八年级数学旋转华东师大版知识精讲

八年级数学旋转华东师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容： 旋转
［教学目标］
1. 熟练掌握旋转图形的特征；
图形中的每一点都绕着旋转中心转动了相同的角度。

旋转后图形与原图形对应线段、对应角相等、图形形状，大小都没有发生变化。

2. 掌握旋转的两要素：旋转中心，旋转角度。

3. 会确定图形旋转的旋转中心和旋转角度。

4. 会利用旋转知识解决实际问题。

二. 重点、难点：
旋转的应用，利用旋转知识解题。

【典型例题】
例1. 如图所示，△ABC 经过旋转得到△A'B'C'，且∠AOB ＝30°，∠AOB'＝20°，则 （1）点B 的对应点是 /B ； （2）线段OB 的对应线段是 /
OB ； （3）线段AB 的对应线段是 //
A B ； （4）∠OAB 的对应角是 /
/
OA B ∠；
（5）∠OBA 的对应角是 /
/OB A ∠；（6）旋转中心是点O ； （7）旋转的角度是/
AOA ∠或/
BOB ∠ 的大小 即旋转角度是0
50。

例2. 若△ABC 绕着点C 旋转90
°后，能与△EFC 重合，且有CF ＝3cm ，∠EFC ＝52°，则BC ＝__________，∠B ＝__________。

答案：3cm ，52°
例3. 若△ABC 绕A 点旋转一定角度就得到△ADE ，那么对应边AB ＝AD ，AC ＝AE ，BC ＝DE ，对应角∠ACB ＝AED ∠，∠B=D ∠，∠C=E ∠, 旋转角是BAD ∠或CAE ∠的度数。

例4. 如图所示，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°，∠BAC＝30°，若△EAC旋转后能与△BAD重合，问：
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转了多少度？
（3）若EC＝10cm，则BD等于多少？
分析：因为△ACD、△AEB都是等腰直角三角形
所以有AE＝AB，AC＝AD，∠EAB＝∠CAD＝90°
由此有∠EAC＝∠BAD
又因为△EAC旋转后能与△BAD重合
所以旋转中心为A，旋转角度为：
90
∠EAB＝0
旋转后的图形与原图形对应线段相等，则：
EC＝BD＝10cm
例5. 如图，O是等边三角形的旋转中心，∠EOF＝120°，∠EOF绕点O进行旋转，在旋转过程中，OE与OF与△ABC的边构成的图形的面积（）
A. 等于△ABC面积的1 3
B. 等于△ABC面积的1 2
C. 等于△ABC面积的1 4
D. 不确定
分析：因为△ABC是等边三角形，且O为旋转中心，可得△ABC绕点O旋转120°后能与自身重合，∠EOF进行旋转时，OE与OF与△ABC的边构成的图形也随之旋转120°，经过三次旋转
后与自身重合，则四边形BFOE的面积等于△ABC面积的1
3
，选A。

例6. 如图，△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°到△
（1）求∠BAD的度数。

（2）求AD的长。

分析：△ABD绕点D
旋转图形的特征：AD＝DE
则△ADE为等边三角形，∠DAE＝60°，∠BAC＝120°
则∠BAD＝120°－60°＝60°
△ADE 为等边三角形，AD ＝AE ＝AC ＋CE 而AB ＝CE ＝3，则AD ＝5
解：因为△ABD 绕点D 顺时针方向旋转60°到△ECD 的位置，则： ∠BDC ＝∠ADE ＝60° AD ＝DE ，AB ＝CE
则△ADE 为等边三角形，∠DAE ＝60°，AE ＝AD 又因为∠BAC ＝120°，所以 ∠BAD ＝∠BAC －∠DAE ＝60° 且AD ＝AE ＝AC ＋CE ＝AC ＋AB AB ＝3，AC ＝2，则AD ＝5
例7. 观察图中的图A 和图B ，请回答下列问题： （1）请简述由图A 变换为图B 的形成过程；
（2）若AD ＝3，DB ＝4，△ADE 与△BDF 面积的和为____________。

