2021-2022学年湖南省长沙市长沙县九年级(上)期末数学试卷(附详解)

2021-2022学年湖南省长沙市长沙县九年级（上）期末数
学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.若关于x的方程(m−3)x2+x−m=0是一元二次方程，则m的取值范围是()
A. m≠3
B. m=3
C. m≥3
D. m≠0
2.下列说法正确的是()
A. 等弧所对的弦相等
B. 平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧
C. 相等的弦所对的圆心角相等
D. 相等的圆心角所对的弧相等
3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是
()
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
4.若⊙O的半径是5cm，点A在⊙O内，则OA的长可能是()
A. 2cm
B. 5cm
C. 6cm
D. 10cm
5.如图，已知AB//CD//EF，BD：DF=1：2，那么AC：AE的
值是()
A. 1
3
B. 1
2
C. 2
3
D. 2
6.由二次函数y=2(x−3)2+1，可知()
A. 其图象的开口向下
B. 其图象的对称轴为直线x=−3
C. 其最小值为1
D. 当x<3时，y随x的增大而增大
7.点A(x1,y1)，点B(x2,y2)，在反比例函数y=2
的图象上，且0<x1<x2，则()
x
A. y1<y2
B. y1>y2
C. y1=y2
D. 不能确定
8.如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是()
A. BC
DF =1
2
B. ∠A的度数
∠D的度数
=1
2
C. D.
9.已知x1，x2是一元二次方程x2−2x=0的两个实数根，下列结论错误的是()
A. x1≠x2
B. x12−2x1=0
C. x1+x2=2
D. x1⋅x2=2
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分如图
所示.已知图象经过点(−1,0)，其对称轴为直线x=1.下
列结论：
①abc<0；
②4a+2b+c<0；
③8a+c<0；
④若抛物线经过点(−3,n)，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c−n=0(a≠0)
的两根分别为−3，5．
上述结论中正确结论的个数为()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.一元二次方程2x2−3x−4=0根的判别式的值等于______．
12.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用
图画描绘了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2.已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是______米．
13.四边形ABCD内接于圆，若∠A=110°，则∠C=______度．
14.已知反比例函数y=m
x
的图象分布在第二、第四象限，则m的取值范围是______ ．15.如图，是用卡钳测量容器内径的示意图．量得卡钳上A，D两端点的
距离为4cm，AO
OC =DO
OB
=2
5
，则容器的内径BC的长为______cm．
16.如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米
时，水面宽度为4米；那么当水位上升1米后，水面
的宽度为______米．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17.解方程：
(1)2x2=x；
(2)x2+4x−5=0．
18.已知反比例函数y=k
x
的图象经过点(3,−2)，那么点(2,3)和点(−3,2)是否在这个函数的图象上？请说明理由．
19.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，求证：△ACD∽△CBD．
20.如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(0,4)，B(−4,4)，
C(−6,2)，请在网格图中进行如下操作：
(1)若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为______；
(2)连接AD、CD，则⊙D的半径长为______(结果保留根号)，∠ADC的度数为______；
(3)若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为______.(结果
保留根号)
21.2021年2月25日，中国向世界庄严宣告，中国脱贫攻坚战取得了全面胜利，中国创
造了又一个彪炳史册的人间奇迹．在脱贫过程中，某贫困户2018年家庭年人均纯收入3200元，通过政府的产业扶植，大力发展花木栽培，到2020年家庭年人均纯收入5000元，顺利实现脱贫．
(1)求该户居民2019年和2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
(2)若年平均增长率保持不变，预计2021年底，该户居民的家庭年人均纯收入能否
达到6000元，并说明理由．
22.已知二次函数y=−x2−2x−2．
(1)求出该函数图象的顶点坐标；
(2)试画出该函数的草图，并说明二次函数y=−x2−2x−2的图象是由y=−x2的
图象先向______平移______个单位，再向______平移______个单位得到；
(3)结合图象直接写出当y<0时，自变量x的取值范围．
23.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，
点D为⊙O上一点，且CD=CB、连接DO并延长交CB
的延长线于点E．
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；
(2)若BE=8，DE=16，求⊙O的半径．
24.如图：已知▱ABCD，过点A的直线交BC的延长线于E，交BD、CD于F、G．
(1)若AB=3，BC=4，CE=2，求CG的长；
(2)证明：AF2=FG×FE．
25.如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(−1,0)，B(3,0)两点，交y轴于点C(0,−3)，
点Q为线段BC上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求|QO|+|QA|的最小值；
(3)过点Q作PQ//AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△
PBQ面积分别为S1，S2，设S=S1+S2，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵关于x的方程(m−3)x2+x−m=0是一元二次方程，
∴m−3≠0，
解得：m≠3．
故选：A．
利用一元二次方程定义可得答案．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的二次项系数不为零．
