福建省武平县第二中学2025届高考数学押题试卷含解析

福建省武平县第二中学2025届高考数学押题试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则
()()()()1232020f f f f +++
+=（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
3．已知函数有三个不同的零点
（其中
），则 的值为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ） A ．
1
4
B ．
154
C ．
26
5
D ．
15
5．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ） A ．函数()f x 在()0,3上单调递增 B ．函数()f x 在()0,3上单调递减 C ．函数()f x 图像关于3
2
x =
对称 D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
6．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),
222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭
=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩
的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共
点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（ ） A ．1- B ．0
C ．1
D ．
222
+ 7．函数52sin ()([,0)
(0,])33x x
x x
f x x -+=
∈-ππ-的大致图象为
A ．
B ．
C ．
D ．
8．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，
上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，2）
D ．（﹣∞，1）
9．若复数z 满足2
(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）
A ．
5
4
B 5
C ．
102
D ．
105
10．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3
π+
），则f （x ）的最小值为（ ） A ．
12
B ．
14
C ．
34
D ．
22
11．如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则()
AB AC AD ⋅+=（ ）
A ．
52
B ．4
C ．2
D ．13+
12．已知函数()222,0
2,0
x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦
恰有1个整数解，则实数a 的最大值为（ ） A ．2
B ．3
C ．5
D ．8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知随机变量()24,X
N σ，且()260.8P X <≤=，则()2P X <=______
14．已知x ，y ＞0，且
281
1x y
+=，则x +y 的最小值为_____． 15．已知sin cos 0αα-=，则cos(2)2
π
α+=__________.
16．已知变量，满足约束条件
，则的最小值为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，
建立极坐标系，已知曲线1C :sin 24πρθ⎛
⎫+= ⎪
⎝⎭曲线2cos 2:sin x C y θθ
=⎧⎨=⎩（θ为参数），求曲线12C C ，交点的直角坐标. 18．（12分）设椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．
（1）当直线l 的倾斜角为45︒时，求线段AB 的中点的横坐标； （2）设点A 关于x 轴的对称点为C ，求证：M ，B ，C 三点共线；
（3）设过点M 的直线交椭圆于,G H 两点，若椭圆上存在点P ，使得OG OH OP λ+=（其中O 为坐标原点），求实数
λ的取值范围．
19．（12分）设a R ∈，函数21()(1)x
f x x e
a x -=--.
（1）当1a =时，求()f x 在3
(,2)4
内的极值； （2）设函数1()()(1)x
g x f x a x e
-=+--，当()g x 有两个极值点1212,()x x x x <时，总有211()()x g x f x λ≤'，求实数
λ的值.
20．（12分）设x ，y ，z R ∈，()2z x y m +=. （1）若2
2
2
23x y z ++的最小值为4，求m 的值；
（2）若22
2
1412
x y z ++
≥，证明：1m ≤-或m 1≥. 21．（12分）已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的右焦点为2F ，过2F 作x 轴的垂线交椭圆E 于点A （点A 在x 轴上
方），斜率为()0k k <的直线交椭圆E 于,A B 两点，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交
y 轴于点D .
（1）设椭圆E 的离心率为e ，当点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,3b a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，求e 的值.
（2）若椭圆E 的方程为2212x y +=，且k <，是否存在k AC =成立？如果存在，求出k 的值；
如果不存在，请说明理由.
