2022年最新沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形同步训练试题(含详细解析)

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形同步训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，2)，B (a ，0)，C (m ，n )（0m >）．若ABC 是等腰直角三角形，且AB BC =，当01a <<时，点C 的横坐标m 的取值范围是（ ）
A ．02m <<
B ．23m <<
C ．3m <
D ．3m >
2、三角形的外角和是（ ）
A ．60°
B ．90°
C ．180°
D ．360°
3、如图，直线l 1∥l 2，被直线l 3、l 4所截，并且l 3⊥l 4，∠1＝46°，则∠2等于（ ）
A ．56°
B ．34°
C ．44°
D ．46°
4、若一个三角形的三个外角之比为3：4：5，则该三角形为（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
5、一个三角形三个内角的度数分别是x ，y ，z ．若2||()0x y x y z -++-=，则这个三角形是（ ）
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．不存在
6、如图，点D 、E 分别在∠ABC 的边BA 、BC 上，DE ⊥AB ，过BA 上的点F （位于点D 上方）作FG ∥BC ，若∠AFG =42°，则∠DEB 的度数为（ ）
A ．42°
B ．48°
C ．52°
D ．58°
7、如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形一定是（ ）．
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
8、已知三角形的两边长分别为4cm 和10cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（
）
A ．15cm
B ．6cm
C ．7cm
D ．5cm
9、下列所给的各组线段，能组成三角形的是：( )
A ．2，11，13
B ．5，12，7
C ．5，5，11
D ．5，12，13
10、如图，∠A ＝α，∠DBC ＝3∠DBA ，∠DCB ＝3∠DCA ，则∠BDC 的大小为（ ）
A ．3454a ︒+
B ．2603a ︒
+ C ．3
454a ︒- D ．2603a ︒
-
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在△ABC 中，已知点D E F 、、分别为BC AD CE 、、的中点，若△ABC 的面积为24m ，则阴影部分的面积为 _________ 2cm
2、如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF 和三角板CFB 如图所示摆放，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，且∠CFE ＝13°，∠CFD ＝32°，则∠DEC 的度数为_______．
3、如图，正三角形ABC 中，D 是AB 的中点，DE AC ⊥于点E ，过点E 作EF AB ∥与BC 交于点F ．若8BC =，则EFC △的周长为______．
4、如图，已知△ABC 是等边三角形，边长为3，G 是三角形的重心，那么GA =______．
5、已知：如图，AB = DB ．只需添加一个条件即可证明ABC DBC ≌△△．这个条件可以是______．（写出一个即可）．
三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、在等腰ABC 中，AB AC =，点D 是BC 边上的一个动点（点D 不与点B ，C 重合），连接AD ，作等腰ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，点D ，E 在直线AC 两旁，连接CE ．
（1）如图1，当90BAC ∠=︒时，直接写出BC 与CE 的位置关系；
（2）如图2，当090
BAC
︒<∠<︒时，过点A作AF CE
⊥于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段BD，CD，2EF之间的数量关系，并证明．
2、已知：直线AB、CR被直线UV所截，直线UV交直线AB于点B，交直线CR于点D，∠ABU+∠CDV＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，BE∥DF，∠MEB＝∠ABE+5°，∠FDR＝35°，求∠MEB的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点N在直线AB上，分别连接EN、ED，MG∥EN，连接ME，∠GME＝
∠GEM，∠EBD＝2∠NEG，EB平分∠DEN，MH⊥UV于点H，若∠EDC＝1
7
∠CDB，求∠GMH的度数．
3、如图，点C是线段AB上一点，ACF与BCE都是等边三角形，连接AE，BF．