2.【答案】A
【解析】解：A、正确．本选项符合题意．
B、错误．应该是平分弦(此弦分直径)的直径垂直弦并平分弦所对的弧，本选项符合题意．
C、错误，必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意．
D、错误．必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意．
故选：A．
根据垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．
本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3.【答案】B
【解析】解：连接OB，
∵多边形ABCDEF是正多边形，
∴∠AOB=360°
6
=60°，
∴∠ADB=1
2∠AOB=1
2
×60°=30°．
故选：B．
连接OB，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB 的度数．
本题考查的是正多边形和圆及圆周角定理，根据题意作出辅助线构造出圆心角是解答此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵点A在⊙O内，且⊙O的半径是5cm，
∴OA<5cm，
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．
本题考查了点与圆的位置关系．熟记点与圆位置关系与数量关系的对应是解题关键，由位置关系可推得数量关系，同样由数量关系也可推得位置关系．
5.【答案】A
【解析】解：∵AB//CD//EF，
∴AC
CE =BD
DF
=1
2
，
∴AC：AE=1
3
，
故选：A．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．6.【答案】C
【解析】解：由二次函数y=2(x−3)2+1，可知：
A：∵a>0，其图象的开口向上，故此选项错误；
B.∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；
C.其最小值为1，故此选项正确；
D.当x<3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．
故选：C．
根据二次函数的性质，直接根据a的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可．
此题主要考查了二次函数的性质，同学们应根据题意熟练地应用二次函数性质，这是中考中考查重点知识．
7.【答案】B
【解析】解：∵y=2
x
中2>0，
∴函数的图象在第一、三象限，并且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A(x1,y1)，点B(x2,y2)，在反比例函数y=2
x
的图象上，且0<x1<x2，
∴y1>y2，
故选：B．
根据函数的解析式得出函数的图象在第一、三象限，并且在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据两点的坐标得出答案即可．
本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，
∴BC
EF =1
2
，A不一定成立；
∠A的度数
∠D的度数
=1，B不成立；
，C不成立；
，D成立，
故选：D．
根据相似三角形的性质判断即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等、相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方是
解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵Δ=(−2)2−4×1×0=4>0，
∴x1≠x2，选项A不符合题意；
∵x1是一元二次方程x2−2x=0的实数根，
∴x12−2x1=0，选项B不符合题意；
∵x1，x2是一元二次方程x2−2x=0的两个实数根，
∴x1+x2=2，x1⋅x2=0，选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
由根的判别式Δ=4>0，可得出x1≠x2，选项A不符合题意；将x1代入一元二次方程x2−2x=0中可得出x12−2x1=0，选项B不符合题意；利用根与系数的关系，可得出x1+x2=2，x1⋅x2=0，进而可得出选项C不符合题意，选项D符合题意．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．10.【答案】C
【解析】解：∵抛物线的开口向下，
∴a<0．
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c>0．
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴−b
=1，
2a
∴b=−2a，b>0．
∵抛物线经过点(−1,0)，
∴a−b+c=0．
①∵a<0，b>0，c>0，
∴abc<0．
故①正确；
②∵b=−2a，
∴4a+2b+c=4a+2×(−2a)+c=4a−4a+c=c>0．
故②错误；
③∵a−b+c=0，
∴a−(−2a)+c=0，即3a+c=0．
∴8a+c=3a+c+5a=5a<0．
故③正确；
④∵抛物线经过点(−3,n)，其对称轴为直线x=1，
∴根据对称性，抛物线必经过点(5,n)，
∴当y=n时，x=−3或5．
∵y=ax2+bx+c(a≠0)，
∴当ax2+bx+c=n(a≠0)时，x=−3或5．
即关于x的一元二次方程ax2+bx+c−n=0(a≠0)的两根分别为−3，5．
故④正确；
综上，正确的结论有：①③④．
故选：C．
=1，c>0，a−b+c=0，利用上述条件进行适当变由已知条件得出：a<0，−b
2a
形，再结合二次函数图象的性质对每个结论进行逐一分析，得出正确选项．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法，二次函数图象与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标的特征．利用图象求出a，b，c的范围，以及将特殊值的代入得到特殊的式子是解题的关键．
11.【答案】41
【解析】解：依题意，一元二次方程2x2−3x−4=0，a=2，b=−3，c=−4，
∴根的判别式为：Δ=b2−4ac=(−3)2−4×2×(−4)=41，
故答案为：41．
一元二次方程的根判别式为：Δ=b2−4ac，代入计算即可．
此题主要考查一元二次方程的根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与根的判别式：Δ=b2−4ac，有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．
12.【答案】(4−√7)
【解析】解：连接OA、OC，OC交AB于D，
由题意得：OA=OC=4米，OC⊥AB，
AB=3(米)，∠ADO=90°，
∴AD=BD=1
2
∴OD=√OA2−AD2=√42−32=√7(米)，
∴CD=OC−OD=(4−√7)米，
即点C到弦AB所在直线的距离是(4−√7)米，
故答案为：(4−√7).
