重庆市沙坪坝区第八中学校2022-2023学年九年级下学期4月月考数学试题(解析版)

4月2日定时练习
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1.多项式223x x --的一次项系数是（
）A.2x
- B.2- C.2x D.2
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用及多项式的项的定义分析得出答案．
【详解】解：多项式223x x --的一次项系数是2-，
故选：B ．
【点睛】此题主要考查了多项式，正确把握相关定义是解题关键．
2.下列图形中，属于轴对称图形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义解答：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：根据轴对称图形的定义可得，
选项A 、C 、D 均不是轴对称图形，选项B 是轴对称图形，
故选：B ．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
3.
x 可取的值是（）
A.4
B.π
C.1-
D.3
【答案】C
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可求解x 的取值范围，进而可求解．
【详解】解：由题意得20x -≥，
解得2x ≤，
∴在4，π，1-，3中实数x 可取的值是1-，
故选：C ．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
4.要在墙上钉牢一根木条，至少要钉两颗钉子．能正确解释这一现象的数学知识是（
）A.两点之间，线段最短
B.经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.垂线段最短
D.两点确定一条直线
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线进行解答即可．
【详解】解：在墙上要钉牢一根木条，至少要钉两颗钉子，
能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线，
故A ，B ，C 不符合题意，D 符合题意．
故选：D ．
【点睛】本题考查的是直线的性质，掌握两点确定一条直线的实际应用是解题的关键．5.如图，AOB 与CDB △关于点B 位似，其中()1,1B ，()44D ,，则AOB 与CDB △的面积之比是（）
A.1:4
B.1:3
C.1:16
D.1:9
【答案】D
【解析】【分析】根据两点之间的距离，得出OB 和BD 的长，再根据三角形位似，得出相似比，再根据面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】∵()1,1B ，()44D ,
，
∴OB ==BD ==，
∵AOB 与CDB △关于点B 位似，且相似比为:1:3
OB BD ==∴AOB 与CDB △的面积比为1:9，
故选：D ．
【点睛】本题考查了两点之间的距离、位似三角形的性质，熟练掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6.已知关于x 、y 的二元一次方程mx n y -=，下表列出了当x 分别取值时对应的y 值．则关于x 的不等式2mx n -≤的解集为（
）x …
2--10123…y …32101-2
-…A.1
x <- B.1x ≤- C.1x ≥- D.1
x >-【答案】C
【解析】【分析】根据表格选取两对值代入二元一次方程组成方程组，解方程组得不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得：01m n n -=⎧⎨-=⎩，解得：11
m n =-⎧⎨=-⎩，则不等式为：()12x ---≤，
解得：1x ≥-，
故选：C ．
【点睛】本题考查表格信息，会利用表格信息确定方程组，会解方程组，会解一元一次不等式是解题关键．7.如图，四边形ABCD 为一矩形纸带，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，将纸带沿EF 折叠，点A 、D 的对应点分别为A '、D ¢，若2α∠=，则1∠的度数为（）
A.2α
B.90α︒-
C.1903α︒-
D.1902
α︒-【答案】D
【解析】【分析】先由折叠可得：AEF A EF '∠=∠，则()1118029022
AEF α∠=︒-∠=︒-，再根据矩形得AB CD ∥，即可由平行线的性质求解．
【详解】解：由折叠可得：AEF
A EF '∠=∠，∴()1118029022
AEF α∠=︒-∠=︒-，∵矩形ABCD ，
∴AB CD ∥，∴11902
AEF α∠=∠=︒-，
故选：D ．
【点睛】本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质和平行线的性质是解题的关键．8.如图，两个相同的某种杯子叠放在一起的高度为13cm ，三个该种杯子叠放的高度是16cm ，四个该种杯子叠放的高度是19cm ，那么8个该种杯子叠放在一起高度为（）
A.31cm
B.28cm
C.34cm
D.24cm
【答案】A
【解析】【分析】根据题目中的图形，可知每增加一个杯子，高度增加3cm ，从而可以得到只1个杯子的高度，继而得到8个杯子叠在一起的高度．
【详解】解：由图可得，
每增加一个杯子，高度增加3cm ，
所以只1个杯子的高度是()13310cm -=，
则8个这样的杯子叠放在一起高度是：()()1038131cm +⨯-=，
故选：A ．
【点睛】本题考查图形规律探究，解答本题的关键是根据题目中的图形，得出每增加一个杯子，高度增加3cm ．
9.如图，AB 是O 的弦，且直径6AC =，3BD =，AC BD ⊥，
11802
AOD EDB ∠+∠=︒．则DE 的长度为（）
A.3
B.4
C.
