2020年河南省信阳市数学高二下期末质量检测试题含解析

2020年河南省信阳市数学高二(下)期末质量检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．设S 为复数集C 的非空子集，若对任意,x y S ∈，都有,,x y x y xy S +-∈，则称S 为封闭集．下列命题：①集合{|,S a bi a b =+为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0S ∈；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集.其中真命题的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则22
02413()()a a a a a ++-+的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．0
D ．2
3．己知函数()f x =若3(1og )2
f a =,则a =( ) A ．
13
B ．
14 C ．
12
D ．2
4．从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ） A ．小
B ．大
C ．相等
D ．大小不能确定
5．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取60名高中生做问卷调查，得到以下数据：
由以上数据，计算得到2K 的观测值9.643k ≈，根据临界值表，以下说法正确的是( )
A ．在样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课外阅读量大有关”
B ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关
C ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关
D ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关 6．已知函数2
()21
x f x a =+
+为奇函数,则()f a =（ ）
A ．
13
B ．
23
C ．1-
D ．12
-
7．方程22
123
x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）
A ．－3＜m ＜0
B ．－3＜m ＜2
C ．－3＜m ＜4
D ．－1＜m ＜3
8．以下说法中正确个数是（ ）
①用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有一个钝角”；
②欲证不等式3568-<
-成立，只需证
(
)(
)
2
2
35
68-<-；
③用数学归纳法证明2
2
3
1
111n n a a a a a a
++-+++++=
-L （1a ≠，n ∈+N ，在验证1n =成立时，左边所得项为21a a ++；
④命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，但小前提使用错误. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2
212x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是 A ．[]26，
B ．[]39，
C ．242⎡⎤⎣⎦，
D ．232⎡⎤⎣⎦，
10．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ） A ．201520172⨯ B ．201420172⨯ C ．201520162⨯
D ．201420162⨯
11．已知函数()(ln )()x
e f x k x x k R x
=-+∈，如果函数()f x 在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，则实数k
的取值范围是 A ．(]0,1
B ．(],1-∞
C ．(],e -∞
D ．[),e +∞
12．下列有关结论正确的个数为（ ）
①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()2|9
P A B =
； ②设,a b ∈R ，则“22log log a b >”是“21a b ->的充分不必要条件；
③设随机变量ξ服从正态分布(),7N μ，若()()24P P ξξ<=>，则μ与D ξ的值分别为3,7D μξ==． A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．函数 ()2sin 36f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
的最小正周期为__________． 14．设x ，y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
，则z x y =+的最大值为________．
15．已知随机变量ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
若η=2ξ﹣3，则η的期望为_______ 16．函数
的最小正周期是_____________.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的上顶点为A,以A 为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y 轴的交
点分别为(0,13)+、(0,13)-. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且0AP AQ ⋅=u u u v u u u v
,试探究直线l 是否过定点？若过定
点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由. 18．在直角坐标系
中，直线的参数方程为
（为参数），以为极点，轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
．
（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）点
，直线与曲线交于
两点，若
，求的值．
19．（6分）设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知直角坐标平面上的点n n S P n n ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，均在函数y x =的图像上. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若已知点()1
0M ，，()2n n A a =，，()21n n B b =-，为直角坐标平面上的点，且有∥n n MA MB ，求数列{}n b 的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若使1
(1)01(1)--⋅+
≤-++-⋅n n n
t
b n n
对于任意*n ∈N 恒成立，求实数t 的取值范围.
20．（6分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()23f x x x =-++. （1）求不等式()15f x ≤的解集；
（2）若2
()x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.
21．（6分）盒中装有个零件，其中个是使用过的，另外个未经使用.
（1）从盒中每次随机抽取个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率；
（2）从盒中随机抽取个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为，求的分布列和数学期望.
22．（8分）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3sin cos 20b A a B a --=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若7b =
，ABC ∆的面积为
3
2
，求a ，c 的值． 参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】
由题意直接验证①的正误；令x ＝y 可推出②是正确的；举反例集合S ＝{0}判断③错误；S ＝{0}，T ＝{0，1}，推出﹣1不属于T ，判断④错误． 【详解】
解：由a ，b ，c ，d 为整数，可得（a+bi ）+（c+di ）＝（a+c ）+（b+d ）i ∈S ；
（a+bi ）﹣（c+di ）＝（a ﹣c ）+（b ﹣d ）i ∈S ；（a+bi ）（c+di ）＝（ac ﹣bd ）+（bc+ad ）i ∈S ； 集合S ＝{a+bi|（a ，b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集，①正确； 当S 为封闭集时，因为x ﹣y ∈S ，取x ＝y ，得0∈S ，②正确； 对于集合S ＝{0}，显然满足所有条件，但S 是有限集，③错误；
取S ＝{0}，T ＝{0，1}，满足S ⊆T ⊆C ，但由于0﹣1＝﹣1不属于T ，故T 不是封闭集，④错误． 故正确的命题是①②， 故选B ． 【点睛】
本题是新定义题，考查对封闭集概念的深刻理解，对逻辑思维能力的要求较高. 2．A 【解析】
(a 0+a 2+a 4)2－(a 1+a 3)2444014014()()(2(2(43)1a a a a a a =+++-++=-=-+=L L 选A 3．D 【解析】
分析：首先将自变量代入函数解析式，利用指对式的运算性质，得到关于参数a 的等量关系式，即可求得结果.
