高中数学 2.2.2第1课时 椭圆的简单几何性质知能演练轻

【优化方案】2013-2014学年高中数学 2.2.2第1课时 椭圆的简单几
何性质知能演练轻松闯关 理 新人教A 版选修2-1
1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( ) A.13 B.33 C.12 D.32 解析：选D.由题意知，2a ＝4b ，又b 2＝a 2－c 2， 得到4c 2＝3a 2，e 2＝34，e ＝32
.
2．两个正数1、9的等差中项是a ，等比中项是b 且b ＞0，则曲线x 2a ＋y 2
b
＝1的离心率
为( )
A.105
B.2105
C.25
D.35
解析：选A.∵a ＝9＋12
＝5，b ＝1×9＝3，
∴e ＝25
＝105.
3．若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，
则此椭圆的方程是( )
A.x 281＋y 272＝1
B.x 281＋y 2
9＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 2
36
＝1 解析：选A.由已知得a ＝9,2c ＝13·2a ，于是c ＝1
3a ＝3.
又∵焦点在x 轴上，∴椭圆方程为x 281＋y
272
＝1.
4．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )
A.22
B.32
C.53
D.63
解析：选A.易知b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，
∴c 2a 2＝12，e ＝22
. 5．椭圆x 2
25＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2
25－k
＝1(0＜k ＜9)的关系为( )
A ．有相等的长、短轴
B ．有相等的焦距
C ．有相同的焦点
D ．有相同的顶点
解析：选B.a 2－b 2＝(25－k )－(9－k )＝25－9＝16＝c 2，
∴c 1、c 2相等．
6．离心率e ＝1
2，一个焦点是F (0，－3)的椭圆标准方程为__________．
解析：依题意c a ＝12，c ＝3，所以a ＝6，b ＝27，焦点在y 轴上，所以椭圆标准方程为
y 2
36＋x 2
27
＝1. 答案：y 236＋x 2
27
＝1
7．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝10
5，则m 的值为________．
解析：若m ＜5，则5－m 5
＝
10
5
，∴m ＝3. 若m ＞5，则
m －5m
＝105，∴m ＝25
3.
答案：3或25
3
8．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．
解析：依题意，得b ＝3，a －c ＝1.
又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，c ＝4，
∴椭圆的离心率为e ＝c a ＝4
5
.
答案：45
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆过(3,0)，离心率e ＝6
3
；
(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. 解：(1)若焦点在x 轴上，则a ＝3，
∵e ＝c a ＝6
3
，∴c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3.
∴椭圆的方程为x 29＋y 2
3＝1.
若焦点在y 轴上，则b ＝3， ∵e ＝c a
＝
1－b 2a
2＝1－9a 2＝63
， 解得a 2＝27.
∴椭圆的方程为y 227＋x 2
9
＝1.
综上，所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 2
9
＝1.
(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)．
如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝4，
∴a 2＝b 2＋c 2＝32，
故所求椭圆的方程为x 232＋y 2
16
＝1.
10．设椭圆方程为mx 2＋4y 2＝4m ，其离心率为1
2
，试求椭圆的长轴的长和短轴的长，焦
点坐标及顶点坐标．
解：椭圆方程可化为x 24＋y 2
m
＝1.
(1)当0＜m ＜4时，a ＝2，b ＝m ，c ＝4－m .
∴e ＝c a
＝
4－m 2＝1
2
， ∴m ＝3，∴b ＝3，c ＝1.
∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4,23，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，顶点坐标为A 1(－2,0)，A 2(2,0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．
(2)当m ＞4时，a ＝m ，b ＝2， ∴c ＝
m －4，
∴e ＝c a
＝
m －4m
＝12，解得m ＝16
3， ∴a ＝433，c ＝233，
∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝⎛⎭⎫0，－233，F 2⎝
⎛⎭⎫
0，233，
顶点坐标为A 1⎝⎛⎭⎫0，－433，A 2⎝
⎛⎭⎫
0，433，B 1(－2,0)，B 2(2,0)．
1．过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，
若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A.22
B.33
C.12
D.13
解析：选B.法一：将x ＝－c 代入椭圆方程可解得点P (－c ，±b 2a )，故|PF 1|＝b 2
a ，又在
Rt △F 1PF 2中∠F 1PF 2＝60°，
所以|PF 2|＝2b 2a ，根据椭圆定义得3b 2
a
＝2a ，
从而可得e ＝c a ＝3
3
.
法二：设|F 1F 2|＝2c ，则在Rt △F 1PF 2中， |PF 1|＝
233c ，|PF 2|＝43
3
c . 所以|PF 1|＋|PF 2|＝23c ＝2a ，离心率e ＝c a ＝3
3
.
2．在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y
2b
2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径
作圆，过点⎝⎛⎭
⎫a
2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________. 解析：
如图，切线P A 、PB 互相垂直，半径OA 垂直于P A ，
所以△OAP 是等腰直角三角形， 故a 2
c
＝2a ， 解得e ＝c a ＝2
2.
答案：2
2
3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝6
3，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原
点的距离为3
2
，求椭圆的标准方程．
解：e ＝c
a
＝
a 2－
b 2a ＝6
3
， ∴a 2－b 2a 2＝2
3
.∴a 2＝3b 2，即a ＝3b .
过A (0，－b )，B (a,0)的直线为x a －y
b ＝1，
把a ＝3b 代入，即x －3y －3b ＝0. 又由点到直线的距离公式得 |－3b |
1＋(－3)2
＝
3
2
，解得：b ＝1，∴a ＝ 3. ∴所求方程为x 23
＋y 2
＝1.
4.
如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐
标，其纵坐标等于短半轴长的2
3
，求椭圆的离心率．
解：设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距长分别为a ，b ，c .
则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，
M 点的坐标为(c ，2
3b )，
则△MF 1F 2为直角三角形． 在Rt △MF 1F 2中， |F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，
即4c 2＋4
9b 2＝|MF 1|2.
而|MF 1|＋|MF 2| ＝
4c 2＋49b 2＋2
3
b ＝2a ，
整理得3c 2＝3a 2－2ab .
又因为c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，
所以b 2a 2＝49
，
所以e 2＝
c 2a 2＝a 2－b 2
a 2＝1－
b 2a 2＝5
9，
所以e ＝5
3
.。