七年级上学期数学期中试卷及答案doc人教 (6)

七年级上学期数学期中试卷及答案doc 人教
一、选择题
1．16的平方根是（）．
A ．8
B ．4
C ．4±
D ．4-
2．在以下现象中，属于平移的是（ ）
①在荡秋千的小朋友的运动；②坐观光电梯上升的过程；③钟面上秒针的运动；④生产过程中传送带上的电视机的移动过程．
A ．①②
B ．②④
C ．②③
D ．③④
3．平面直角坐标系中有一点()2021,2022P -，则点P 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限 4．下列命题是假命题的是（ ）
A ．三角形三个内角的和等于180︒
B ．对顶角相等
C ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
5．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，∠3＝130°，则∠2等于（ ）
A ．30°
B ．25°
C ．35°
D ．40° 6．下列各式正确的是（ ） A ．42=± B ．2(2)4-= C ．224-= D ．382-= 7．如图所示，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a ，b 上，已知∠2=35°，则∠1的度数为（ ）
A ．45°
B ．125°
C ．55°
D ．35°
8．如图，在平面直角坐标系中，存在动点P 按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，点P 的坐标是（ ）
A ．(2022，1)
B ．(2021，0)
C ．(2021，1)
D ．(2021，2)
二、填空题
9．36的平方根是______，81的算术平方根是______．
10．若过点()()3,7,5M a N --、的直线与x 轴平行，则点M 关于y 轴的对称点的坐标是_________．
11．如图，AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，作PE ⊥AB 于点E ．若PE ＝2，则两平行线AD 与BC 间的距离为_____．
12．如图，已知a ∥b ，如果∠1＝70°，∠2＝35°，那么∠3＝_____度．
13．如图1是//AD BC 的一张纸条，按图示方式把这一纸条先沿EF 折叠并压平，再沿BF 折叠并压平，若图3中21CFE ∠=︒，则图2中AEF ∠的度数为______．
14．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b=
． 例如：(-3)☆2= 3232
2-++-- = 2．
从﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a ，b(a ≠b)的值，并计算a ☆b ，那么所有运算结果中的最大值是_____． 15．如图，点A(1，0)，B(2，0)，C 是y 轴上一点，且三角形ABC 的面积为2，则点C 的坐
标为_____．
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，每次移动1个单位长度，依次得到点P 1（0，1），P 2（1，1），P 3（1，0），P 4（1，﹣1），P 5（2，﹣1），P 6（2，0）⋯，则P 2020的坐标是___．
三、解答题
17．计算题
（1）122332-+-+-. （2）3314827
-+-； 18．求下列各式中的x 值 （1）x 2﹣614
= （2）12
(2x ﹣1)3=﹣4 19．完成下面的证明：
已知：如图， //AB CD ， CD 和BE 相交于点O ， DE 平分CDF ∠，DE 和BE 相交于点E ，2E ∠=∠．
求证：22B ∠=∠．
证明：2E ∠=∠（已知），
//BE DF ∴（______________），
CDF ∴∠=∠________（两直线平行，同位角相等）．
又//AB CD （已知），
B ∴∠=∠______（________）
B CDF ∴∠=∠（等量代换） ． DE 平分CDF ∠（已知） ，
2CDF ∴∠=∠_______（角平分线的定义）．
22B ∴∠=∠（_________）．
20．在图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：()0,3A ；()3,5B -；()3,5C --；()3,5D ；()5,7E ；
（1）A 点到原点O 的距离是________；
（2）将点B 向x 轴的负方向平移6个单位，则它与点________重合；
（3）连接BD ，则直线BD 与y 轴是什么关系？
（4）点E 分别到x 、y 轴的距离是多少？
21．对于实数a ，我们规定：用符号[
]表示不大于的最大整数，称[]为a 的根整数，例如：[
]＝3，[]＝3． （1）仿照以上方法计算：[]＝ ；[]＝ ． （2）若[
]＝1，写出满足题意的x 的整数值 ． （3）如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次[]＝3→[
]＝1，这时候结果为1．对145连续求根整数， 次之后结果为1． 22．求下图44⨯的方格中阴影部分正方形面积与边长．
23．已知直线AB //CD ，点P 、Q 分别在AB 、CD 上，如图所示，射线PB 按逆时针方向以每秒12°的速度旋转至PA 便立即回转，并不断往返旋转；射线QC 按逆时针方向每秒3°旋转
至QD停止，此时射线PB也停止旋转．
（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间10秒时，PB'与QC'的位置关系为；（2）若射线QC先转15秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为多少秒时，PB′//QC′．
24．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC＋∠B＋∠C的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程
