正态总体参数的区间估计

第19讲 正态总体参数的区间估计
教学目的：理解区间估计的概念，掌握各种条件下对一个正态总体的均值和方差进行
区间估计的方法。

教学重点：置信区间的确定。

教学难点：对置信区间的理解。

教学时数： 2学时。

教学过程：
第六章 参数估计
§6.3正态总体参数的区间估计
1. 区间估计的概念
我们已经讨论了参数的点估计，但是对于一个估计量，人们在测量或计算时，常不以得到近似值为满足，还需估计误差，即要求知道近似值的精确程度。

因此，对于未知参数θ，除了求出它的点估计ˆθ外，我们还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围包含参数θ真值的可信程度。

设ˆθ为未知参数θ的估计量，其误差小于某个正数ε的概率为1(01)αα-<<，即
ˆ{||}1P θ
θεα-<=- 或
αεθθεθ
-=+<<-1)ˆˆ(P 这表明，随机区间)ˆ,ˆ(εθεθ
+-包含参数θ真值的概率（可信程度）为1α-，则这个区间)ˆ,ˆ(εθεθ
+-就称为置信区间，1α-称为置信水平。

定义 设总体X 的分布中含有一个未知参数θ。

若对于给定的概率1(01)αα-<<，存在两个统计量1112(,,
,)n X X X θθ=与2212(,,,)n X X X θθ=，使得
12{}1P θθθα<<=-
则随机区间12(,)θθ称为参数θ的置信水平为1α-的置信区间，1θ称为置信下限，2θ称为置信上限，1α-称为置信水平。

注（1）置信区间的含义：若反复抽样多次（各次的样本容量相等，均为n ），每一组样本值确定一个区间12(,)θθ，每个这样的区间要么包含θ的真值，要么不包含θ的真值。

按伯努利大数定理，在这么多的区间中，包含θ真值的约占100(1)%α-，不包含θ真值的约仅占100%α。

例如：若0.01α=，反复抽样1000次，则得到的1000个区间中，不包含θ真值的约为10个。

（2）置信区间的长度表示估计结果的精确性，而置信水平表示估计结果的可靠性。

对于置信水平为1α-的置信区间12(,)θθ，一方面置信水平1α-越大，估计的可靠性越高；另一方面区间12(,)θθ的长度(2)ε越小，估计的精确性越好。

但这两方面通常是矛盾的，提高可靠性通常会使精确性下降（区间长度变大），而提高精确性通常会使可靠性下降（1α-变小），所以要找两方面的平衡点。

在学习区间估计方法之前，我们先介绍标准正态分布的α分位点概念。

设
()
~0,1X N ，若
z α
满足条件
{
},
01
P X
z α
αα>=<<，则称点z α为标准正态分布的α分位点。

例如求0.01z 。

按照α分位点定义，我们有
{}0.010.01P X z >=，则{}0.010.99P X z ≤=，即0.01()0.99z φ=。

查表可得0.01 2.327z =. 又由()x ϕ图形的对称性知1z z αα-=-。

下面列出了几个常用的z α值：
2. 正态总体均值μ的区间估计
设已给定置信水平为1α-，总体()2~,X N μσ，12,,,n X X X 为一个样本，2
,X S 分别是样本均值和样本方差。

（1）2σ已知时，μ的置信区间 我们知道X 是μ的无偏估计，
X ()~0,1N 。

由标准正态分布的上α分位点的定义，有
/21P z αα⎫<=-⎬⎭
即
/2/21P X z X z ααμα⎧⎫
<<+=-⎨⎬⎩⎭
这样，我们就得到了μ的一个置信水平为1α-的置信区间
/2/2,X z X z αα⎛⎫
⎪⎝⎭
这样的置信区间常写成
/2X z α⎛⎫
⎪⎝⎭
例1 从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠的直径（单位：mm ）如下：
14.6 15.0 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8 若滚珠直径服从正态分布2(,)N μσ，并且已知0.16σ=（mm ），求滚珠直径均值μ的置信水平为95%的置信区间。

解 计算样本均值14.92x =，置信水平1α-=0.95，0.05α=，查表得/20.025 1.96z z α==（可利用()z t αα=∞查表）。

由此得μ的置信水平为95%的置信区间为
/214.92 1.96X z α⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即
()14.920.099, 14.920.099(14.821, 15.019)-+=
注：置信水平为1α-的置信区间并不是唯一的。

以例1来说，给定0.05α=，则又
有
0.040.010.95X P z z ⎧⎫-<<=⎨⎬⎩⎭
故
0.010.04,X z X z ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
也是μ的置信水平为95%的置信区间，
0.040.01) 4.08z z +=。

