n维向量,向量间的线性关系

所以, R(1 ,2 ,3 , 1 ) 3, R(1 ,2 ,3 ) 2, 且 R(1 ,2 ,3 , 1 ) R(1 ,2 ,3 ) 故 1不能由向量组1 ,2 ,3线性表示.
例 设1 (1， 2， 1， 3)T ,2 (2,4, 2,6)T ,
其中 (2, 4,1, 1) , (1,5, 2,0)T .
T
解 因为
2 x 3 3 x
所以
x 3
3(2, 4,1, 1) (1,5, 2,0)T . (7, 17,1, 3)
T
T
§3.2 向量间的线性关系
3.2.1 线性组合与线性表示 3.2.2 线性相关与线性无关
a (a1 , a 2 ,, a n )
T
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a , b, , 等表示，如：
a1 a2 a a n
分量全为零的向量
0,0,
,0 称为零向量。
定义 向量(a1 , a2 ,
(8)k k k
向量的运算律：
(9) 1 (10)k ( k 0) k (11)k 0 k 0或 0
注意：两个向量只有维数相同时，才能进行加 法和减法运算！
例 解向量方程
2 x 3 3 x
数乘向量：设 k 是一个数，向量
(ka1 , ka2 ,, kan )T
称为向量 a1 , a2 , 记为 k 向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算。 显然，向量的加法与数乘去处是矩阵的加法与数乘 运算的特例。因此向量的两种运算满足以下去处规 律。
, an 与数 k 的数量乘积。
, an )T 称为向量
(a1 , a2 , , an )T 的负向量，记作 .
定义 设向量 (a1 , a2 , , an )T , (b1 , b2 , , bn )T ,
若ai bi ,则称向量与 相等,记作 .
由定义可知，两个向量只有维数相同时才有相等 或不相等的概念，换句话说维数不同的两个向量是不 能进行比较的。例如，维数不同的两个零向量是不相 等的。
,m ) R(1 ,2 , ,m , ).
例 设1 (1， 2， 1， 3)T ,2 (2,4, 2,6)T ,
3 (2, 1,1, 3) , 1 (4, 3, 0, 3) , 2 (4, 3, 1, 3) ,
T T T
试问 1与 2能否由1 , 2 , 3 线性表出? 若能,请写出其 表达式。
3.2.1 线性组合与线性表示
向量之间除了运算关系还存在着各种关系，其 中最主要的关系是向量组的线性相关与线性无关。 定义1 设1 , 2 ,
, m为n维向量组，k1，k2， , km
是一组实数，则表达式
k11 k2 2 km m
称为向量组1 , 2， , m的一个线性组合，而 k1，k2， , km 称为这个线性组合的系数.
3.2.1 线性组合与线性表示
向量之间除了运算关系还存在着各种关系，其 中最主要的关系是向量组的线性相关与线性无关。 定义2 若向量 是向量组1 , 2 ,
m的一个线性
组合,即
k11 k2 2 km m ,
则称 可由向量组 1 ,2 , ,m 线性表示。
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
例如：
(1,2,3,, n) (1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
第2个分量 第n个分量 第1个分量
n维实向量 n维复向量
2 n维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 T T T T 矩阵，通常用 a , b , , 等表示，如：
2 2 4 0 5 5 , 0 0 1 0 0 0
例 设1 (1， 2， 1， 3)T ,2 (2,4, 2,6)T ,
3 (2, 1,1, 3)T , 1 (4, 3, 0, 3)T , 2 (4, 3, 1, 3)T ,
试问 1与 2能否由1 , 2 , 3 线性表出? 若能,请写出其 表达式。 解： 因为
2 2 1 2 4 1 (1 , 2 , 3 , 1 ) 1 2 1 3 6 3
3 4 4 1 2 2 r3 r2 5 9 r4 r2 3 0 0 5 5 5 , 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0
显然,零向量可由任一向量组线性表示.
