距离等于1,即3x-4y+5=0.综上所述,所求直线方程为x=1或3x-4y+5=0.技能演练基础强化1.原点到直线3x-4y-26=0的距离是( )答案:B2.若点P(3,a)到直线x+3y-4=0的距离为1,则a 的值为( )答案:D3.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是( )解析:在直线3x+2y-3=0上取一点(1,0),则点(1,0)到直线6x+my+1=0的距离,就为所求.由两直线平行得3m-12=0,m=4∴两平行线间的距离为答案:D4.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x 2+y 2的最小值是( )解析:由x2+y2的实际意义可知,它代表直线x+y-4=0上的点到原点的距离的平方,它的最小值即为原点到该直线的距离的平方. 8) 24()y (x 2m in 22==+∴.答案:A5.到直线3x-4y-1=0的距离为2的直线方程为( ) A.3x-4y-11=0 B.3x-4y+9=0C.3x-4y-11=0或3x-4y+9=0D.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0解析:设所求直线方程为3x-4y+k=0,由题意得243122=++k ∴|k+1|=10,∴k=9或k=-11.故所求方程为3x-4y+9=0或3x-4y-11=0. 答案:C6.直线7x+3y-21=0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0解析:设直线7x+3y-21=0上到两坐标轴距离相等的点为P(x 0,y 0) 依题意有:|x 0|=|y 0|,即y 0=±x 0又7x 0+3y 0-21=0,显然 ⎩⎨⎧=+=021-3y 7x x y 0000和⎩⎨⎧=+-=021-3y 7x x y 00都有解,故直线上有两个点适合题意.答案:B7.过点A(2,1)的所有直线中,距离原点最远的直线方程为________.解析:当过点A(2,1)的直线与OA 垂直时,原点到直线的距离最远,所以斜率k=-2,直线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=08.两平行线3x+4y+5=0与6x+ay+30=0间的距离为d,则a+d=________.解析:由两直线平行知,a=8, 25515=-=d∴a+d=10.能力提升9.两条平行线分别过点P(-2,-2),Q(1,3),它们之间的距离为d,如果这两条直线各自绕点P,Q 旋转并保持平行,则d 的取值范围是________.解析:当这两条直线21l ,l 与直线PQ 垂直时,d 达到最大值,此时d=|PQ|=()()34232122=+++ .又21l ,l 保持平行,不能重合.∴0<d ≤3410.已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2+|PB|2|+|PC|2最小,并求此最小值.解:以BC所在直线为x轴,以线段BC的中点为原点,建立直角坐标系,如图所示.由两点间距离公式得:|PA|2+|PB|2+|PC|2品味高考11.(2008年全国Ⅱ)原点到直线x+2y-5=0的距离为( )答案:D12.(全国Ⅱ)在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条解析:由题可知,所求直线不与y轴平行,所以设直线方程为y=kx+b,即kx-y+b=0,答案:B。