D.【答案】C
【解析】【分析】由题意可得3OD OB BD ===，BOD 为等边三角形，利用等边三角形的性质可求得
75ABD ∠=︒，由圆周角定理可得12
ABD AOD ∠=∠，进而可知180ABD EDB ∠+∠=︒，可求得45ODE ∠=︒，进而可知DOE 为等腰直角三角形，即可得DE ==
．
【详解】解：连接OB ，OE ，
∵直径6AC =，3BD =，AC BD ⊥，
∴3OD OB BD ===，则BOD 为等边三角形，即：60BOD OBD ODB ∠=∠=∠=︒，
∴OC 平分BOD ∠，∴1302
BOC BOD A ABO ∠=∠=︒=∠+∠，又∵OA OB =，
∴A ABO ∠=∠，则15ABO ∠=︒，
∴75ABD ABO OBC ∠=∠+∠=︒由圆周角定理可得：12
ABD AOD ∠=∠，∵11802
AOD EDB ∠+∠=︒，
∴180ABD EDB ∠+∠=︒，即：180ABD ODE ODB ∠+∠+∠=︒，
∴45ODE ∠=︒，
又∵OE OD =，
∴45ODE OED ∠=∠=︒，即DOE 为等腰直角三角形，
∴DE =
=故选：C ．
【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定及性质，等腰三角形，直角三角形的性质．熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
10.代数式ac bd ce M c
+-=中的所有字母均不为零．我们把a 、b 、c 、d 、e 中的某两个字母变为其相反数后再将这两个相反数对调位置，称为第一次“相反变换”，得到代数式1M ，将1M 中的某两个字母变为其相反数后再将这两个相反数对调位置，称为第二次“相反变换”，得到2M ，……．例如：对M 中的a 、b 进行一次“相反变换”，记为(),a b 相反变换，得到1bc ad ce M c
---=
，其中(),a b 相反变换和(),b a 相反变换为相同的变换．下列说法正确的个数为（）①M 在顺次进行(),a c ，(),b d ，(),a d 三次相反变换后，得3dc de ad M d
++=；②若对M 进行(),a b 相反变换或(),a d 相反变换后，得到相同的1M ，则b d =；
③存在经过四次不同的相反变换后，4M M =．
A.0
B.1
C.2
D.3【答案】B
【解析】
【分析】根据“相反变换”的定义逐步变换即可判定①；根据“相反变换”的定义逐步变换后，由1M 相同得到方程，求解即可判定②；根据()ac bd ce bd M a c c c +-==-+可知，(),a c 相反变换M 不变，bd c 中若分子与分母中一个字母进行相反变换，符号不变，因此只要顺次进行(),b c ，(),b d ，(),b c 三次变换即可得到bd c
，据此可判定③．【详解】解：∵(),a c 相反变换，
∴1ac bd ae M a
++=-，又(),b d 相反变换，∴2ac db ae
M a
++=-再(),a d 相反变换，∴3dc ab de dc ab de M d d
---++=≠，故①错误；
∵(),a b 相反变换，得到1bc ad ce
M c
---=(),a d 相反变换，得到1dc ab ce M c ---=，∴bc ad ce dc ab ce c c
------=∴0
dc ab bc ad +--=()()0
c a
d b --=∴c a =或d b =；
故②错误；
第一次(),a e 相反变换，得到1M c =
，第二次(),c d 相反变换，得到2de bc ad M d
--=-第三次(),b d 相反变换，得到3be dc ab M b -++=第四次(),b c 相反变换，得到4ce bd ac ac bd ce M M c c --+-===-故③正确，
∴正确的有③，共1个，
故选：B ．
【点睛】本题考查新定义，分式运算，因式分解应用，理解和灵活运用新定义是解题的关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11.计算：0
2cos 30
-︒=________．
【答案】
14
【解析】【分析】先根据零指数幂计算并把特殊角三角函数值代入，再计算乘方，最后计算加减即可．
【详解】解：原式2
12⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
314
=-14=，故答案为：14