分析：图A 中△DA 1F 绕点D 旋转90°后得到△ADE 构成图B 。

S S DA F DAE ∆∆1=
则S S S AD BD ADE BDF DA B ∆∆∆+==
⨯=⨯⨯=1121
2
346
例8. 如图所示，两个边长都为2的正方形ABCD 及正方形OPQR 。

如果O 点正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR 可以绕着O 点旋转，那么可以求出它们重叠部分的面积吗？
分析：如图所示，分别作OE⊥BC于E，OF⊥AB于F
可以将△OFN逆时针方向旋转90度与△OEM重合
所以重叠部分的面积就转化为正方形OFBE的面积
而正方形OFBE的面积为1
所以重叠部分的面积为1
例9. 如图所示，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P，若四边形的面积为16，求DP的长。

分析：可将四边形ABCD 看作△ADP 与直角梯形PBCD 构成。

因为AD ＝CD ，并且∠ADC ＝90°，则AD 可绕点D 逆时针旋转90°与CD 重合。

这时，△ADP 可绕点D 逆时针旋转90°后与△CDE 重合（图示），DP ＝DE ，此时四边形DPBE 为正方形，则利用S S DP ABCD PBED ===164，。

解：延长BC ，过D 作DE ⊥DP 于D ，交BC 延长线于E 因为∠ADC ＝90°，∠PDE ＝90°
且∠=∠+∠∠=∠+∠ADC ADP PDC PDE CDE PDC ， 所以∠ADP ＝∠CDE
又因为DP ⊥AB ，DE ⊥BE 则∠APB ＝∠CED ＝90° ∠A ＝∠DCE ，AD ＝CD
所以△ADP 以D 为旋转中心，逆时针旋转90°后与△CDE 重合
S S APD CDE ∆∆=
所以DP＝DE，四边形PDBE为正方形
==16
且S S
ABCD PDCE
则DP＝4
例10. 如图甲，△ABC、△CDE都是等边三角形。

求证：
（1）AE＝BD；
（2）若把△CDE绕C点按顺时针旋转到图乙位置时，AE＝BD吗？请予以证明。

分析：甲图中，△ABC为等边三角形，AC＝BC，∠ACB＝60°
△DCE为等边三角形，EC＝CD，∠ECD＝60°
则可认为点A、E分别以C为旋转中心
逆时针方向旋转60°与点B、点D重合
于是△ACE以C为旋转中心，逆时针旋转60°得到△BCD
利用旋转图形的特征，则AE＝BD
乙图中，∠ACE＝∠ACB＋∠BCE＝60°＋∠BCE
∠BCD＝∠ECD＋∠BCE＝60°＋∠BCE
则与甲图类似，△AEC以C为旋转中心，逆时针旋转60°＋∠BCE的度数与△BCD重合，则AE ＝BD。

过程略。

例11. 如图，已知△ABC和过点P的两条直线PQ、PR，画出△ABC关于PQ对称的三角形A'B'C'，再画出△A'B'C'关于PR对称的三角形A"B"C"。

观察△ABC和△A"B"C"，你能发现这两个三角形有什么关系吗？
分析：利用两个图形关于某条直线对称的性质，正确的画出它们的对称图形。

分别画出它们的图形以后，我们可以得到PB ＝PB'，PB'＝PB"，PA PA PA PA ==''"，，
PC PC PC PC ==''"，，另外还有：∠=∠BPB QPR "2，由此我们可得到：△ABC 绕着点
P 旋转2∠QPR 角度以后，就可得到∆A B C """。

答：△ABC 绕着点P 旋转2∠QPR 后与∆A B C """互相重合。

例12. 某火车站的钟楼上装有一个电子报时钟，在钟面的边界上，每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯，晚上九时三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角内装有多少只小彩灯？ 分析：当时间是九时三十五分二十秒，分针指在表盘35分与36分之间，由于表盘上刻度在9
时与10时之间有5格，每格1分钟，35分钟占1小时（60分钟）的3560712=，而257123
5
<<，
因此时针指在［9时（45分）格＋（2分）格＝（47分）］47分和48分之间，中间有4736112
-+=个彩灯。