22．（10分）已知△ABC 的两个顶点A ,B 的坐标分别为(,0),圆E 是△ABC 的内切圆,在边AC ,BC ,AB 上的
切点分别为P ,Q ,R ,|CP |=2,动点C 的轨迹为曲线G . （1）求曲线G 的方程;
（2）设直线l 与曲线G 交于M ,N 两点,点D 在曲线G 上,O 是坐标原点OM ON OD +=,判断四边形OMDN 的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是1AC 的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线1AC 与CD 所成角判断④的正
误． 【详解】
解：不妨设棱长为：2，对于①连结1AB ，则1122AB AC ==，1190AC B ∴∠≠︒即1AC 与11B C 不垂直，又11//BC B C ，
∴①不正确；
对于②，连结AD ，1DC ，在1ADC ∆中，15AD DC ==，而1DF AC ⊥，F ∴是1AC 的中点，所以1AF FC =，∴②正确；
对于③由②可知，在1ADC ∆中，3DF =，
连结CF ，易知2CF =，
而在Rt CBD ∆中，5CD =，222DF CF CD ∴+=， 即DF CF ⊥，又1DF AC ⊥，DF ⊥∴面11ACC A ，∴平面1DAC ⊥平面11ACC A ，∴③正确；
以1A 为坐标原点，平面111A B C 上过1A 点垂直于11A C 的直线为x 轴，11A C 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴，建立如图所示的直角坐标系；
()10,0,0A ， (
)1
3,1,0B ，()10,2,0C ， ()0,0,2A ， ()0,2,2C ， (
)
3,1,1D
；
()10,2,2AC =-， (
)
3,1,1CD =
--；
异面直线1AC 与CD 所成角为θ，11cos 0||||
AC CD AC CD θ==，故90θ=︒．④不正确．
故选：B ．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力． 2、C 【解析】
首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 【详解】
由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-， 而()()330f x f x --+-=， 所以()()33f x f x -=+， 所以
()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.
由于()11f =，()22f =-，()00f =， 所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，
()()()4222f f f =-=-=， ()()()5111f f f =-=-=-， ()()600f f ==.
所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=， 又202063364=⨯+， 所以()()()()1232020f f f f ++++=()()()()12341f f f f +++=.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题. 3、A 【解析】 令
，构造
，要使函数有三个不同的零点
（其中），则方程需
要有两个不同的根，则
，解得
或
，结合
的图象，并分
，
两个情况分类
讨论，可求出的值.
【详解】 令，构造，求导得，当时，；当时，， 故
在
上单调递增，在
上单调递减，且
时，
，
时，
，
，可画
出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点
（其中），则方程
需要有两个不同的根
（其中
），则
，解得或
，且，
若，即，则
，则
，且
，
故，
若
，即，由于，故，故不符合题意，舍去.
故选A.
【点睛】
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想. 4、D 【解析】
连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角）， 不妨设正方体的棱长为2，取BD 的中点为G ，连接EG ，在等腰BED ∆中，求出3
cos 5
EG BEG BE ∠==
二倍角公式，求出cos BED ∠，即可得出答案. 【详解】
连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角）， 不妨设正方体的棱长为2，则5BE DE ==
22BD =，
在等腰BED ∆中，取BD 的中点为G ，连接EG ， 则523EG =
-=3
cos 5
EG BEG BE ∠=
=
所以2cos cos 22cos 1BED BEG BEG ∠=∠=∠-， 即：31
cos 2155
BED ∠=⨯
-=，
所以异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为15
. 故选：D.
【点睛】
本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力. 5、C 【解析】
依题意可得(3)()f x f x -=，即函数图像关于3
2
x =对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性； 【详解】
解：由(3)ln(3)ln[3(3)]ln(3)ln ()f x x x x x f x -=-+--=-+=，
(3)()f x f x ∴-=，所以函数图像关于3
2
x =
对称， 又1123()3(3)
x f x x x x x -'=
-=--，()f x 在()0,3上不单调. 故正确的只有C ， 故选：C 【点睛】
本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题. 6、A 【解析】
先将函数解析式化简为|cos |y x =，结合题意可求得切点4x 及其范围4,2x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，根据导数几何意义，即可求得()442tan x x +的值.