解：过点A作ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝
又∵∠EAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°
解题反思：
从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B＋∠BCD＋∠D的度数．（提示：过点C作CF∥AB）
深化拓展：
（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，点B在点A的左侧，
∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．
【参考答案】
1．C
解析：C
【分析】
如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）．根据平方根的定义求解即可．
【详解】
解：(±4)2=16
∴16的平方根是±4．
故选C．
【点睛】
主要考查平方根的定义，牢记正数的两个平方根互为相反数是解答本题的关键．
2．B
【分析】
平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小．平移可以不是水平的．据此解答．
【详解】
解析：B
【分析】
平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小．平移可以不是水平的．据此解答．
【详解】
①在荡秋千的小朋友的运动，不是平移；
②坐观光电梯上升的过程，是平移；
③钟面上秒针的运动，不是平移；
④生产过程中传送带上的电视机的移动过程．是平移；
故选：B．
【点睛】
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转而误选．
3．D
【分析】
根据平面直角坐标系内各象限内点的坐标符号特征判定即可．
【详解】
解：根据平面直角坐标系内各象限内点的坐标符号特征可知：
()
P-在第四象限
2021,2022
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 4．D
【分析】
根据三角形内角和定理，对顶角的性质，平行线的判定和性质逐一判断即可.
【详解】
解：A 、三角形三个内角的和等于180°，故此说法正确，是真命题；
B 、对顶角相等，故此说法正确，是真命题；
C 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行两条，故此说法正确，是真命题；
D 、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故此说法错误，是假命题.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了命题的真假，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行判断求解. 5．B
【分析】
根据AB ∥CD ，∠3＝130°，求得∠GAB ＝∠3＝130°，利用平行线的性质求得∠BAE ＝180°﹣∠GAB ＝180°﹣130°＝50°，由∠1＝∠2 求出答案即可．
【详解】
解：∵AB ∥CD ，∠3＝130°，
∴∠GAB ＝∠3＝130°，
∵∠BAE +∠GAB ＝180°，
∴∠BAE ＝180°﹣∠GAB ＝180°﹣130°＝50°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝12∠BAE ＝1
2×50°＝25°．
故选：B ．
【点睛】
此题考查平行线的性质：两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，熟记性质定理是解题的关键．
6．B
【分析】
根据算术平方根的定义，立方根的定义以及平方根的定义逐一判断即可．
【详解】
解：2=，故本选项不合题意；
B.2(2)4-=，正确；
C.224-=-，故本选项不合题意；
D.382
-=-，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平方根，立方根以及算术平方根的定义，熟记相关定义是解题的关键．
7．C
【分析】
根据∠ACB=90°，∠2=35°求出∠3的度数，根据平行线的性质得出∠1=∠3，代入即可得出答案．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠2=35°，
∴∠3=180°-90°-35°=55°，
∵a∥b，
∴∠1=∠3=55°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，解此题的关键是求出∠3的度数和得出
∠1=∠3，题目比较典型，难度适中．
8．C
【分析】
观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0， (4)
个数一个循环，进而可得经过第2021次运动后，动点P的坐标．
【详解】
解：观察点的坐标变化可知：
第1次从原
解析：C
【分析】
观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0，…4个数一个循环，进而可得经过第2021次运动后，动点P的坐标．
【详解】
解：观察点的坐标变化可知：
第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次接着运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
…
按这样的运动规律，
发现每个点的横坐标与次数相等，
纵坐标是1，0，2，0；4个数一个循环，
所以2021÷4＝505…1，
所以经过第2021次运动后，
动点P 的坐标是（2021，1）．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了规律型−点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标变化寻找规律．
二、填空题
9．±6 9．
【解析】
∵(±6)2=36,
∴36的平方根是±6;
∵92=81,
∴81的算术平方根是9.