而在
对称区间
0.05X z ⎛⎫
⎪⎝⎭上，区间长度为2 3.92=比非对称区间长度要短，较优。

易知，像(0,1)N 分布那样其概率密度的图形是单峰且对称的情况，当n 固定时，以对称区间其长度为最短，我们选用对称区间。

（2）2σ未知时，μ的置信区间
此时不能使用
/2X z α⎛⎫
⎪⎝⎭
，
因为其中包含了未知参数σ。

考虑到2S 是2σ的无偏估计，将上述
区间中的σ换成S =。

我们已知统计量
X ~(1)t n -，可得
/2/2(1)(1)1X P t n t n ααα⎧⎫--<<-=-⎨⎬⎩⎭
即
/2/2(1)(1)1P X n X n ααμα⎧⎫
-<<-=-⎨⎬⎩⎭
于是得到μ的一个置信水平为1α-的置信区间
/2(1)X n α⎛⎫
- ⎪⎝⎭
例2 在例1中，若未知σ，求滚珠直径均值μ的置信水平为95%的置信区间。

解 计算样本均值14.92x =，样本标准差0.193s =；置信水平1α-=0.95，0.05α=，自由度11019n -=-=，查表得/20.025(1)(9) 2.26t n t α-==。

由此得μ的置信水平为95%的置信区间为
/2(1)14.92 2.26X n α⎛⎫⎛⎫
-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即
(14.92-0.138，14.92+0.138)=(14.782，15.058)
注 比较例1和例2中μ的置信区间，可以发现当2σ未知时，μ的置信区间区间长度要比2σ已知时的置信区间区间长度大，这表明当未知条件增多时，估计的精确程度变差，这也符合我们的直观感觉。

3. 正态总体方差2σ的区间估计
（1）μ已知时，2σ的置信区间 已知
22
1
1
()n
i
i X
μσ=-∑2~()n χ 但是2χ分布的概率密度图形不是对称的，对于已给
的置信水平1α-，要想找到最短的置信区间是困难的。

因此，习惯上仍然取对称的分
位点21/2αχ-和2
/2αχ可得
2221/2/2211()()()1n i i P n X n ααχμχασ-=⎧⎫<-<=-⎨⎬⎩⎭∑
即
22211
22
/21/2()()1()()n n
i i i i X X P n n ααμμσαχχ==-⎧⎫--⎪⎪⎪⎪<<=-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭
∑∑ 于是得到方差2σ的一个置信水平为1α-的置信区间
2211
22
/21/2()(), ()
()n n i i i i X X n n ααμμχχ==-⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
∑∑ 例3 在例1中，若已知14.9μ=（mm ），求滚珠直径方差2σ的置信水平为95%的置信区间。

解 已知14.9μ=，置信水平1α-=0.95，0.05α=，自由度10n =，查表得
22/20.025()(10)20.5n αχχ==，221/20.975()(10) 3.25n αχχ-==。

则方差2σ的置信水平为95%的置信区间为
1010
22221111
22
/21/2()()(14.9)(14.9), , ()()20.5 3.25n n i i i i i i i i X X x x n n ααμμχχ====-⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑∑ 即
0.340.34, (0.0166, 0.1046)20.5 3.25⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（2）μ未知时，2σ的置信区间
2σ的无偏估计为2
S ，且统计量
2
2
(1)n S σ
-2~(1)n χ-。

选取分位点21/2αχ-和2
/2αχ可得
222
1/2/22
(1)(1)(1)1n S P n n ααχχασ-⎧⎫--<<-=-⎨⎬⎩⎭ 即
222
22/21/2(1)(1)1(1)(1)n S n S P n n αασαχχ-⎧⎫--<<=-⎨⎬--⎩⎭
于是得到方差2σ的一个置信水平为1α-的置信区间
2222/21/2(1)(1), (1)(1)n S n S n n ααχχ-⎛⎫
-- ⎪--⎝⎭
由此，我们还可以得到标准差σ的一个置信水平为1α-的置信区间
= 注 在实际问题中，对2σ做估计的时候，一般均是μ未知的情况。

因此，我们重点掌握μ未知条件下求2σ的置信区间问题。

例4 在例1中，若未知μ，求滚珠直径方差2σ的置信水平为95%的置信区间。

解 μ未知，计算样本方差20.0373s =，置信水平1α-=0.95，0.05α=，自由度
19n -=，查表可得22/20.025(1)(9)19.0n αχχ-==，22
1/20.975(1)(9) 2.70n αχχ--==。

则方差2σ的置信水平为95%的置信区间为
2222/21/2(1)(1)90.037390.0373, , (1)(1)19.0 2.70n S n S n n ααχχ-⎛⎫--⨯⨯⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
即
(0.0177，0.1243)。