【详解】
函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭
=⎨
⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩
即|cos |y x =
直线(2)(0)y m x m =+>与函数|cos |y x =图象恰有四个公共点，结合图象知直线(2)(0)y m x m =+>与函数
cos y x =-相切于4x ，4,2
x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，
因为sin y x '=， 故4
44cos sin 2
x k x x -==
+，
所以()()()()
4444444sin 1
221c 2tan os 2x x x x x x x -+⨯=+⨯=-++=.
故选：A. 【点睛】
本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题. 7、A 【解析】 因为5()2sin()52sin ()()3333
x x x x
x x x x f x f x ---+-+-===--，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ， 又5()033f π-π
π
π=>-，排除C ，故选A ．
8、B 【解析】
根据题意分析()f x 的图像关于直线1x =对称，即可得到()f x 的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到x 的取值范围。

【详解】
根据题意，函数()y f x = 满足(1)f x +是偶函数，则函数()f x 的图像关于直线1x =对称，
若函数()y f x =在(],1-∞上单调递减，则()f x 在[)1
+∞，上递增， 所以要使(22)(2)f x f ->，则有2211x -->，变形可得231x ->， 解可得：2x >或1x <，即x 的取值范围为(,1)(2,)-∞⋃+∞；
故选：B ． 【点睛】
本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题。

9、D 【解析】 先化简得31
i,55
z =+再求||z 得解. 【详解】
2i 2i(13i)31
i,13i 1055
z -=
==++
所以||5
z =. 故选：D 【点睛】
本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10、A 【解析】
先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，再求最值. 【详解】
已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3
π
+
）， =21cos 21cos 2322
x x π⎛
⎫
-+
⎪-⎝⎭
+
，
=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛
⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫
+
∈- ⎪⎝
⎭
， 所以f （x ）的最小值为12
. 故选：A 【点睛】
本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
11、B 【解析】
连接CD 、OD ，即可得到60CAB DOB ︒∠=∠=，1AC =，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得； 【详解】
解：连接CD 、OD ，
C ，
D 是半圆弧的两个三等分点， //CD AB ∴，且2AB CD =，60CAB DOB ︒∠=∠=
所以四边形AODC 为棱形，
1cos 1212
AC AB AC AB BAC ∴=∠=⨯⨯
= ∴()
1
1
222
AB AC AD AB AC AC AB AB AC AB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭
⎣⎦
21
22
AC AB AB =+
． 21
21242
=⨯+⨯=
故选：B
【点睛】
本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题. 12、D 【解析】
画出函数()f x 的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出. 【详解】
解：函数()f x ，如图所示
()()()()()2
00f x af x f x f x a +<⇒+<⎡⎤⎣⎦
当0a >时，()0a f x -<<，
由于关于x 的不等式()()2
0f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解 因此其整数解为3，又()3963f =-+=- ∴30a -<-<，()48a f -≥=-，则38a <≤ 当0a =时，()2
0f x <⎡⎤⎣⎦，则0a =不满足题意； 当0a <时，()0f x a <<-
当01a <-≤时，()0f x a <<-，没有整数解 当1a ->时，()0f x a <<-，至少有两个整数解 综上，实数a 的最大值为8 故选：D 【点睛】
本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、0.1 【解析】
根据2σ原则，可得()()
12622
P X P X -<≤<=，简单计算，可得结果.
【详解】
由题可知：随机变量()24,X
N σ，则期望为4
所以()()12610.8
20.122
P X P X -<≤-<===
故答案为：0.1 【点睛】
本题考查正态分布的计算，掌握正态曲线的图形以及计算，属基础题. 14、1 【解析】 处理变形x +y ＝x （281x y +）+y 8x y x y
=++结合均值不等式求解最值. 【详解】
x ，y ＞0，且281
1x y
+=，
则x +y ＝x （
281x y +）+y 8x y x y
=++≥=1， 当且仅当8x
y x y
==时取等号，此时x ＝4，y ＝2，取得最小值1．
故答案为：1 【点睛】
此题考查利用均值不等式求解最值，关键在于熟练掌握均值不等式的适用条件，注意考虑等号成立的条件. 15、1- 【解析】
首先利用sin cos 0αα-=，将其两边同时平方，利用同角三角函数关系式以及倍角公式得到1sin 20α-=，从而求得sin21α=，利用诱导公式求得cos(2)sin 212
π
αα+=-=-，得到结果.