详解：根据题意有3(log )2
f a ===
， 解得2a =，故选D.
点睛：该题考查的是已知函数值求自变量的问题，在求解的过程中，需要对指数式和对数式的运算性质了如指掌. 4．B 【解析】
试题分析：四种不同的玻璃球，可设为,,,A B C D ，随意一次倒出一粒的情况有4种，倒出二粒的情况有6种，倒出3粒的情况有4种，倒出4粒的情况有1种，那么倒出奇数粒的有8种，倒出偶数粒的情况有7种，故倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率大. 考点：古典概型. 5．D
【解析】
分析：根据临界值表，确定犯错误的概率
详解：因为根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关． 选D.
点睛：本题考查卡方含义，考查基本求解能力. 6．A 【解析】 【分析】
根据奇函数性质,利用(0)0f =计算得到a ,再代入函数计算()f a 【详解】
由函数表达式可知，函数在0x =处有定义，则(0)0f =，1a =-，则2()121x f x =-++，1
(1)3
f -=.
故选A. 【点睛】
解决本题的关键是利用奇函数性质(0)0f =,简化了计算,快速得到答案. 7．A 【解析】
由题意知，()()23032m m m -+<⇒-<<，则C ，D 均不正确，而B 为充要条件，不合题意，故选A. 8．B 【解析】 【分析】
①根据“至多有一个”的反设为“至少有两个”判断即可。

②不等式两边平方，要看正负号，同为正不等式不变号，同为负不等式变号。

③令1n =代入左式即可判断。

④整数并不属于大前提中的“有些有理数” 【详解】
命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有两个钝角”；①错
<
0<<，故只需证
2
2
->，②错
2
2
3
1
111n n a a a a a
a
++-+++++=
-L （1a ≠，n ∈+N ，当1n =时，左边所得项为21a a ++；③正确
命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，小前提使用错误.④正确
综上所述：①②错③④正确
故选B
【点睛】
本题考查推理论证，属于基础题。

9．B
【解析】
分析：求出A（﹣3，0），B（0，﹣3），
=P（
α
α），点P到
直线x+y+2=0的距离：
=
，∈，由此能求出
△ABP面积的取值范围．
详解：∵直线x+y+3=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x=0，得y=﹣3，令y=0，得x=﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，﹣3），
=
∵点P在圆（x﹣1）2+y2=2上，∴设P（
α
α），
∴点P到直线x+y+3=0的距离：
=，
∵sin()
4
π
α+∈[﹣1，1]，∴
，
∴△ABP
面积的最小值为
1
3,
2
⨯=
△ABP
面积的最大值为
1
9,
2
⨯=
故答案为：B．
点睛：（1）本题主要考查直线与圆的位置关系和三角形的面积，考查圆的参数方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设点P（
α
α），利用圆的参数方程设点大大地提高了解题效率.
10．B
【解析】
试题分析：由题意得，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，第2015行公差为20142，第一行的第一个数为122-⨯；第二行的第一个数列为032⨯；第三行的第一个数
为142⨯；L L ；第n 行的第一个数为2
(1)2n n -+⨯，第2016行只有20142014(12016)2
20172M =+⋅=⋅，故选B.
考点：数列的综合应用.
【方法点晴】本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到等差数列的概念与通项公式，等比数列的通项公式等知识点应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的转化与化归思想的应用，本题的解答中正确理解数表的结构，探究数表中数列的规律是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题. 11．C 【解析】
分析：求函数()f x 的导函数，并化简整理，结合函数()f x 在定义域为(0, +∞)只有一个极值点进行讨论即可.
详解：函数()f x 的定义域为(0, +∞)
∴()()()
22
111x x x x e kx xe e f x k x x x ---⎛⎫=-+= ⎪⎝'⎭
①当0k ≤时，0x e kx ->恒成立，令()'
0f
x >，则1x >，
即()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减， 则()f x 在1x =处取得极小值，符合题意； ②当0k >时，1x =Q 时()'
0f
x =，
又函数()f x 在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，
∴()f x 在1x =处取得极值.