（1）求证：AE BF
=；
（2）若点M，N分别是AE，BF的中点，连接CM，MN，NC．
①依题意补全图形；
△的形状，并证明你的结论．
②判断CMN
4、已知：如图，点D为BC的中点，BAD CAD
∠=∠，求证：ABC是等腰三角形．
5、如图，E为AB上一点，BD∥AC，AB＝BD，AC＝BE．求证：BC＝DE．
6、如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，AF⊥AD，垂足为A．求证：∠1＝∠2
7、如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB=DE，∠B=∠E，BF=CE．求证：AC=DF．
8、如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是角平分线，E 是AB 边上一点，连接ED ，CB 是ACF ∠的平分线，ED 的延长线与CF 交于点F ．
（1）求证：BE CF =；
（2）若46CDF ∠=︒，AD DF =，则ACF ∠=______度．
9、如图，已知△ABC ≌△DEB ，点E 在AB 上，AC 与BD 交于点F ，AB ＝6，BC ＝3，∠C ＝55°，∠D ＝25°．
（1）求AE 的长度；
（2）求∠AED 的度数．
10、如图，AD 是ABC 的高，CE 是ADC 的角平分线．若BAD ECD ∠=∠，70B ∠=︒，求CAD ∠的度数．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
过点C 作CD x ⊥轴于D ，由“AAS ”可证AOB BDC ∆≅∆，可得2AO BD ==，BO CD n a ===，即可求解．
【详解】
解：如图，过点C 作CD x ⊥轴于D ，
点(0,2)A ，
2AO ∴=，
ABC ∆是等腰直角三角形，且AB BC =，
90ABC AOB BDC ∴∠=︒=∠=∠，
90ABO CBD ABO BAO ∴∠+∠=︒=∠+∠，
BAO CBD ∴∠=∠，
在AOB ∆和BDC ∆中，
AOB BDC
BAO CBD
AB BC
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()
∴∆≅∆，
AOB BDC AAS
===，
∴==，BO CD n a
2
AO BD
∴<<，
a
01
OD OB BD a m
=+=+=，
2
∴<<，
m
23
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是画图及添加恰当辅助线构造全等三角形．
2、D
【分析】
根据三角形的内角和定理、邻补角的性质即可得．
【详解】
∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒，
解：如图，142536180
∴∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，
142536540
又123180
∠+∠+∠=︒，
∴∠+∠+∠=︒-︒=︒，
456540180360
即三角形的外角和是360︒，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
3、C
【分析】
依据l1∥l2，即可得到∠3＝∠1＝46°，再根据l3⊥l4，可得∠2＝90°﹣46°＝44°．
【详解】
解：如图：
∵l1∥l2，∠1＝46°，
∴∠3＝∠1＝46°，
又∵l3⊥l4，
∴∠2＝90°﹣46°＝44°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线性质以及三角形内角和，平行线的性质：两直线平行，同位角相等以及三角形内角和是180°．
4、A
【分析】
根据三角形外角和为360°计算，求出内角的度数，判断即可．
【详解】
解：设三角形的三个外角的度数分别为3x 、4x 、5x ，
则3x +4x +5x ＝360°，
解得，x ＝30°，
∴三角形的三个外角的度数分别为90°、120°、150°，
对应的三个内角的度数分别为90°、60°、30°，
∴此三角形为直角三角形，
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是三角形的外角和，掌握三角形外角和为360°是解题的关键．
5、C
【分析】
根据绝对值及平方的非负性可得x y =，x y z +=，再由三角形内角和定理将两个式子代入求解可得45x =︒，290x =︒，即可确定三角形的形状．
【详解】 解：()2
0x y x y z -++-=，
∴0x y -=且0x y z +-=，
∴x y =，x y z +=，
∴2z x =，
∵180x y z ++=︒，
∴2180x x x ++=︒，
解得：45x =︒，290x =︒，
∴三角形为等腰直角三角形，
故选：C ．
【点睛】
题目主要考查绝对值及平方的非负性，三角形内角和定理，等腰三角形的判定等，理解题意，列出式子求解是解题关键．
6、B
【分析】
根据两直线平行，同位角相等可得42B AFG ∠=∠=︒，再由垂直的性质及三角形内角和定理即可得．
【详解】