【详解】
因为sin cos 0αα-=，所以1sin 20α-=，即sin21α=， 所以cos(2)sin 212
π
αα+=-=-，
故答案是1-. 【点睛】
该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，倍角公式，诱导公式，属于简单题目.
16、-5 【解析】
画出，满足的可行域，当目标函数经过点时，最小，求解即可。

【详解】
画出，满足的可行域，由
解得
，当目标函数
经过点
时，取得最小值为-5.
【点睛】
本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想。

需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、()1,1-- 【解析】
利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可. 【详解】 因为sin 24πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
，所以sin cos 2ρθρθ+=-， 所以曲线1C 的直角坐标方程为20x y ++=.
由cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩，得212sin sin x y θθ
⎧=-⎨=⎩，
所以曲线2C 的普通方程为212,[ 1.1]x y y =-∈-.
由220
12x y x y
++=⎧⎨
=-⎩，得
2230y y --=，
所以123
1,2
y y =-=（舍）， 所以11x =-，
所以曲线12C C ，的交点坐标为()1,1--. 【点睛】
本题考查极坐标方程与普通方程，参数方程与普通方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题. 18、 (1) AB 的中点的横坐标为2
3
；（2）证明见解析；（3）(2,2)- 【解析】
设1122(,),(,)A x y B x y .
（1）因为直线l 的倾斜角为45︒，(1,0)F ，所以直线AB 的方程为1y x =-，联立方程组22
112
y x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得2340x x -=，则121242
,323
x x x x ++==，
故线段AB 的中点的横坐标为
23
． （2）根据题意得点11(,)C x y -，
若直线AB 的斜率为0，则直线AB 的方程为0y =，A 、C 两点重合，显然M ，B ，C 三点共线； 若直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为1x my =+，
联立方程组22
112
x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得22(2)210m y my ++-=， 则121222
21
,22
m y y y y m m +=-=-++，设直线BM 、CM 的斜率分别为BM k 、CM k ， 则2121122112121222112121212
(2)(2)(1)(1)2()
22(2)(2)(1)(1)1()BM CM y y y x y x y my y my my y y y k k x x x x my my m y y m y y --+--+--+-=
-====-------++2
2
22
2222220
2122
m m m m m m m m -+++=+-
++，即BM k =CM k ，即M ，B ，C 三点共线．
（3）根据题意，得直线GH 的斜率存在，设该直线的方程为(2)y k x =-， 设003344(,),(,),(,)P x y G x y H x y ，
联立方程组22
12
(2)x y y k x =+=-⎧⎪
⎨⎪⎩，消去y 并整理，得2222(12)8820k x k x k +-+-=， 由4
2
2
644(12)(82)0k k k ∆=-+->，整理得2
1<2k ，又22343422
882
,1212k k x x x x k k -+==++，
所以34342
4(4)12k
y y k x x k +=+-=-+，
结合OG OH OP λ+=，得034034,x x x y y y λλ=+=+， 当0λ=时，该直线为x 轴，即0y =，
此时椭圆上任意一点P 都满足OG OH OP λ+=，此时符合题意；
当0λ
≠时，由OG OH OP λ+=，得202
021*******k x k k
y k λλ⎧=⋅⎪⎪+⎨-⎪=⋅⎪+⎩