解析：±6 9．
【解析】
∵(±6)2=36,
∴36的平方根是±6;
∵92=81,
∴81的算术平方根是9.
10．【分析】
根据MN 与x 轴平行可以求得M 点坐标，进一步可以求得点M 关于y 轴的对称点的坐标．
【详解】
解：∵MN 与x 轴平行，∴两点纵坐标相同，∴a=-5，即M 为（-3，-5） ∴点M 关于y 轴的对
解析：()3,5-
【分析】
根据MN 与x 轴平行可以求得M 点坐标，进一步可以求得点M 关于y 轴的对称点的坐标．
【详解】
解：∵MN 与x 轴平行，∴两点纵坐标相同，∴a=-5，即M 为（-3，-5）
∴点M 关于y 轴的对称点的坐标为：（3，-5）
故答案为（3，-5）．
【点睛】
本题考查图形及图形变化的坐标表示，熟练掌握各种图形及图形变化的坐标特征是解题关键．
11．4
【分析】
根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．
【详解】
解：过点P作MN⊥AD，
∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线A
解析：4
【分析】
根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．【详解】
解：过点P作MN⊥AD，
∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，∴AP⊥BP，PN⊥BC，
∴PM=PE=2，PE=PN=2，
∴MN=2+2=4．
故答案为4．
12．75
【分析】
根据平行线的性质和的度数得到，再利用平角的性质可得的度数．
【详解】
解：如图：
，，
．
，
．
故答案为：75．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，解题的关键是注意掌握两直线平
解析：75
【分析】
∠的度数．
根据平行线的性质和1
∠，再利用平角的性质可得3
∠的度数得到4
【详解】
解：如图：
//
∠=︒，
a b，170
∴∠=∠=︒．
4170
235
∠=︒，
∴∠=︒-︒-︒=︒．
3180703575
故答案为：75．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．13．113°
【分析】
如图，设∠B′FE＝x，根据折叠的性质得∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，则∠BFC＝x−21°，再由第2次折叠得到∠C′FB＝∠BFC＝x−21°，于是利用平角定解析：113°
【分析】
如图，设∠B′FE＝x，根据折叠的性质得∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，则∠BFC＝
x−21°，再由第2次折叠得到∠C′FB＝∠BFC＝x−21°，于是利用平角定义可计算出x＝67°，接着根据平行线的性质得∠A′EF＝180°−∠B′FE＝113°，所以∠AEF＝113°．
【详解】
解：如图，设∠B′FE＝x，
∵纸条沿EF折叠，
∴∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，
∴∠BFC ＝∠BFE ﹣∠CFE ＝x ﹣21°，
∵纸条沿BF 折叠，
∴∠C′FB ＝∠BFC ＝x ﹣21°，
而∠B′FE +∠BFE +∠C′FE ＝180°，
∴x +x+x ﹣21°＝180°，解得x ＝67°，
∵A′D′∥B′C′，
∴∠A′EF ＝180°﹣∠B′FE ＝180°﹣67°＝113°，
∴∠AEF ＝113°．
故答案为113°．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是画出折叠前后得图形． 14．8
【解析】
解：当a ＞b 时，a ☆b= =a ，a 最大为8；
当a ＜b 时，a ☆b==b ，b 最大为8，故答案为：8．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 解析：8
【解析】
解：当a ＞b 时，a ☆b =
2a b a b ++- =a ，a 最大为8； 当a ＜b 时，a ☆b =2a b a b ++-=b ，b 最大为8，故答案为：8．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（0，4）或（0，-4）．
【分析】
设△ABC 边AB 上的高为h ，利用三角形的面积列式求出h ，再分点C 在y 轴正半轴与负半轴两种情况解答．
【详解】
解：设△ABC 边AB 上的高为h ，
∵A （1，0），
解析：（0，4）或（0，-4）．
【分析】
设△ABC 边AB 上的高为h ，利用三角形的面积列式求出h ，再分点C 在y 轴正半轴与负半轴两种情况解答．
【详解】
解：设△ABC 边AB 上的高为h ，
∵A （1，0），B （2，0），
∴AB=2-1=1，
∴△ABC的面积=1
2
×1•h=2，
解得h=4，
点C在y轴正半轴时，点C为（0，4），
点C在y轴负半轴时，点C为（0，-4），
所以，点C的坐标为（0，4）或（0，-4）．
故答案为：（0，4）或（0，-4）．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，求出AB边上的高的长度是解题的关键．16．（673，-1）