AB=3(米)，再由勾股定理得连接OA、OC，OC交AB于D，由垂径定理得AD=BD=1
2
OD=√7(米)，然后求出CD的长即可．
本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
13.【答案】70
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=110°，
∴∠C=70°，
故答案为：70．
根据圆内接四边形的性质计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．14.【答案】m<0
图像在第二、四象限，
【解析】∵反比例函数y=m
x
∴m<0
根据反比例函数的性质，结合图像所在的象限，求出m的取值范围．
本题考查了反比例函数的性质，关键是根据图像所在的象限得到m的取值范围．
15.【答案】10
【解析】解：如图，连接AD，BC，
∵AO
OC =DO
OB
=2
5
，∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴AD
BC =AO
CO
=2
5
，
又AD=4cm，
∴BC=5
2
AD=10cm．
故答案是：10cm．
依题意得：△AOD∽△BOC，则其对应边成比例，由此求得BC的长度．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．
利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
16.【答案】2√2
【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线解析式为y=ax2+c，
把(2,0)和(2,0)代入得，
{c=2
4a+c=0，
解得：a=−1
2
，c=2，
∴抛物线解析式为y=−1
2
x2+2，
把y=1代入得：x=±√2，
则水面的宽度是2√2米．
故答案为：2√2．
根据题意设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可．
此题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
17.【答案】解：(1)2x2=x，
2x2−x=0，
x(2x−1)=0，
∴x=0或2x−1=0，
∴x1=0，x2=1
2
；
(2)x2+4x−5=0，
(x−1)(x+5)=0，
∴x−1=0或x+5=0，
∴x1=1，x2=−5．
【解析】(1)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；(2)分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
18.【答案】解：把(3,−2)代入反比例函数y=k
x
(k≠0)中得：k=3×(−2)=−6，
∴反比例函数解析式为y=−6
x
，
把x=2代入反比例函数解析式y=−6
x =−6
2
=−3≠3，
把x=−3代入反比例函数解析式y=−6
x =−6
−3
=2，
所以点(2,3)不在这个函数的图象上，点(−3,2)在这个函数的图象上．
【解析】首先利用待定系数法求出反比例函数解析式．然后利用解析式算出当x=−1，x=3时，函数的值即可判断．
此题主要考查了待定系数法求反比例函数，关键是掌握凡是反比例函数图象经过的点，
都能满足解析式．
19.【答案】证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
【解析】根据垂直的定义得到∠ADC=∠BDC=90°，根据余角的性质得到∠A=∠BCD，由相似三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
20.【答案】(−2,0)2√590°√5π
【解析】解：(1)分别作AB、BC的垂直平分线，两
直线交于点D，
则点D即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点D的坐标为(−2,0)，
故答案为：(−2,0)；
(2)圆D的半径长=√22+42=2√5，
AC=√62+22=2√10，
∴AD2+CD2=20+20=40=AC2，
∴∠ADC=90°，
故答案为：2√5；90°；
(3)由题意可得，该圆锥的底面圆的周长为90π×2√5
=√5π.
180
故答案为：√5π．
(1)根据线段垂直平分线的性质得出D点位置，结合图形得到点D的坐标；
(2)利用点的坐标结合勾股定理得出⊙D的半径长，根据勾股定理的逆定理∠ADC的度数；
(3)利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案．
本题考查的是圆锥的计算、勾股定理及其逆定理，掌握弧长公式、正确理解圆锥的侧面
展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
21.【答案】解：(1)设该户居民2019年和2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，依题意得：3200(1+x)2=5000，
解得：x1=0.25=25%，x2=−2.25(不合题意，舍去)．
答：该户居民2019年和2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为25%．
(2)2021年底，该户居民年人均纯收入能达到6000元，理由如下：
5000×(1+25%)=6250(元)，
∵6250>6000，
∴2021年底，该户居民年人均纯收入能达到6000元．
【解析】(1)设该户居民2019年和2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，利用该户居民2020年家庭年人均纯收入=该户居民2018年家庭年人均纯收入×(1+家庭年人均纯收入的年平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)利用该户居民2021年家庭年人均纯收入=该户居民2020年家庭年人均纯收入×(1+家庭年人均纯收入的年平均增长率)，可预计出2021年底该户居民的家庭年人均纯收入，将其与6000元比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据各数量之间的关系，列式计算．