解：∵FG BC ∥，
∴42B AFG ∠=∠=︒，
∵DE AB ⊥，
∴90BDE ∠=︒，
∴18048DEB BDE B ∠=︒-∠-∠=︒，
故选：B ．
【点睛】
题目主要考查平行线及垂线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练运用平行线的性质是解题关键．
7、B
【分析】
根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】
如图，在△ABC 中，CD 是边AB 上的中线
∵AD =CD =BD
∴∠A =∠DCA ，∠B =∠DCB
∵∠A +∠ACB +∠B =180°
∴ ∠A +∠DCA +∠DCB +∠B =180
即2∠A +2∠B =180°
∴∠A +∠B =90°
∴∠ACB =90°
∴△ABC 是直角三角形
故选：B
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练运用这两个知识是关键．
8、C
【分析】
根据三角形的三边关系可得104104x -<<+，再解不等式可得答案．
【详解】
解：设三角形的第三边为xcm ，由题意可得：
104104x -<<+，
即614x <<，
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．
9、D
【分析】
根据三角形三边关系定理，判断选择即可．
【详解】
∵2+11=13，
∴A 不符合题意；
∵5+7=12，
∴B 不符合题意；
∵5+5=10＜11，
∴C 不符合题意；
∵5+12=17＞13，
∴D 符合题意；
故选D ．
【点睛】
本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
10、A
【分析】
根据题意设,ABD ACD βθ∠=∠=，根据三角形内角和公式定理βθ+，进而表示出α，进而根据三角形内角和定理根据()1803BDC βθ∠=︒-+即可求解
解：∵∠A ＝α，∠DBC ＝3∠DBA ，∠DCB ＝3∠DCA ，设,ABD ACD βθ∠=∠=，
∴3,3DBC DCB βθ∠=∠=
180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒
即44180αβθ++=︒
454α
βθ∴+=︒-
∴()1803BDC βθ∠=︒-+31803454544αα⎛⎫=︒-⨯︒-=︒+ ⎪⎝
⎭ 故选A
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
二、填空题
1、1
【分析】
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【详解】
解：∵点E 是AD 的中点，
∴S △ABE ＝12S △ABD ，S △ACE ＝1
2S △ADC ，
∴S △ABE ＋S △ACE ＝12S △ABC ＝12×4＝2cm 2，
∴S △BCE ＝12S △ABC ＝12×4＝2cm 2，
∵点F 是CE 的中点，
∴S △BEF ＝12S △BCE ＝1
2×2＝1cm 2．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
2、64︒
【分析】
作FH 垂直于FE ，交AC 于点H ，可证得()FAH FCE ASA ≅△△，由对应边、对应角相等可得出()HDF EDF SAS ≅△△，进而可求出58DEF ∠=︒，则64DEC CEF DEF ∠=∠-∠=︒． 【详解】
作FH 垂直于FE ，交AC 于点H ，
∵90AFC EFH ∠=∠=︒
又∵AFC AFH CFH ∠=∠+∠，HFE CFE CFH ∠=∠+∠
∴13AFH CFE ∠=∠=︒
∵45A FCE ∠=∠=︒，FA =CF
∴()FAH FCE ASA ≅△△
∴FH =FE
∵321345DFE DFC EFC ∠=∠+∠=︒+︒=︒
∵904545DFH HFE DFE ∠=∠-∠=︒-︒=︒
∴DFE DFH ∠=∠
又∵DF =DF
∴()HDF EDF SAS ≅△△
∴DHF DEF ∠=∠
∵451358DHF A HFA ∠=∠+∠=︒+︒=︒
∴58DEF ∠=︒
∵180CFE CEF FCE ∠+∠+∠=︒
∴1801801345122CEF CFE FCE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒
∴1225864DEC CEF DEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒
故答案为：64︒．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及其性质，作辅助线HF 垂直于FE 是解题的关键． 3、18
【分析】
利用正三角形ABC 以及平行关系，求出EFC △是等边三角形，在Rt ADE ∆中，利用含30角的直角三角形的性质，求出AE 的长，进而得到CE 长，最后即可求出EFC △的周长．
【详解】
解：ABC ∆是等边三角形，
60A B C ∴∠=∠=∠=︒，8BC AB AC ===，
