高中数学向量的综合运算

⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎩⎪
-⎨⎬⎧⎪
⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎭
几何表示向量的表示符号表示坐标表示平面向量向量的应用加减法及其几何意义向量的运算数乘数量积
向量
要求层次
重难点
平面向量的基本定理
A ① 了解平面向量的基本定理及其意义． ② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． ③ 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
平面向量的正交分解及
其坐标表示
B 用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
C 用坐标表示的平面向量共线的条件 C 向量的线 性运算
数量积
C ① 理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
② 了解平面向量的数量积与向量投影的关系． ③ 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
④ 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
数量积的坐标表示
C 用数量积表示两个向量的夹角
B
用数量积判断两个平面向量的垂直关系 C
向量的应用
用向量方法解决简单的
问题
B
① 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
② 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
（一） 知识内容
知识框架
例题精讲
高考要求
板块一：向量的分解与向量的坐标运算
向量的坐标运算与数量积
1．平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在
唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．
基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}
12,e e ．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}
12,e e 的分解式． 说明：
⑴ 定理中1e ，2e 是两个不共线向量；
⑵ a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ⑶ 平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．
⑴ 平面向量基本定理的证明：
在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =． 由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：
过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ， 过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ， 于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =， 所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+
证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+， 即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0， 不妨设20y a -≠，则1
212
x a e e y a -=-
-， 由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛 盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．
⑵ 证明A ，B ，P 三点共线或点在线上的方法：
已知A 、B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点，则对直线l 上任意一点P ，存在实
数t ，使OP 关于基底{}
,OA OB 的分解式为(1)OP t OA tOB =-+ ……①，并且满足①式的点P 一定在l 上．
证明：设点P 在直线l 上，则由平行向量定理知，存在实数 t ，使AP t AB =()t OB OA =-，
∴(1)OP OA AP OA tOB tOA t OA tOB =+=+-=-+
设点P 满足等式(1)OP t OA tOB =-+，则AP t AB =，即P 在
l 上．
其中①式可称为直线l 的向量参数方程式，当1
2
t =
时， 点M 是AB 的中点，则1
()2
OM OA OB =+，这是向量AB 的中点的向量表达式．可推广
到OAB ∆中，若M 为边AB 中点，则有1
()2
OM OA OB =+存在．
2．向量的正交分解与向量的直角坐标运算：
⑴ 向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．
向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，
也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．
轴方向相同的两个单位向量1e ，2e ．这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{}
12,e e ，这个基底也叫做直角坐标系xOy 的基底．对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数1a ，2a ，使得1122a a e a e =+，
这样，平面内的任一向量a 都可由1a ，2a 唯一确定，我们把有序数对12(,)a a 叫做向量a 的坐标，记作12(,)a a a =②．其中1a 叫做a 在x 轴上的坐标，2a 叫做a 在y 轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示．
⑵ 向量的直角坐标运算：
设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则
①1122(,)a b a b a b +=++；②1122(,)a b a b a b -=--；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ== 说明：