从而0x e kx ->或0x e kx -<恒成立， 构造函数()(),x
h x e g x kx ==，
()x h x e '=，
设()g x kx =与()x
h x e =相切的切点为(
)0
0,x x e
，
则切线方程为()0
00x x y e
e x x -=-，
因为切线过原点，则()00
000x
x e e
x -=-，解得0
1x
=，
则切点为()1,e 此时k e =. 由图可知：
要使0x e kx ->恒成立，则k e ≤. 综上所述：(]
,k e ∈-∞. 故选：C.
点睛：导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点． 12．D 【解析】
对于①，4344443273()()464432
A P
B P AB ⨯====，，所以()2()()9P AB P A B P B ==，故①正确；对于②，当22log log a b >，有0a b >>，而由21a b ->有a b >，因为0,0a b a b a b a b >>⇒>>≠>>> ，所
以22log log a b >是21a b ->的充分不必要条件，故②正确；对于③，由已知，正态密度曲线的图象关于直线3ξ=对称，且27σ= 所以3,7D μξ==，故③正确．
点睛：本题主要考查了条件概率，充分必要条件，正态分布等，属于难题．这几个知识点都是属于难点，容易做错．
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．23π
【解析】 【分析】
直接利用三角函数的周期公式求出函数的最小正周期. 【详解】
由题得函数的最小正周期
22
|-3|3 T
ππ==.
故答案为2 3π
【点睛】
本题主要考查正弦型函数的最小正周期的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 14．1
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，画出可行域，平移直线y x z
=-+，找到z的最大值．
【详解】
x，y满足约束条件
33
1
x y
x y
y
+≤
⎧
⎪
-≥
⎨
⎪≥
⎩
的可行域如图：
，
则z x y
=+经过可行域的A时，目标函数取得最大值，
由
33
y
x y
=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得()
3,0
A，
所以z x y
=+的最大值为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了线性规划问题，求线性目标函数的最值问题，考查了画图能力．利用数形结合是解决本题的关键．
15．3
【解析】解：Eξ=1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2
Eη=2Eξ-3=3
16．
【解析】
【分析】 【详解】 ∵函数的周期为
，
∴函数
的最小正周期
，
故答案为.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（1）2
213
x y +=（2）直线l 过定点1(0,)2-
【解析】 【分析】
（1）根据圆A 的圆心和半径写出圆的标准方程，令0x =求得圆与y 轴交点的坐标，由此列方程组求得,a b 的值，进而求得椭圆的标准方程.（1）根据AP AQ u u u v u u u v
⊥，利用点斜式设出直线,PA QA 的方程，并分别代入椭圆方程解出,P Q 两点的坐标，由此求得直线l 的方程，由此求得定点的坐标为10,2⎛
⎫- ⎪⎝⎭
. 【详解】
解：（1）依题意知点A 的坐标为()0,b ，则以点A 圆心，以a 为半径的圆的方程为:
()222x y b a +-=，
令0x =得y b a =±，由圆A 与y 轴的交点分别为(
0,13+、(0,13-
可得1313
b a b a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1,3b a ==
故所求椭圆C 的方程为2
213
x y +=.
（2）由0AP AQ ⋅=u u u v u u u v 得AP AQ u u u v u u u v
⊥，可知PA 的斜率存在且不为0，
设直线:1PA l y kx =+-① 则1
:1QA l y x k
=-+-② 将①代入椭圆方程并整理得(
)
2
21360k x kx ++=，可得2
613P k
x k
=-
+， 则2
2
113P y k =
-+，
类似地可得2266
,133
Q Q k x y k k ==-++， 由直线方程的两点式可得：直线l 的方程为 211
42
k y x k -=-，
即直线l过定点，该定点的坐标为
1 0,
2
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
.