．【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握特殊角三角函数值与零指数幂运算法则是解题的关键．
12.据统计“保你平安”电影仅上映9日，
便卖出1970000张电影票，票房达284000000元，数据284000000用科学记数法表示为________．
【答案】8
2.8410⨯【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．
【详解】解：8284000000 2.8410=⨯，
故答案为：82.8410⨯．
【点睛】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数，正确移动小数点位数是解题的关键．
13.在一个不透明的布袋中装有四个球，球上分别标有数字1-，0，13
，这些除球了数字以外完全相同．现随机摸出一个小球，记下数字m ，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n ，则使得二次函数2y x mx n =++不经过第四象限的概率为________．【答案】
59【解析】
【分析】由二次函数2y x mx n =++不经过第四象限，02
m -≤，0n ≥，或24m n ≥，再列表或画树状图，
列出m 、n 的所有可能的值，进而得到二次函数2y x mx n =++不经过第四象限的概率．
【详解】解：∵二次函数2y x mx n =++不经过第四象限，∴02m -≤，0n ≥或顶点纵坐标，2
404
n m -≥，即：0m ≥，0n ≥或204m n ≤≤，
列表：n
m 1-01
3
1-()1,1--()1,0-11,3⎛⎫- ⎪⎝
⎭0()0,1-()
0,010,3⎛⎫ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫- ⎪⎝⎭1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭11
,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
共有9种等可能的结果数，其中符合条件的结果数为5，
∴二次函数2y x mx n =++不经过第四象限的概率为
59
．故答案为：59．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ,再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ,然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．
也考查了二次函数的图象与性质．
14.如图，若反比例函数k y x
=与直线5y x =-+相交于A 、B 两点，直线5y x =-+与坐标轴交于C 、D 两点，且:1:2AC AB =，则k =________．
【答案】
7516
【解析】【分析】过点A 、点B 分别作AD y ⊥轴，BE y ⊥轴，易证ACD BCE ∽△△，由:1:2AC AB =可得
13AC AD CD BC BE CE ===，设AD a =，则3BE a =，可得,k A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,3k B a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用相似三角形的性质所列比例式可得方程511353k a k a -
=-⋅，解得154k a =，再由,k A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在5y x =-+上可求得a ，进而可求得k 的值．
【详解】过点A 、点B 分别作AD y ⊥轴，BE y ⊥轴，则AD BE ，∴ACD BCE ∽△△，则AC AD CD BC BE CE
==
，当0x =时，5y =，即()0,5C ，则5OC =，
∵:1:2AC AB =，则:1:3AC BC =，∴13AC AD BC BE ==，设AD a =，则3BE a =，得,k A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,3k B a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则k DO a =，3k EO a =∴5k CD a =-，15533k k CE a a =-=-⋅，则13AC CD BC CE ==，即：511353k a k a -=-⋅，解得154k a =，经检验154k a =是原方程的解，即：154k a =，15,4A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，又∵15,4A a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭在5y x =-+上，