① 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差； ② 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．
若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--；
一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．
3．用平面向量坐标表示向量共线条件：
设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．
若向量b 不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．
（二）典例分析：
1.向量的坐标运算
【例1】 ⑴ 若向量(1,)a x =-与(,2)b x =-共线且方向相同，求x ．
⑵ 在直角坐标系xOy 中，已知(3,13)A --，(0,2)B ，(2,12)C ，求证：A 、B 、C 三点共线．
【变式】 点(2,3)A 、(5,4)B 、(7,10)C ，若(R)AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三
象限角平分线上．
【例2】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ）
A ．1
2-
B ．
1
2
C ．2-
D ．2
【例3】 ⑴ 设向量(2,3)AB =，且点A 的坐标为(1,2)，则点B 的坐标为．
⑵ 已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ．
可根据本题讲解线段中点的坐标公式：
在直角坐标系xOy 中，已知点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则线段AB 的中点坐标为
1212,22x x y y ++⎛⎫
⎪⎝
⎭
，求线段AB 的其中一个四等分点P 的坐标．
2.向量的分解
【例4】 已知向量a ，b 不共线，()c ka b k =+∈R ，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）
A ．1k =且c 与d 同向
B ．1k =且c 与d 反向
C ．1k =-且c 与d 同向
D ．1k =-且c 与d 反向
【变式】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（ ）
B '
D '
D
C
B
A P
A ．()A
B AD λ+，(01)λ∈，
B ．()AB B
C λ+
，0λ⎛∈ ⎝⎭
C ．()AB A
D λ+
，0λ⎛∈ ⎝⎭ D ．()AB BC λ-
，0λ⎛∈ ⎝
⎭
【例5】 已知ABCD □的两条对角线AC 与BD 交E ，O 是任意一点．
求证：OA +OB +OC +OD =4OE
【变式】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += ．
【例6】 如图所示，OM AB ∥，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不
含边界）运动，且OP xOA yOB =+，则x 的取值范围是 ；当1
2
x =-时，y 的取值范围
是 ．
【例7】 点M 、N 、S 分别是OAB ∆的边OA 、OB 、AB 上的点，OA a =，OB b =，
⑴若M 、N 分别是OA 、OB 的中点，线段AN 与BM 的交点为P ，求OP ； ⑵若OS 是AOB ∠的角平分线，求OS ．
【变式】 ⑶若:1:3OM OA =，:1:4ON OB =，线段AN 与BM 交于点Q ，求OQ ．
S
Q
N
M
B
A
O
【例8】 如图，已知ABC ∆的面积为214cm ，D 、E 分别为边AB 、BC 上的点， 且
::2:1AD DB DE CE ==，AE 、CD 交于点P ，求APC ∆的面积．
A
B
C
D E P
（一） 知识内容
<教师备案> 根据力与功的计算，引入向量的数量积运算．
一个力F 作用于一个物体，使该物体位移s ，由于图示的力F 的方向与位移方向有一个夹角θ，真正使物体前进的力是F 在物体唯一方向上的分力，这个分力与物体位移距离的乘积才是力F 做的功．即力F 使物体惟一s 所做的功W 可以用cos W s F θ=计算．
1. 向量数量积的物理背景与定义 ⑴ 两个向量的夹角：
已知两个非零向量a ，b ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠称作向量a 和向量b 的夹角，记作,a b <>，
并规定0,a b π<>≤≤，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有
,,a b b a <>=<>．当π
,2
a b <>=
时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作a b ⊥． ⑵ 向量的数量积（内积）定义
cos ,a b a b <>叫做向量a 和b 的数量积（或内积）
，记作a b ⋅，即cos ,a b a b a b ⋅=<> <教师备案> 可通过下题，讲解向量的数量积的概念及应用．
⑴ 已知5a =，6b =，,135a b <>=︒，求a b ⋅， ⑵ 已知9a b ⋅=-，18a b ⋅=，求,a b <>．
解：⑴ ∵cos ,56cos135152a b a b a b ⋅=<>=⨯⨯︒=-，152a b ⋅=-⑵ ∵cos ,a b a b a b ⋅=<>，∴91
cos ,182
a b a b a b
⋅-<>=
=
=-，∴120θ=︒ 板块二：数量积
<教师备案> 若两个向量是首尾相接，需要注意向量所成的角：
C B
已知正ABC ∆的边长为2，设BC a =，CA b =，AB c =， 求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．
如图，a 与b 、b 与c 、a 与c 夹角为120︒，
∴原式||||cos120||||cos120||||cos120a b b c a c =⋅⋅︒+⋅⋅︒+⋅⋅︒
122362⎛⎫
=⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭
．
⑶ 向量内积的性质
①e 是单位向量，则cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>； ②a ⊥0b a b ⇒⋅=，且0a b ⋅=⇒a ⊥b ； ③2
a a a ⋅=，即a a a =⋅；④cos ,a
b a b a b
⋅<>=
；⑤a b a b ⋅≤．