【分析】
先根据P6（2，0），P12（4，0），即可得到P6n（2n，0），P6n+4（2n+1，-1），再根据P6×336（2×336，0），可得P2016（672，0），进而
解析：（673，-1）
【分析】
先根据P6（2，0），P12（4，0），即可得到P6n（2n，0），P6n+4（2n+1，-1），再根据
P6×336（2×336，0），可得P2016（672，0），进而得到P2020（673，-1）．
【详解】
解：由图可得，P6（2，0），P12（4，0），…，P6n（2n，0），P6n+4（2n+1，-1），
∵2016÷6=336，
∴P6×336（2×336，0），即P2016（672，0），
∴P2020（673，-1）．
故答案为：（673，-1）．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标变化规律，解决问题的关键是根据图形的变化规律得到P6n（2n，0）．
三、解答题
17．（1）1；（2）.
【分析】
（1）先根据绝对值的性质去绝对值符号，再进行加减运算即可；
（2）先根据算术平方根、立方根的性质化简，再进行加减运算即可.
【详解】
解：（1）原式=；
（2）原式=.
解析：（1）1；（2）
1 3 .
【分析】
（1）先根据绝对值的性质去绝对值符号，再进行加减运算即可；（2）先根据算术平方根、立方根的性质化简，再进行加减运算即可.【详解】
解：（1）原式121；
（2）原式=
11 22
33 --=-.
【点睛】
本题考查绝对值、算术平方根、立方根的性质，熟练的掌握性质进行运算是解题的关键. 18．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据平方根的定义解答即可；
（2）根据立方根的定义解答即可．
【详解】
（1）x2﹣6，
移项得：，
开方得：x，
解得：；
（2）(2x﹣1)3=﹣4，
变形得：
解析：（1）
5
2
x=±；（2）1
2
x=-．
【分析】
（1）根据平方根的定义解答即可；（2）根据立方根的定义解答即可．【详解】
（1）x2﹣6
1
4 =，
移项得：2125
6
44
x=+=，
开方得：x=
解得：
5
2
x=±；
（2）1
2
(2x﹣1)3=﹣4，
变形得：(2x﹣1)3=﹣8，
开立方得：212
x-=-，∴2x=﹣1，
解得：12
x =-．
【点睛】
本题考查了立方根及平方根的应用，注意一个正数的平方根有两个，且互为相反数，一个数的立方根只有一个． 19．内错角相等，两直线平行；1；1；两直线平行，同位角相等；2；等量代换．
【分析】
由可判定，即得出，再根据得出，等量代换得到，再根据角平分线的定义等量代换即可得解．
【详解】
证明：（已知），
（内
解析：内错角相等，两直线平行；1；1；两直线平行，同位角相等；2；等量代换．
【分析】
由2E ∠=∠可判定//BE DF ，即得出1CDF ∠=∠，再根据//AB CD 得出1B ∠=∠，等量代换得到B CDF ∠=∠，再根据角平分线的定义等量代换即可得解．
【详解】
证明：2E ∠=∠（已知），
//BE DF ∴（内错角相等，两直线平行），
1CDF ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等）．
又//AB CD （已知），
1B ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等），
B CDF ∴∠=∠（等量代换）． DE 平分CDF ∠（已知），
22CDF ∴∠=∠（角平分线的定义）．
22B ∴∠=∠（等量代换）．
故答案为：内错角相等，两直线平行；1；1；两直线平行，同位角相等；2；等量代换．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟记“内错角相等，两直线平行”、“两直线平行，同位角相等”．
20．（1）3；（2）C ；（3）平行；（4）7，5
【分析】
先在平面直角坐标中描点．
（1）根据两点的距离公式可得A 点到原点O 的距离；
（2）找到点B 向x 轴的负方向平移6个单位的点即为所求；
（3）横坐
解析：（1）3；（2）C ；（3）平行；（4）7，5
先在平面直角坐标中描点．
（1）根据两点的距离公式可得A点到原点O的距离；
（2）找到点B向x轴的负方向平移6个单位的点即为所求；
（3）横坐标相同的两点所在的直线与y轴平行；
（4）点E分别到x、y轴的距离分别等于纵坐标和横坐标的绝对值．
【详解】
解：（1）∵A（0，3），
∴A点到原点O的距离是3；
（2）将点B向x轴的负方向平移6个单位，
则坐标为（-3，-5），与点C重合；
（3）如图，BD与y轴平行；
（4）∵E（5，7），
∴点E到x轴的距离是7，到y轴的距离是5．
【点睛】
本题考查了平面内点的坐标的概念、平移时点的坐标变化规律，及坐标轴上两点的距离公式．本题是综合题型，但难度不大．
21．（1）4；4；（2）1，2，3；（3）3
【解析】
【分析】
根据题中的新定义计算即可求出值．
【详解】
解：（1）仿照以上方法计算：[16]=4;[24]=4；
（2）若[x]＝1，写出满足题意的
解析：（1）4；4；（2）1，2，3；（3）3
【解析】
根据题中的新定义计算即可求出值．
【详解】