【模拟试题】
1. 如图，△ABC是等边三角形，D是BC上的一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，则旋转中心是点___________，旋转角度是___________，点M的对应点的位置在线段___________上。

2. 如图，正方形ABCD经平移后成为正方形CEFG，其平移的方向为___________的方向，平移的距离为线段___________的长。

正方形CEFG也能看成是正方形ABCD经过旋转得到的，它的旋转中心为___________，旋转角度为___________。

3. 画出所给图形绕O点逆时针旋转90度后的图形，该图形旋转几次后可以与原图重合？
4. 如图所示，△ABP是由△ACE绕A点旋转得到的，那么△ABP与△ACE是什么关系？若∠BAP＝40°，∠B＝30°，∠PAC＝20°，求旋转角及∠CAE、∠E、∠BAE的度数。

5. 如图所示，△ABP是由△ACE绕A点旋转60°得到的，若∠BAP＝20°，∠C＝90°，AC ＝4cm，求∠CAE、∠E、∠BAE的度数和AB的长。

6. 正方形ABCD中，E在BC上，F在AB上，∠FDE＝45°，△DEC按顺时针方向旋转一个角度后成△DGA。

（1）图中哪一个点是旋转中心，旋转角等于多少？
（2）指出图中旋转图形的对应线段和对应角；
（3）求∠GDF的度数。

7. 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5cm，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则图中的____________是旋转中心，旋转角是___________。

8. 钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，它的旋转中心是____________，经过20分钟，分针旋转了____________。

9. 如图是四个等边三角形：△ABC、△BDE、△CEF、△BEC，下列说法正确的是（）
A. 将△ABC平移可得到其余的三个等边三角形
B. 将△ABC绕其B点旋转可得到其余的三个等边三角形
C. 将△ABC绕其C点旋转可得到其余的三个等边三角形
D. 将△ABC旋转可得到其余的三个等边三角形，而不必平移
10. 如图所示，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（）
A. ∠BOF
B. ∠AOD
C. ∠COE
D. ∠AOF
11. 已知如图所示，把Rt ABD 绕点A 逆时针旋转90°至△ACF 的位置，BD 的延长线交CF 于点E ，连BC ，若∠FBE ＝∠CBE ，试确定CE 与BD 之间的关系。

12. 时钟在下午4点到5点之间，什么时候分针和时针 （1）重合
（2）成一条直线 （3）成45°角
13. 如图，△ABC 绕点A 旋转后到达△ADE 处，若∠BAC ＝120°，∠BAD ＝30°，则∠DAE ＝__________，∠CAE ＝__________。

14. 四边形ABCD为正方形，则△ADF绕点__________按顺时针方向旋转__________度就可以得到△ABE，如果AF＝4cm，AB＝7cm，则DE＝__________cm。

15. 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转一定角度后能与△ACQ重合，如果AP＝3，那么△APQ的面积是__________。

16. 如图，正方形ABCD的边AB上有一点P，AD上有一点Q，且PQ＝BP＋DQ，则∠QCP＝__________。

试题答案
1. A，60°，AC
2. AC，AC，C，90°
3. 图略，4次
4. 大小，形状完全相同，∠CAE＝40°，∠E＝110°，∠BAE＝100°
5. ∠CAE＝20°，∠E＝70°，∠BAE＝80°，AB＝4cm
6. （1）点D为旋转中心，旋转角等于90°；（2）略；（3）45°
7. 点A，90°
8. 表盘中心，120°
9. D
10. B 11. 垂直
12. 设所需时间在下午4点x 分后
（1）605120219
11
x x x -==.，（分） （2）605120180546
11
x x x -=+=.，（分）
（3）两种情况： ①分针在时针后45°
6051204513
7
11
x x x -=-=.，（分） ②分针在时针前45°
6051204530x x x -=+=.，（分）
13. 120°，30° 14. A ，90°，3 15.
92
16. 延长PB 至Q 使BQ ＝DQ
则△DCQ 以C 为旋转中心逆时针旋转90°，与△BCQ'重合
Q C QC PQ PQ QCP QCQ ''
'==∠=∠=∠=∠=︒
，121
245。