<教师备案> 可通过以下判断题，检验学生关于向量垂直条件的掌握情况
① 对任意向量a ，有2
2||a a =．（√）
② 若0a ≠，则对任一非零向量b ，有0a b ⋅≠；（×） ③ 若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =；（×）
④ 若0a b ⋅=，则,a b 至少有一个为零向量；（×）
⑤ 若a b a c ⋅=⋅，则b c =当且仅当0a ≠时成立；（×）
2．向量数量积的运算律
⑴ 交换律：a b b a ⋅=⋅；()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅． ⑵ 分配律：()a b c a c b c +=⋅+⋅
<教师备案> 根据向量数量积的性质及运算律，可得到以下公式：
① 完全平方公式：2
2
2()2a b a a b b +=+⋅+； ② 平方差公式：2
2
()()a b a b a b +-=-
3．向量数量积的坐标运算与度量公式
⑴ 向量内积的坐标运算：建立正交基：{}
12,e e ，已知12(,)a a a =，12(,)b b b =，1122a b a b a b ⋅=+ ⑵ 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：a ⊥11220b a b a b ⇔+= ⑶ 向量的长度、距离和夹角公式
① 已知12(,)a a a =，则212a a a =+，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根． ② 如果11(,
)A x y ，22(,)B x y ，则2(AB x = ③ 两个向量夹角余弦的坐标表达式：cos a b <⋅>=
<教师备案> ⑴ 向量内积的坐标运算：
11221122()()a b a e a e b e b e ⋅=+⋅+1111121221211222a b e e a b e e a b e e a b e e =⋅+⋅+⋅+⋅
∵11221e e e e ⋅=⋅=，12210e e e e ⋅=⋅=，∴得到表达式1122a b a b a b ⋅=+ ⑵ 在向量垂直条件中，当120b b ≠时，条件11220a b a b +=，可以写成
1221
a a
k b b ==- 也就是说，如果a ⊥b ，则向量12(,)a a 与21(,)b b -平行，上式中的k 是比例系数． 对任意实数k ，向量21(,)k b b -与向量12(,)b b 垂直． 例如，向量(3,4)与向量(4,3)-，(12,9)-…垂直．
（二）典例分析：
1.数量积运算
【例9】 ⑴ 已知7a =，2b =，a 与b 的夹角为60，求(3)(5)a b a b -+；
⑵ 在ABC ∆中，已知3AB =，4BC =，60ABC ∠=，求AC ．
【例10】 等边ABC ∆的边长为4，则AB BC ⋅=
【变式】 若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定．．．
成立的是（ ） A ．()()a b c a b c ++=++ B ．()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅
C ．()m a b ma mb +=+
D ．()()a b c b c a ⋅⋅=⋅
【例11】 设a b c ，，是单位向量，且0a b ⋅=，则()()a c b c -⋅-的最小值为（ ）
A ．2- B
．2 C ．1- D
．1
【例12】 已知向量a 与b 的夹角为120，且4a b ==，那么(2)b a b ⋅+的值为 ．
【例13】 如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===°，，，D 是
BC 边上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅等于（ ）
A ．83-
B ．83
C ．23
D ．2
3-
【变式】 在直角ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ）
D
A
B
C
A ．2
AC AC AB =⋅
B ．2
BC BA BC =⋅
D
C
B
A
C ．2
AB AC CD =⋅
D ．2
2
()()
AC AB BA BC CD AB
⋅⨯⋅=
【例14】 若向量a ,b 满足1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则a a a b ⋅+⋅=（ ）
A ．
12 B ．3
2
C. 1 D ．2
【例15】 直角坐标平面上三点(12)A ，
、(32)B -，、(97)C ，，若E F 、为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅= ．
2.向量求模
【例16】 已知4a =，3b =，且6a b ⋅=．
⑴ 求a b ，的值；⑵求a b +的值．
【例17】 ⑴已知向量(21)10||52a a b a b =⋅=+=，，，，则||b =（ ）
A B C ．5 D ．25
【变式】 已知向量(1),(1)a n b n ==-，，，若2a b -与b 垂直，则a = ．
【变式】 已知向量(1),(1)a n b n ==-，，，若2a b -与b 垂直，则a =（ ）
A ．1
B C ．2 D ．4
【变式】 已知向量(21)10||52a a b a b =⋅=+=，，，，则||b =（ ）
A B C ．5 D ．25
【变式】 已知a ，b 是非零向量，且a ，b 夹角为
π
3，则向量a b p a b
=+的模为 ．
【例18】 已知2,1,a b ==a 与b 的夹角为
π
3
，那么4a b -等于（ ）
A ．2
B ．
C ．6
D ．12
【例19】 ⑴已知平面向量(2,4)a =，(1,2)b =-．若()c a a b b =-⋅，则||c =_____________． 【例20】
⑵已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c --=，则c 的最大值是( )
A.1
B.2
3.向量求夹角
【例21】 已知两单位向量a 与b 的夹角为120︒，若23c a b d b a =-=-，，试求c 与d 的夹角．
【例22】 ,a b 为非零向量，当a tb +()t R ∈的长度取最小值时．
⑴ 求t 的值；
⑵ 求证：b 与a tb +垂直．
【变式】 1a =，2b =，c a b =+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为（ ）
A ．30︒
B ．60︒
C ．120︒
D ．150︒
【例23】 给出命题：
⑴在平行四边形ABCD 中，AB AD AC +=.