解：（1）仿照以上方法计算：；
（2）若[]＝1，写出满足题意的x的整数值1，2，3；
（3）对145连续求根整数，第1次之后结果为12，第2次之后结果为3，第3次之后结果为1．
故答案为：（1）4；4；（2）1，2，3；（3）3
【点睛】
考查了估算无理数的大小，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．22．8；
【分析】
用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8，然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可．
【详解】
解：正方形面积=4×4-4××2×2=8；
正方形的边
解析：8；22
【分析】
用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8，然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可．
【详解】
×2×2=8；
解：正方形面积=4×4-4×1
2
正方形的边长822
【点睛】
本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x 叫做a a
23．（1）PB′⊥QC′；（2）当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′
【分析】
（1）求出旋转10秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，设PB′与QC′交于O，过O作OE∥AB，根
解析：（1）PB′⊥QC′；（2）当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′【分析】
（1）求出旋转10秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，设PB′与QC′交于O，过O作OE∥AB，根据平行线的性质求得∠POE和∠QOE的度数，进而得结论；
（2）分三种情况：①当0＜t≤15时，②当15＜t≤30时，③当30＜t＜45时，根据平行
线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．
【详解】
解：（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝10°×12＝120°，∠CQC′＝3°×10=30°，
过O作OE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OE∥CD，
∴∠POE＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QOE＝∠CQC′＝30°，
∴∠POQ＝90°，
∴PB′⊥QC′，
故答案为：PB′⊥QC′；
（2）①当0＜t≤15时，如图，则∠BPB′＝12t°，∠CQC′＝45°+3t°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即12t＝45+3t，
解得，t＝5；
②当15＜t≤30时，如图，则∠APB′＝12t﹣180°，∠CQC'＝3t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，
即12t﹣180＝45+3t，
解得，t＝25；
③当30＜t≤45时，如图，则∠BPB′＝12t﹣360°，∠CQC′＝3t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，
即12t﹣360＝45+3t，
解得，t＝45；
综上，当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．
24．（1）∠DAC；（2）360°；（3）65°
【分析】
（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；
解析：（1）∠DAC；（2）360°；（3）65°
【分析】
（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数．
【详解】
解：（1）过点A作ED∥BC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠DCA，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180°．
故答案为：∠DAC；
（2）过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D=∠FCD，
∵CF∥AB，
∴∠B=∠BCF，
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，
∴∠B+∠BCD+∠D=360°；
（3）如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，
∴∠ABE=1
2∠ABC=30°，∠CDE=1
2
∠ADC=35°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．。