二元选择模型

其中：
1
Yi
0
第i个学生拿到学士学 三位 年后 内去读研 该生三年内未去读研
G P A i 第 i 个 学 生 本 科 平 均 成 绩
INCOi M 第 E i个学生家庭年 位收 ：入 千（ 美单 元
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设回归结果如下（所有系数值均在10%水平统计 上显著）：
Y ˆ i 0 . 7 0 . 4 G P A i 0 . 0 0 2 I N C O M E i （ 1 5 . 3 ）
能观测的是读研还是不读研的决定。 可是，如果是实际研究的话，要有一个大得多的样本。
很多估计Probit或Logit模型的计量经济程序计算pseudo-R2。
Adjusted = 0.
这里 不可观测，通常称为潜变量（latent variable）。
对斜率系数的解释也不同了。在常规回归中，斜 如果模型的目的是预测两种可能性中哪种将被选择，这样的模型称为二元选择模型。
二元选择模中曾介绍解释变量为虚拟变量的模 型，本章要讨论的是因变量为虚拟变量的情形。在这 种模型中，因变量描述的是特征、选择或者种类等不 能定量化的东西，如乘公交还是自己开车去上班、考 不考研究生等。在这些情况下，因变量是定性变量， 我们可以用定义虚拟变量的方法来刻画它们。这种因 变量为虚拟变量的模型被称为定性选择模型 （Qualitative choice models）或定性响应模型 （Qualitative response models）。
对每个观测值，我们可根据（15.3）式计算因变量 的拟合值或预测值。在常规OLS回归中，因变量的拟 合值或预测值的含义是，平均而言，我们可以预期的 因变量的值。但在本例的情况下，这种解释就不适用 了。假设学生甲的平均分为3.5，家庭年收入为5万美 元，Y的拟合值为
Y ˆ 0 .7 0 .4 3 .5 0 .0 0 2 5 0 0 .8 （ 1 5 .4 ）
如果只有两个选择，我们可用0和1 分别表示它 们，如乘公交为0，自驾车为1，这样的模型称为二元 选择模型（binary choice Models），多于两个选择 （如上班方式加上一种骑自行车）的定性选择模型称 为多项选择模型（Multinomial choice models）。
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第一节 线性概率模型
其它斜率系数的解释与此类似。
率系数代表的是其他解释变量不变的情况下，该解释 采用表15-1中的同样数据估计logit模型，回归结果如表15-5所示。
是0.
pseudo-R2是用于虚拟因变量模型的拟合优度的测度的名字。
变量的单位变动引起的因变量的变动。而在线性概率 Observations：30
如果u的分布是对称的，则
（2）拟合值可能小于0或大于1，而概率值必须位于 0和1的闭区间内。
回到有关读研的例子。假设学生乙的GPA为4.0， 家庭收入为20万美元，则代入（15.3）式，Y的拟合 值为
Y ˆ 0 . 7 0 . 4 4 . 0 0 . 0 0 2 2 0 0 1 . 3（ 1 5 . 5 ）
从而得到一个不可能的结果（概率值大于1）。假设
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尽管因变量在这个二元选择模型中只能取两个值：
0或1，可是该学生的的拟合值或预测值为0.8。我们
将该拟合值解释为该生决定读研的概率的估计值。因
t-Stati此stic ，该生决定读研的可能性或概率的估计值为0.8。
回5或到5有0需%关，读则要研相的应例注为子0。. 意的是，这种概率不是我们能观测到的数字，
，我们可以将上式写成
McFad模den 型pseud中o-R2，= 0.斜率系数表示其他解释变量不变的情况下，
该解释变量的单位变动引起的因变量等于1的概率的
变动。
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GPA的系数估计值0.4意味着家庭收入不变的情况 下，一个学生的GPA增加一个点（如从3.0到4.0）， 该生决定去读研的概率的估计值增加0.4。
这看上去与典型的OLS回归模型并无两样，但区 别是这里Y只取0和1两个值，观测值可以是个人、公 司、国家或任何其他横截面个体所作的决定。解释变 量中可以包括正常变量和虚拟变量。
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下面用一个关于是否读研究生的例子来说明如何 解释线性概率模型的结果。模型为：
Y i 0 1 G P A i 2 I N C O M E i u i ( 1 5 . 2 )
（3） 另一个问题是扰动项不是正态分布的。事实 上，线性概率模型的扰动项服从二项分布。
（4）此外，线性概率模型存在异方差性。扰动项 的方差是 p (1-p) ，这里 p是因变量等于1的概率，此 概率对于每个观测值不同，因而扰动项方差将不是 常数，导致异方差性。可以使用WLS法，但不是很 有效，并且将改变结果的含义。
INCOME的系数估计值0.002表明，一个学生的成 绩不变，而家庭收入增加1000美元，该生决定去读研 的概率的估计值增加0.002。
LPM模型中，解释变量的变动与虚拟因变量值为1 的概率线性相关，因而称为线性概率模型。
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线性概率模型存在的问题
（1）线性概率模型假定自变量与Y=1的概率之间存 在线性关系，而此关系往往不是线性的。
二元选择模型如何估计呢？由于它看上去象是一 个典型的OLS回归模型，因而一个简单的想法是采用 OLS法估计。当然，对结果的解释与常规线性回归模 型不同，因为二元选择模型中因变量只能取两个预定
的值。线性概率模型（LPM）一般形式如下： Y i 0 1 X 1 i 2 X 2 i k X k i u i ( 1 5 . 1 )
另有一个学生丙的GPA为1.0，家庭收入为5万元，则
其Y的拟合值为 -0.2，表明读研的概率为负数，这也
是一个不可能的结果。
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解决此问题的一种方法是，令所有负拟合值都等 于0，所有大于1的拟合值都等于1。但也无法令人十 分满意，因为在现实中很少会有决策前某人读研的 概率就等于1的情况，同样，尽管某些人成绩不是很 好，但他去读研的机会仍会大于0。线性概率模型倾 向于给出过多的极端结果：估计的概率等于0或1。