⑵在ABC ∆中，若0AB AC ⋅<，则ABC ∆是钝角三角形. ⑶a b a b +=-，则0a b ⋅=
以上命题中，正确的命题序号是 ．
【例24】 已知,a b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角．
【例25】 设平面内的向量(1,7)OA =，(5,1)OB =，(2,1)OM =，点P 是直线OM 上的一个动点，且
8PA PB ⋅=-，求OP 的坐标及APB ∠的余弦值.
4.向量的坐标运算
【例26】 ⑴设O 为坐标原点，向量()12OA =，．将OA 绕着点O 按逆时针方向旋转90︒得到向量OB ，
则2OA OB +的坐标为 ．
⑵正方形PQRS 对角线交点为M ，坐标原点O 不在正方形内部，且(03)OP =，，(40)OS =，， 则RM =（ ）
A ．7122⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭
，
B ．7122⎛⎫ ⎪⎝⎭
， C ．(74)， D ．7722
⎛⎫
⎪⎝⎭
，
【例27】 已知点(12)A ，
和(41)B -，，试推断能否在y 轴上找到一点C ，使90ACB ∠=︒？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由．
【例28】 与向量7122a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，1
72
2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，的夹角相等，且模长为1的向量是（ ） A ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， B ．435
5⎛⎫- ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， C
．13⎫-⎪⎪⎝⎭ D
．13⎫-⎪⎪⎝⎭
或13⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
【例29】 ⑴ 已知(4,2)a =，则与a 垂直的单位向量的坐标为 ；
⑵ 若(2,1)a =，(3,4)b =-则34a b +的坐标为_________．
【例30】 在Rt ABC ∆中，(2,3)AB =，(1,)AC k =，求k 值．
【例31】 已知(3,4)a =，(1)b t =，，且()a b a ⊥-，则t =
【例32】 设(00)O ，，(10)A ，，(01)B ，，点P 上线段AB 上的一个动点，AP AB λ=．若OP AB PA PB ⋅⋅≥，
则实数λ的取值范围是（ ）
A ．1
12
λ≤≤ B
．11λ-≤ C
．112λ≤≤ D
．11λ+≤
【例33】 已知(10)(21)a b ==，，，，
①求3a b +；②当k 为何实数时，ka b -与3a b +平行，平行时它们是同向还是反向？
5.综合问题
【例34】 设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：
①()()0a b c c a b ⋅-⋅= ②a b a b -<-
③()()b c a c a b ⋅-⋅不与c 垂直 ④2
2
(32)(32)94a b a b a b +⋅-=-中，
真命题是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④
【例35】 设向量a b ，满足：||3a =，||4b =，0a b ⋅=．以a b a b -，，的模为边长构成三角形，则它的
边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【例36】 ⑴ 已知(1,3)A ，()3,7B ，(6,0)C ，(8,1)D -，求证：AB ⊥CD ．
⑵ 已知(3,2)a =--，(4,4)b =．求23a b +，cos ,a b <>．
⑶ 已知(1,2)a x y x y =++-，(,22)b x y x y =-+-，若23a b =，求x 、y 的值．
【例37】 关于平面向量a b c ，，．有下列三个命题：
①若a b a c ⋅⋅=，则b c =．②若(1)a k =，，(26)b =-，，a b ∥，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60︒． 其中假命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）
【例38】 如图，以原点和(5,2)A 为顶点作等腰直角OAB ∆，使90B ∠=︒，求点B 和向量AB 的坐标．
【例39】
ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++ 求实数m 的值．
H
M
A B
C
【例40】
ABC ∆的外接圆的圆心为O ，且AP 为边BC 上的高，M 为AP 上的一点，且()OM m OA OB OC =++．求证：M 为ABC ∆的垂心．
【例41】 设(1)A a ，
，(2)B b ，，(45)C ，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ ）
A ．453a b -=
B ．543a b -=
C ．4514a b +=
D ．5414a b +=
典例分析：
【例42】 如图，甲船以每小时2甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105︒的方向1B 处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120︒方向的2B 处，此时两船相距102里，问乙船每小时航行多少海里?