，代入椭圆C 的方程，得42222222
32161(12)(12)k k k k λλ+=++，整理，得22
2
2
1616
1122k k k λ==
++， 再结合2
1<2
k ，得到20<<4λ，即(2,0)
(0,2)λ∈-，
综上，得到实数λ的取值范围是(2,2)-．
19、（1）极大值是(1)1f =，无极小值；（2）21
e
e λ=+ 【解析】
（1）当1a =时，可求得21
1
(2)()x x x x e f x e
----'=，令21()(2)x h x x x e -=--，利用导数可判断()h x 的单调性并得其零点，从而可得原函数的极值点及极大值；
（2）表示出()g x ，并求得21()(2)x g x x x a e -'=-++，由题意，得方程220x x a -++=有两个不同的实根1x ，212()x x x <，从而可得△440a =+>及122x x +=，由12x x <，得11<x ．则211()()x g x f x λ'可化为11111[2(1)]0x x x e e λ---+对任意的1(,1)x ∈-∞恒成立，按照10x =、1(0,1)x ∈、1(,0)x -∞∈三种情况分类讨论，分离参数λ后转化为求函数的最值可解决； 【详解】
（1）当1a =时，21
1
(2)()x x x x e f x e ----'=
. 令2
1
()2x h x x x e
-=--，则1
()22x h x x e
-=--'，显然()h x '
在上3(,2)4
单调递减，
又因为31()04
2h =
<'，故3(,2)4x ∈时，总有()0h x '<，所以()h x 在3
(,2)4
上单调递减. 由于(1)0h =，所以当3
(,1)4
x ∈时，()0h x >；当(1,2)x ∈时，()0h x <. 当x 变化时，()()f x f x '、的变化情况如下表：
所以()f x 在(,2)4
上的极大值是(1)1f =，无极小值. （2）由于2
1()()x
g x x a e
-=-，则21()(2)x g x x x a e -'=-++.由题意，方程220x x a -++=有两个不等实根12,x x ，则
440a ∆=+>，解得1a >-，且2112
221220202x x a x x a x x ⎧-++=⎪-++=⎨⎪+=⎩
，又12x x <，所以11<x .
由211()()x g x f x λ≤'，2
1()(2)x
f x x x e
a -=--'，可得1111222111()[(2)]x x x x a e x x e a λ---≤--
又221112,2x x a x x =-=-.将其代入上式得：111122
1111112(2)[(2)(2)]x x x x e x x e x x λ---≤-+-.
整理得1
1111[2(1)]0x x x e
e λ---+≤，即111111[2(1)]0,(,1)x x x e e x λ---+≤∀∈-∞
当10x =时，不等式11111[2(1)]0x x
x e e λ---+≤恒成立，即R λ∈.
当1(0,1)x ∈时，1
1
112(1)0x x e
e
λ---+≤恒成立，即111121x x e e λ--≥+，令1
1
112()1x x e k x e --=+，易证()k x 是R 上的减函数.因
此，当(0,1)x ∈时，2()(0)1e k x k e <=+，故21
e e λ≥
+. 当1(,0)x -∞∈时，1
1
112(1)0x x e
e
λ---+≥恒成立，即11
1121
x x e e λ--≤+，
因此，当(,0)x ∈-∞时，2()(0)1e k x k e >=+所以21
e
e λ≤
+. 综上所述，21
e
e λ=+. 【点睛】
本题考查利用导数求函数的最值、研究函数的极值等知识，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生综合运用知识分
析问题解决问题的能力，该题综合性强，难度大，对能力要求较高． 20、（1）2；（2）见解析 【解析】
（1）将222
23x y z ++化简为(
)()22
2
22x z
y
z +++，再利用基本不等式即可求出最小值为4，便可得出m 的值；
（2）根据22
2a b ab +≥，即()
()2
222a b a b +≥+，得出()2
22
2211142222
x y z x y z ++
≥++，利用基本不等式求出最值，便可得出m 的取值范围. 【详解】
解：（1）由题可知，x ，y ，z R ∈，()2z x y m +=
()()22222222322424x y z x z y z xz yz m ++=+++≥+==，
∴2m =.