向量
i (0,
,0, 1, 0,
(i )
,0)T
叫做 n 维单位坐标向量。
任意 n 维向量 (a1 , a2 ,
, an ) 都可由n维
+an n
T
单位坐标向量组线性表示。这是因为
a1 1 +a2 2 +
例如：
2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 ,1 , 2 , 3 , 4 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1
即 =2 1 5 2 3 3 0 4
所以，称 是 1 , 2 , 3 , 4的一个线性组合, 或 可以 由 1 , 2 , 3 , 4线性表示.
又向量 (1, 0,1)T 不能由向量组1 (2, 3, 0)T ,
2 (1, 2, 0)T 线性表示.事实上，若假设 k11 k2 2
T m
T 2
T 1


T i T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 组 1 , 2 , , m , 构成一个m n矩阵
A ( 1 , 2 ,, m )
1T m个n维行向量所组成 T 2 T T T 的向量组 1 , 2 , m , B 构成一个m n矩阵 T m
则将推出矛盾： 1 0.
由此可见,有的向量可由某一向量组线性表示， 而有的则不行.那么如何判断一个向量能否由某一个 向量组线性表示呢? 关于向量的线性表示，有以下明显的事实：
若以向量1 , 2 , A (1 , 2 ,
ห้องสมุดไป่ตู้
, m , 为列的矩阵 ,m , )
由此可见,有的向量可由某一向量组线性表示， 而有的则不行.那么如何判断一个向量能否由某一个 向量组线性表示呢?
T
向量的运算律：
(1) (2)( ) ( ) (3) 0 (4) 0 (5)1 , ( 1) , 0 O, (6)k ( l ) ( kl ) (7) k l k l
注意 １．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
3、向量、向量组与矩阵
由若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量 mn aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a mj a mn m1 a m 2
解： 因为
2 2 1 2 4 1 (1 , 2 , 3 , 1 ) 1 2 1 3 6 3 4 3 0 3
1 r2 2 r1 r3 r1 0 r4 3 r1 0 0
2 2 4 r3 3 r2 1 5 r 9 r 0 0 5 5 4 5 2 0 0 3 4 0 9 9 0
的和，记为
, an bn
T
负向量：向量
a1 , a2 , , an
称为向量 的负向量
T
向量减法：
( )
a1 b1 , a2 b2 , , an bn
T
注意：两个向量只有维数相同时，才能进行加 法和减法运算！
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
, an
T
b1 , b2 , , bn
T
i 1,2,
, an bn
T
,n
, an
T
b1 , b2 , , bn
T
3.1.2 n 维向量的运算 向量加法：向量 a1 b1 , a2 b2 , T 称为向量 a1 , a2 , , an T b1 , b2 , , bn
第 3 章 向量与向量空间
3.1. n维向量 3.2 向量间的线性关系 3.3 向量组的秩
3.4 向量空间
§3.1 n维向量
3.1.1 n维向量的定义 3.1.2 n维向量的运算
1 n维向量的概念
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 ,
, an 所组成的数
组称为n维向量，这n个数称为该向量的 n个分量， 第i个数ai 称为第i个分量 .
有
2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 2 5 3 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1
k11 k22
kmm k1 1 k2 2
于是有下面的定理.
定理 n 维向量 可由 n 维向量组 (1 ,2 ,
,m )
线性表示的充分必要条件是,矩阵(1 , 2 , 等于矩阵(1 , 2 ,
R(1 ,2 ,
, m )的秩
, m , )的秩,即
关于向量的线性表示，有以下明显的事实: 课本P80
若以向量1 , 2 , A (1 , 2 ,
, m , 为列的矩阵 ,m , )
, m ,为列的矩阵
km m .
经初等行变换, 变成以向量 1 , 2 , B ( 1 , 2 , , m , ),
3.1.2 n 维向量的运算
向量相等：如果 n 维向量 a1 , a2 , 的对应分量都相等，即 ai bi 就称这两个向量相等，记为 向量加法：向量 a1 b1 , a2 b2 , 称为向量 a1 , a2 , 的和，记为