【例43】 已知{}|(10)(01)P a a m m ==+∈R ，，，，{}
|(11)(11)Q b b n n ==+-∈R ，，，是两个向量集合，
则P Q =（ ）
A ．{}(11)，
B ．{}(11)-，
C ．{}(10)，
D ．{}(01)，
【例44】 已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且π,π2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
.
板块三：向量的综合应用
⑴求a b ⋅及a b +；
⑵求函数()f x a b a b =⋅++的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值.
【变式】 已知向量(cos sin )a αα=，，(cos sin )b ββ=，，且a b ≠±，那么a b +与a b -的夹角的大小是
_______．
【变式】 已知a b c ，，为ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边，向量(31)m =-，，
(cos sin )n A A =，．若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B = ．
【例45】 设π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，向量()13cos sin 22a b αα⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭
，，，． ⑴证明：向量a b +与a b -垂直；⑵当22a b a b +=-时，求角α．
【变式】 已知点()2,0A ，()0,2B ，()cos ,sin C αα，且0πα<<．
⑴若7OA OC +=，求OB 与OC 的夹角；
⑵若AC BC ⊥，求tan α的值．
【变式】 已知A 、B 、C 的坐标分别为(4,0)A ，(0,4)B ，(3cos ,3sin )C αα．
⑴若()π,0α∈-且AC BC =，求角α的值； ⑵若0AC BC ⋅=，求22sin sin 21tan αα
α
++的值．
【变式】 已知向量(cos ,sin ),(2,
2)a x x b ==，若85a b ⋅=，且ππ
42
x <<.
⑴试求出πcos 4x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
和πtan 4
x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
的值；⑵求
sin 2(1tan )
1tan x x x
+-的值.
【例46】 设向量(
)
()3sin cos cos cos a x x b x x =
=，，，，记()f x a b =⋅．
⑴求函数()f x 的最小正周期； ⑵画出函数()f x 在区间π11π1212⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦，的简图，并指出该函数的图象可由()sin y x x =∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
⑶若π
π63x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，，函数()()g x f x m =+的最小值为2，试求出函数()g x 的最大值并指出x 取
何值时，函数()g x 取得最大值．
【变式】 已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且π0,2x ⎡
⎤∈⎢⎥⎣
⎦，
⑴求a b ⋅及a b +；
⑵若()2f x a b a b λ=⋅-+的最小值是3
2
-，求λ的值．
【变式】 设平面上P 、Q 两点的坐标分别是cos ,sin 22x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，33cos ,sin 22x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中π0,2x ⎡
⎤∈⎢⎥⎣
⎦．
⑴求PQ 的表达式；
⑵记()2
()4f x PQ PQ λλ=-∈R ，求函数()f x 的最小值．
【例47】 在ABC ∆中，已知角A 为锐角，向量22
π2sin sin ππ222tan π2sin sin π222A A m A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪=- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，
cos(π2)1sin(π2)22A A n ---⎛⎫= ⎪⎝⎭
，，()f A m n =⋅． ⑴向量m ∥n 时，求A ； ⑵求()f A 的最大值． ⑶若7π
()1212
A B f A BC +===，，，求ABC ∆的三个内角和AC 边的长．
【例48】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为
3π
4
，2OB =，设AOB θ∠=，π3π24θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
． ⑴用θ表示点B 的坐标及OA ；
⑵若4
tan 3θ=-，求OA OB ⋅
的值．
【例49】 如图，抛物线21
2
y x =-上有两点11()A x y ，、22()B x y ，，且0OA OB ⋅=，又(02)OM =-，，
⑴求证：AM AB ∥；
⑵若2MA MB =-⋅，求AB 所在直线方程．
【变式】 已知向量()2cos 2sin a αα=，，()3cos 3sin b ββ=，，若a 与b 的夹角为60°，则直线
2cos 2sin 10x y αα-+=与圆()()2
2
cos sin 1x y ββ-++=的位置关系是（ ）
A ．相交但不过圆心
B ．相交且过圆心
C ．相切
D ．相离。