EF AB ∥，
60EFC A B FEC ∴∠=∠=∠=∠=︒，
EFC ∴∆为等边三角形，
3EFC C EC ∆∴=，
由于D 是AB 的中点，故142
AD AB =
=, DE AC ⊥， 90ADE ∴∠=︒，
在Rt ADE ∆中,9030ADE A ∠=︒-∠=︒，
122
AE AD ∴==， 6EC AC AE ∴=-=，
18EFC C ∆∴=，
故答案为：18．
【点睛】
本题主要是考查了等边三角形的判定及性质、含30角的直角三角形的性质，熟练地综合应用等边三角形和含30角的直角三角形的性质求解边长，是解决该题的关键．
4【分析】
延长AG 交BC 于D ，根据重心的概念得到AD ⊥BC ，BD =DC =12BC =32
，根据勾股定理求出AD ，根据重心的概念计算即可．
【详解】
解：延长AG 交BC 于D ，
∵G 是三角形的重心，
∴AD ⊥BC ，BD =DC =12BC =32
，
由勾股定理得，AD =，
∴GA =2
3
AD
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质、三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
5、AC =DC
【分析】
由题意可得，BC 为公共边，AB =DB ，即添加一组边对应相等，可证△ABC 与△DBC 全等．
【详解】
解：∵AB =DB ，BC =BC ，
添加AC =DC ，
∴在△ABC 与△DBC 中，
AB DB BC BC AC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
， ∴△ABC ≌△DBC （SSS ），
故答案为：AC =DC ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
三、解答题
1、
（1）BC CE ⊥
（2）2CD BD EF -=或2BD CD EF -=，见解析
【分析】
（1）根据已知条件求出∠B =∠ACB =45°，证明△BAD ≌△CAE ，得到∠ACE =∠B =45°，求出∠BCE =∠ACB +∠ACE =90°，即可得到结论BC CE ⊥；
（2）根据题意作图即可，证明ABD △≌ACE ．得到BD CE =，B ACE ∠=∠，ADB AEC ∠=∠，推出ACB ACE ∠=∠．延长EF 到点G ，使FG EF =，证明ADC ≌AGC ，推出CD CG =．由此得到2CD BD EF -=．同理可证2BD CD EF -=．
（1）
解：90BAC ∠=︒，AB AC =，
∴∠B =∠ACB =45°，
∵DAE BAC ∠=∠，
∴DAE DAC BAC DAC ∠-∠=∠-∠，即∠BAD =∠CAE ，
∵AB AC =，AD AE =，
∴△BAD ≌△CAE ，
∴∠ACE =∠B =45°，
∴∠BCE =∠ACB +∠ACE =90°，
∴BC CE ⊥；
（2）
解：如图，补全图形；
2CD BD EF -=．
证明：∵BAC DAE ∠=∠，
∴BAD CAE ∠=∠．
又∵AB AC =，AD AE =，
∴ABD △≌ACE ．
∴BD CE =，B ACE ∠=∠，ADB AEC ∠=∠．
∵AB AC =，
∴B ACB ∠=∠．
∴ACB ACE ∠=∠．
延长EF 到点G ，使FG EF =．
∵AF CE ⊥，
∴AE AG =．
∴AEG G ∠=∠．
∵ADB AEC ∠=∠，
∴ADC AEG ∠=∠．
∴ADC G ∠=∠．
∵AC AC =，
∴ADC ≌AGC ．
∴CD CG =．
∵2CG CE EF -=，
∴2CD BD EF -=．
如图，同理可证2BD CD EF -=．
．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟记全等三角形的判定及性质是解题的关键．掌握分类思想解题是难点．
2、（1）见详解；（2）∠MEB ＝40°，（3）∠GMH =80°
【分析】
（1）根据等角的补角性质得出∠ABD =∠CDV ，根据同位角相等两直线平行可得AB ∥CD ；
（2）根据AB ∥CD ；利用内错角相等得出∠ABD =∠RDB ，根据BE ∥DF ，得出∠EBD =∠FDB ，利用等量减等量差相等得出∠ABE =∠FDR ，根据∠FDR ＝35°，可得∠ABE =∠FDR =35°即可；
（3）设ME 交AB 于S ，根据MG ∥EN ，得出∠NES =∠GMS =∠GES ，设∠NES =y °,可得
∠NEG =∠NES +∠GES=2∠NES =2y °，根据∠EBD ＝2∠NEG ，得出∠EBD =4∠NES =4y °,根据∠EDC ＝17
∠CDB ，设∠EDC =x °，得出∠CDB =7x °，根据AB ∥CD ，得出∠GBE +∠EBD +∠CDB =180°，可得
35+4y +7x =180根据三角形内角和∠BDE =∠BDC -∠EDC =7x -x =6x ，∠BED =180°-∠EBD -∠EDB =180°-
4y °-6x °，利用EB 平分∠DEN ，得出y °+40°=180°-4y °-6x °，解方程组7414565140x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1510