【点睛】
本小题主要考查圆的标准方程和几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的两点式以及直线过定点的问题.属于中档题.要求直线和椭圆的交点坐标，需要联立直线和椭圆的方程，解方程组求得，这里需要较强的运算能力.直线过定点的问题，往往是将含有参数的部分合并，由此求得直线所过的定点. 18．（Ⅰ），；
（Ⅱ）或1．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用极直互化公式即可把曲线的极坐标方程化为普通方程，消去参数t求出直线的普通方程即可；（Ⅱ）联立直线方程和的方程，结合二次函数的性质得到关于的方程，由t的几何意义列方程，解出即可．
【详解】
（Ⅰ）．
，
，
而直线l的参数方程为(为参数），
则l的普通方程是：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：①，l的参数方程为(为参数）②，
将②代入①得：，
故，
由，即
解得：或1．
【点睛】
本题考查了极坐标方程，参数方程以及普通方程的转化，考查直线和曲线的位置关系，是一道常规题．
19．（1）21n a n =-； （2）22
21
-=-n n b n ； （3）[1,2]t ∈. 【解析】 【分析】
（1）先根据点在直线上得和项关系式，再根据和项与通项关系求通项； （2）根据向量平行坐标表示得,n n b a 关系式，代入（1）结论得结果；
（3）分n 奇偶分类讨论，再根据参变分离转化为求对应函数最值，最后根据函数最值得结果. 【详解】
（1）因为点n n S P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，在函数y x =，所以2
,n n S n S n n =∴=
当1n =时，111a S ==；
当2n ≥时，121,n n n a S S n -=-=-；
211121n a n ⨯-=∴=-Q
（2）(1,)(1,1)(1)1n n n n n n n n MA MB MA MB a b a b ∴∴-∴-=u u u u r u u u u r
Q ∥∥∥
1122112121
n n n b a n n -∴=-
=-=-- （3）n 为偶数时，1
22(1)
001(1)2121
n n n t n t
b n n n n ---⋅+
≤∴-+≤-++-⋅--Q
22t n ∴≤-，22222n n t ≥∴-≥∴≤Q
n 为奇数时，122
(1)001(1)21
n n n
t n b t n n n ---⋅+
≤∴-≤-++-⋅-Q 11
1111012121
t n n n ∴≥-
≥∴-<-=--Q ， 1t ∴≥ 因此12t ≤≤ 【点睛】
本题考查由和项求通项、向量平行坐标表示以及不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题. 20．（1）[8,7]-（2）(,5]-∞ 【解析】
试题分析：（1）由已知，根据解析式中绝对值的零点（即绝对值等于零时x 的值），将函数的定义域分成若干段，从而去掉绝对值号，再分别计算各段函数的相应不等式的解集，从而求出原不等式的解集；
（2）由题意，将不等式转化为()2
a x f x ≤+，可构造新函数()()2g x x f x =+，则问题再转化为
()min a g x ≤，由（1）可得()()min 05g x g ==，即5a ≤，从而问题可得解.
试题解析：（1）因为()21,35,3221,2x x f x x x x --<-⎧⎪
=-≤≤⎨⎪+>⎩
，
所以当3x <-时，由()15f x ≤得83x -≤<-； 当32x -≤≤时，由()15f x ≤得32x -≤<； 当2x >时，由()15f x ≤得27x -<≤. 综上，()15f x ≤的解集为[]
8,7-.
（2）（方法一）由()2
x a f x -+≤得()2
a x f x ≤+，
因为()
()()235f x x x ≥--+=，当且仅当32x -≤≤取等号， 所以当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5， 所以当0x =时，()2
x f x +取得最小值5，
故5a ≤，即a 的取值范围为(]
,5-∞.
（方法二）设()2
g x x a =-+，则()()max 0g x g a ==，
当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5， 所以当0x =时，()2
x f x +取得最小值5，
故5a ≤，即a 的取值范围为(]
,5-∞. 21．（1）次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率.
（2）随机变量的分布列为:
.
【解析】试题分析：（1）这是一个有放回地抽取的问题，可以看作独立重复试验的概率问题.首先求出“从盒中随机抽取个零件，抽到的是使用过的零件”的概率，然后用独立重复事件的概率公式便可求得“次抽
取中恰有次抽到使用过的零件”的概率.（2）7个零件中有2个是使用过的，再抽取2个使用后再放回，则最多有4个是使用过的，最少有2个是使用过的，所以随机变量的所有取值为.“”表示抽取的2个都是使用过的，“”表示抽取的2个中恰有1个是使用过的，“”表示抽取的2个都是未使用过的，这是一个超几何分布问题，由超几何分布的概率公式可求得随机变量的分布列.
试题解析：（1）记“从盒中随机抽取个零件，抽到的是使用过的零件”为事件，
则.
所以次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率. 6分
（2）随机变量的所有取值为.
；；
. 8分
所以，随机变量的分布列为
:
. 12分
考点：1、独立重复试验的概率；2、超几何分布；3、随机变量的分布列.
22．（Ⅰ）
2
3
B
π
=（Ⅱ）
1,
{
2,
a
c
=
=
或
2,
{
1.
a
c
=
=
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先利用正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用配角公式进行求解；（Ⅱ）利用三角形的面积公式和余弦定理进行求解．
试题解析：3sin cos20
b A a B a
--=，
sin sin cos 2sin 0B A A B A --=， 又()0,A π∈，sin 0A ≠
cos 2B B -=，sin 16B π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭，∴23
B π
=． （Ⅱ）∵Δ2221,{22,ABC S acsinB b a c accosB ==+-
∴221223{227,
3acsin a c accos ππ=+-=即22
2,{5,ac a c =+= ∴1,{2,a c ==或2,{ 1.
a c ==。