22.【答案】左1下1
【解析】解：(1)∵y=−x2−2x−2=−(x+1)2−1，
∴该函数图象的顶点坐标为(−1,−1)；
(2)画出该函数的草图如下：
二次函数y=−x2−2x−2的图象是由y=−x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到；
故答案为：左，1；下，1；
(3)观察图象可知：当y<0时，自变量x的取值范围为全体实数．
(1)将函数解析式化为顶点式求解顶点坐标；
(2)由题意画出图象，根据抛物线的平移规律可得出答案；
(3)通过观察抛物线在x轴下方的x取值范围求解．
本题考查二次函数的性质，抛物线的平移，二次函数与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
23.【答案】解：(1)相切，理由如下，
如图，连接OC，
在△OCB与△OCD中，
{CB=CD CO=CO OB=OD
，
∴△OCB≌△OCD(SSS)，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
(2)设⊙O的半径为r，
在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，∴(16−r)2=r2+82，
∴r=6，
∴⊙O的半径为6．
【解析】(1)欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
(2)设⊙O的半径为r，在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得(16−r)2=r2+82，推出r=6，即可解决问题．
本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
24.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴△EGC∽△EAB，
∴CG
AB =EC
EB
，即CG
3
=2
2+4
，
解得，CG=1；(2)证明：∴AB//CD，∴△DFG∽△BFA，
∴FG
FA =DF
FB
，
∴AD//CB，
∴△AFD∽△EFB，
∴AF
FE =DF
FB
，
∴FG
FA =AF
FE
，即AF2=FG×FE．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AB//CD，证明△EGC∽△EAB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可；
(2)分别证明△DFG∽△BFA，△AFD∽△EFB，根据相似三角形的性质证明．
本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵抛物线交x轴于A(−1,0)，B(3,0)两点，
∴设y=a(x+1)(x−3)，将C(0,−3)代入，
得：−3a=−3，
解得：a=1，
∴y =(x +1)(x −3)=x 2−2x −3， ∴抛物线的解析式为y =x 2−2x −3；
(2)如图1，作点O 关于直线BC 的对称点O′，连接AO′，QO′，CO′，BO′，
∵OB =OC =3，∠BOC =90°，
∴∠BCO =45°，
∵O 、O′关于直线BC 对称，
∴BC 垂直平分OO′，
∴OO′垂直平分BC ，
∴四边形BOCO′是正方形，
∴O′(3,−3)，
在Rt △ABO′中，|AO′|=√AB 2+O′B 2=√42+32=5， ∵|QA|+|QO′|≥|AO′|，|QO′|=|QO|， ∴|QO|+|QA|=|QA|+|QO′|≥|AO′|=5，即点Q 位于直线AO′与直线BC 交点时，|QO|+|QA|有最小值5；
(3)设直线BC 的解析式为y =kx +d ， ∵B(3,0)，C(0,−3)，
∴{3k +d =0d =−3
， 解得：{k =1d =−3
， ∴直线BC 的解析式为y =x −3，
设直线AC 的解析式为y =mx +n ，
∵A(−1,0)，C(0,−3)，
∴{−m +n =0n =−3
， 解得：{m =−3n =−3
， ∴直线AC 的解析式为y =−3x −3，
∵PQ//AC ，
∴直线PQ 的解析式可设为y =−3x +b ， 由(1)可设P(m,m 2−2m −3)，代入直线PQ 的解析式， 得：m 2−2m −3=−3m +b ，
第21页，共21页 解得：b =m 2+m −3，
∴直线PQ 的解析式为y =−3x +m 2+m −3，
联立方程组，得：{y =x −3y =−3x +m 2+m −3
， 解得：{x =m 2+m 4y =m 2+m−124， ∴Q(m 2+m 4,m 2+m−124)，
由题意：S =S △PAQ +S △PBQ =S △PAB −S △QAB ，
∵P ，Q 都在第四象限，
∴P ，Q 的纵坐标均为负数，
∴S =12|AB|⋅(−m 2+2m +3)−12|AB|⋅(−
m 2+m−124)=−32m 2+92m =−32(m −32)2+278，
由题意，得0<m <3，
∴m =32时，S 最大，
即P(32,−154)时，S 有最大值278．
【解析】(1)运用待定系数法设y =a(x +1)(x −3)，将C(0,−3)代入，即可求得答案；
(2)如图1，作点O 关于直线BC 的对称点O′，连接AO′，QO′，CO′，BO′，由O 、O′关于直线BC 对称，得出四边形BOCO′是正方形，根据|QA|+|QO′|≥|AO′|，|QO′|=|QO|，得出答案；
(3)运用待定系数法求出直线BC 、AC 、PQ 的解析式，设P(m,m 2−2m −3)，联立方程
组，得：{y =x −3y =−3x +m 2+m −3
，求得Q(m 2+m 4,m 2+m−124)，再运用三角形面积公式求得答案．
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，将军饮马的最值问题，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识，运用数形结合思想是解题关键．。