x y =⎧⎨=⎩，可证ME ∥UV ，根据MH ⊥UV ，可求∠SMH =90°，∠SMG =∠NES =10°即可． 【详解】
（1）证明：∵∠ABU +∠ABD =180°，∠ABU +∠CDV ＝180°．
∴∠ABU=180°-∠ABD，∠CDV＝180°-∠ABU，∴∠ABD=∠CDV，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD；
∴∠ABD=∠RDB，
∴∠ABE+∠EBD=∠FDB+∠FDR，
∵BE∥DF，
∴∠EBD=∠FDB，
∴∠ABE=∠FDR，
∵∠FDR＝35°，
∴∠ABE=∠FDR=35°，
∴∠MEB＝∠ABE+5°=35°+5°=40°，
（3）解：设ME交AB于S，
∵MG∥EN，
∴∠NES=∠GMS=∠GES，
设∠NES=y°,
∵∠EBD＝2∠NEG
∴∠NEG=∠NES+∠GES=2∠NES=2y°，
∴∠EBD=4∠NES=4y°,
∵∠EDC＝1
7
∠CDB，
设∠EDC=x°
∴∠CDB=7x°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，即∠GBE+∠EBD+∠CDB=180°，∴35+4y+7x=180，
∵∠BDE=∠BDC-∠EDC=7x-x=6x，
∴∠BED=180°-∠EBD-∠EDB=180°-4y°-6x°，
∵EB平分∠DEN，
∴∠NEB=∠BED，
∵∠NEB=∠NES+∠SEB=y°+40°，
∴y°+40°=180°-4y°-6x°，
∴
74145 65140
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
15
10
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴∠EBD=4y°=40°=∠MEB，
∴ME∥UV，
∵MH⊥UV，
∴MH⊥ME，
∴∠SMH=90°，，
∵∠SMG=∠NES=10°，
∴∠GMH=90°-∠SMG=90°-10°=80°．
【点睛】
本题考查平行线判定与性质，三角形内角和，垂直性质，角平分线定义，角的倍分，二元一次方程组，掌握平行线判定与性质，三角形内角和，垂直性质，角平分线定义，角的倍分，二元一次方程组是解题关键．
3、
（1）证明见解析；
（2）①补全图形见解析；②CMN △是等边三角形，证明见解析．
【分析】
（1）由等边三角形的性质可知60ACF BCE ∠=∠=︒，AC FC =，CB CE =．结合题意易得出ACE FCB ∠=∠．即可利用“SAS ”证明ACE FCB ≅，即得出AE BF =；
（2）①根据题意补全图形即可；
②由全等三角形的性质可知CAM CFN ∠=∠，AE BF =．再由题意点M ，N 分别是AE ，BF 的中点，即得出AM FN =．即可利用“SAS ”证明ACM FCN ≅，得出结论CM CN =，ACM FCN ∠=∠．最后根据ACM FCM FCN FCM ∠-∠=∠-∠，即得出60ACF MCN ∠=∠=︒，即可判定CMN △是等边三角形．
（1）
∵ACF 与BCE 都是等边三角形，
∴60ACF BCE ∠=∠=︒，AC FC =，CB CE =，
∴ACF ECF BCE ECF ∠+∠=∠+∠，即ACE FCB ∠=∠，
在ACE 和FCB 中，
∴AC FC ACE FCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴()ACE FCB SAS ≅，
∴AE BF =．
（2）
①画图如下：
②CMN △是等边三角形．
理由如下：∵ACE FCB ≅，
∴CAM CFN ∠=∠，AE BF =．
∵点M ，N 分别是AE ，BF 的中点，
∴AM FN =，
在ACM △和FCN △中，
∵AC FC CAM CFN AM FN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴()ACM FCN SAS ≅，
∴CM CN =，ACM FCN ∠=∠，
∴ACM FCM FCN FCM ∠-∠=∠-∠，即60ACF MCN ∠=∠=︒，
∴CMN △是等边三角形．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段的中点．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
4、证明见解析
【分析】
过点D 作DM AB ⊥，交AB 于点M ，过点D 做DN AC ⊥，交AC 于点N ，根据角平分线性质，得DM DN =；根据全等三角形的性质，通过证明ADM ADN △≌△，通过证明ADM ADN △≌△，得BM CN =，结合等腰三角形的性质，即可完成证明．
【详解】
如下图，过点D 作DM AB ⊥，交AB 于点M ，过点D 做DN AC ⊥，交AC 于点N
∵BAD CAD ∠=∠
∴DM DN =
直角ADM △和直角ADN △中
DM DN AD AD
=⎧⎨=⎩ ∴ADM ADN △≌△
∴AM AN =
∵点D 为BC 的中点，
∴BD CD =