（2）∵22
2a b ab +≥， ∴(
)()2
22
2a b
a b +≥+，
∴()()2
2
2
221111422212222
x y z x y z x y z ++
≥++≥⋅+≥， ∴1m ≥，即：1m ≤-或m 1≥. 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，利用基本不等式和放缩法求最值，考查化简计算能力. 21、（1）12
e =；（2）不存在，理由见解析 【解析】
（1）写出2,b A c a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，根据AD AB ⊥，斜率乘积为-1，建立等量关系求解离心率；
（2）写出直线AB 的方程，根据韦达定理求出点B 的坐标，计算出弦长AB ，根据垂直关系同理可得AC ，利用等
AB AC =即可得解. 【详解】
（1）由题可得2,b A c a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D .
点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,3b a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
AB AC ⊥即AD AB ⊥，
1AD AB
k k =-，222
131
0b b b a a a a c c a
--⋅=---
化简得：22230c ac a -+=， 即22310e e -+=，解得1
2
e =或1e =（舍去）， 所以12
e =
； （2）椭圆E 的方程为2
212
x y +=，
由（1
）可得1,,:22A AB y kx k ⎛=-+ ⎝⎭
，2k <-
联立2212
2x y y kx k +⎧=-+⎪⎪⎨=⎪⎪⎩得：(
)(
222
2212210k k x x k k +-+--=，
设B 的横坐标B x
，根据韦达定理1B x ⨯=，
即22
21
12B k x k --=+
，2
k <-，
所以1B A B ==-，
同理可得2
12121k AC k ⎫-+⎪⎝⎭==⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
+若存在k
AB AC =成立，
则=，
20k ++=，∆<0，此方程无解， 所以不存在k
AC =成立. 【点睛】
此题考查求椭圆离心率，根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题，关键在于熟练掌握解析几何常用方法，尤其是韦
达定理在解决解析几何问题中的应用.
22、（1）22
142
x y +=()0y ≠.（2）四边形OMDN 的面积是定值,
.
【解析】
（1）根据三角形内切圆的性质证得4CA CB AB +=>，由此判断出C 点的轨迹为椭圆，并由此求得曲线G 的方程. （2）将直线l 的斜率分成不存在或存在两种情况，求出平行四边形OMDN 的面积，两种情况下四边形OMDN 的面
，由此证得四边形OMDN 的面积为定值. 【详解】
（1）因为圆E 为△ABC 的内切圆,所以|CA |+|CB |=|CP |+|CQ |+|PA |+|QB |=2|CP |+|AR |+|BR |=2|CP |+|AB |=4>|AB | 所以点C 的轨迹为以点A 和点B 为焦点的椭圆（点C 不在x 轴上）, 所以
c =
a =2,
b =所以曲线G 的方程为22
142
x y +=()0y ≠,
（2）因为OM ON OD +=，故四边形OMDN 为平行四边形. 当直线l 的斜率不存在时，则四边形OMDN 为为菱形， 故直线MN 的方程为x =﹣1或x =1, 此时可求得四边形OMDN
. 当直线l 的斜率存在时,设直线l 方程是y =kx +m ,
代入到22
142x y +=,得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2﹣4=0,
∴x 1+x 22412km k -=+,x 1x 222
24
12m k
-=+,△=8(4k 2+2﹣m 2)>0, ∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m 2212m k =+,|MN
|2
12k
=+
点O 到直线MN 的距离
d =
,
由OM ON OD +=,得x D 2412km
k -=
+,y D
2
212m k =+， ∵点D 在曲线C 上,所以将D 点坐标代入椭圆方程得1+2k 2=2m 2, 由题意四边形OMDN 为平行四边形,
∴OMDN的面积为
S
2
12k
==
+
,
由1+2k2=2m2得
S=
故四边形OMDN的面积是定值,
.
【点睛】
本小题主要考查用定义法求轨迹方程，考查椭圆中四边形面积的计算，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，属于中档题.。