直角BDM 和直角CDN △中
DM DN BD CD =⎧⎨=⎩
∴BDM CDN ≌
∴BM CN =
∵AB AM BM =+，AC AN CN =+
∴AB AC =，即ABC 是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了角平分线、三角形中线、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、三角形中线，全等三角形的性质，从而完成求解．
5、见解析
【分析】
根据平行线的性质可得A DBA ∠=∠，利用全等三角形的判定定理即可证明．
【详解】
证明：∵AC BD ∥，
∴A DBA ∠=∠．
在ABC 和BDE 中，
AB BD A DBA AC BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ABC BDE ≌，
＝．
∴BC DE
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定定理和平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．6、见详解．
【分析】
根据等腰三角形三合一性质以及等边对等角性质得出AD⊥BC，∠B=∠C，根据AF⊥AD，利用在同一平面内垂直同一直线的两直线平行得出AF∥BC，利用平行线性质得出∠1=∠B，∠2=∠C即可．
【详解】
证明：∵△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，
∵AF⊥AD，
∴AF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∴∠1＝∠2．
【点睛】
本题考查等腰三角形性质，平行线的判定与性质，掌握等腰三角形性质，平行线的判定与性质是解题关键．
7、见解析
【分析】
先由BF=CE说明BC= EF．然后运用SAS证明△ABC≌△DEF，最后运用全等三角形的性质即可证明．【详解】
证明：∵BF= CE，
∴BC= EF．
在△ABC 和△DEF 中，
,,,AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．
∴AC =DF ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确证明△ABC ≌△DEF 是解答本题的关键．
8、（1）见解析，（2）46
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和角平分线得到∠B ＝∠ACB ＝∠BCF ，由AD 是角平分线，得到BD ＝CD ，证△BDE ≌△CDF 即可；
（2）根据全等三角形的性质得到DE ＝DF ＝DA ，根据46CDF ∠=︒求得∠DAB ，进而求出∠B 的度数即可．
【详解】
（1）证明：∵AB AC =，
∴∠B ＝∠ACB ，
∵CB 是ACF ∠的平分线，
∴∠ACB ＝∠BCF ，
∴∠B ＝∠BCF ，
∵AD 是角平分线，AB ＝AC ，
∴BD ＝CD ，
∵∠BDE ＝∠CDF ，
∴△BDE ≌△CDF （AAS ）；
∴BE CF =；
（2）∵△BDE ≌△CDF ；
∴ED ＝FD ，
∵AD DF =,
∴ED ＝AD ，
∵46CDF ADE ∠=∠=︒， ∴180672
ADE BAD ︒-∠∠==︒， ∴2134BAC BAD ∠=∠=︒，
∴∠B ＝∠ACB ＝∠BCF ＝23°，
∴246ACF BCF ∠=∠=︒，
故答案为：46．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明和计算．
9、（1）3AE =；（2）80AED ∠=︒．
【分析】
（1）先根据全等三角形的性质可得3BE BC ==，再根据线段的和差即可得；
（2）先根据全等三角形的性质可得55DBE C ∠=∠=︒，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】
解：（1）∵,3ABC DEB BC ≅=，
∴3BE BC ==，
∵6AB =，
∴633AE AB BE =-=-=；
（2）∵ABC DEB ≅△△，
∴55DBE C ∠=∠=︒，
∵25D ∠=︒，
∴552580AED DBE D ∠=∠+∠=︒+︒=︒．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键． 10、50︒
【分析】
AD 是ABC 的高，有90ADB ADC ∠=∠=︒；由70B ∠=︒知20BAD ∠=︒；CE 是ADC 的角平分线可得12
ECD ACD ∠=∠；20BAD ECD ∠=∠=︒，40ACD ∠=︒；在ACD △中，904050CAD ∠=︒-︒=︒． 【详解】
解：∵AD 是ABC 的高
∴90ADB ADC ∠=∠=︒
∵70B ∠=︒
∴20BAD ∠=︒
∵CE 是ADC 的角平分线 ∴12
ECD ACD ∠=∠
∵20BAD ECD ∠=∠=︒
∴40ACD ∠=︒
∴在ACD △中，904050CAD ∠=︒-︒=︒．
【点睛】
本题考查了角平分线．解题的关键在于正确表示各角度之间的数量关系．。