∴
1554a =-+，解得：54a =，则151557544416k a ==⨯=．故答案为：7516．【点睛】本题考查求反比例函数解析式，相似三角形的判定及性质，设AD a =，得点A 坐标为,k a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，以此根据比例式列方程求解是解决问题的关键．
15.如图，将扇形ABC 沿着射线AB 平移得到扇形DEF ，圆心角75CAB ∠=︒，弧BC 与DF 交于点H ，若2AC =，当 :2:3
BH CH =时，则阴影部分的面积为________．
【答案】
12
π+【解析】【分析】连接AH ，过点D 作DG AH ⊥于G ，先求出=30BAH ∠︒，45HDG DHG ∠=∠=︒，则GH GD =，
再解直角三角形，求出1DG =，然后根据
()ADH ADH BDF BAH BDF BAH S S S S S S S =--=-+ 阴影扇形扇形扇形扇形求解即可．
【详解】解：连接AH ，过点D 作DG AH ⊥于G ，
∵ :2:3
BH CH =∴:2:3BAH CAH ∠∠=，
∵75CAB ∠=︒
∴=30BAH ∠︒
由平移可得75BDH CAB ∠=∠=︒，
∴45DHG BDH BAH ∠=∠-∠=︒，
∵HG AB ⊥，2AH AC ==，∴112
GH AH ==，∴90AGD DGH ∠=∠=︒，
∴45HDG DHG ∠=∠=︒
∴GH GD =，
在Rt ADG 中，tan DG DAG AG
∠=
，
∴tan 30DG DG AG DAG tan ===∠︒∴2
DG AG GH AG AC +=+==
2
DG +=
2
DG +=
解得：1DG =，
∵()ADH ADH
BDF BAH BDF BAH S S S S S S S =--=-+ 阴影扇形扇形扇形扇形
∴)22752302121136036022
S πππ⨯⨯=-+=阴影
故答案为：12
π+-．【点睛】本题考查圆心角与弧的关系定理，解直角三角形，平移性质，扇形面积，熟练掌握求不规则图形面积，通过转化成规则图形面积的和差求解是解题的关键．
16.已知关于x 的分式方程122x m m x x +-=+-的解不超过6，且关于y 的不等式组62434m y y y ->⎧⎨-≤+⎩
有且仅有四个整数解，则符合条件的整数m 的和________．
【答案】2
-【解析】
【分析】先解分式方程，求得分式方程解22x m =-，再由分式方程的解不超过6，得226m -≤且222m -≠±，解得：2m ≥-且0m ≠、2m ≠，然后解不等式组得246
m m --≤<，根据不等式组有四
个整数解，得2106
m --<≤，解得：42m -<≤，所以22m -≤<且0m ≠，又因为m 为整数，则1m =±，2-，即可求解．【详解】解：解方程122
x m m x x +-=+-，得22x m =-，∵122
x m m x x +-=+-的解不超过6，∴226m -≤且222m -≠±，
解得：2m ≥-且0m ≠、2m ≠，
解不等式组62434m y y y ->⎧⎨-≤+⎩，得246m y --≤<，∵不等式组有四个整数解，∴2106
m --<≤，解得：42m -<≤，
∴22m -≤<且0m ≠，
∵m 为整数，
∴1m =±，2-，
∴符合条件的整数m 的和为：()()122-+-=-，
故答案为：2-．
【点睛】本题考查根据分式方程解的情况和不等式组的整数解求字母系数值，熟练掌握解分式方程和不等式组是解题的关键．
17.如图，在ACB △中，90C ∠=︒，1tan 2
B =，M 、N 分别在线段AB 、CB 上，将四边形ACNM 沿着直线MN 翻折到四边形DENM 处，点A 、
C 的对应点分别为点
D 、
E ，当DM AB ⊥且5BN =时，MN 的长度为________．
【答案】【解析】
【分析】过点N 作NF AB ⊥与F ，利用1tan 2NF B BF
==，5BN =，可求得NF =AMN DMN ∠=∠，则360270AMN DMN AMD ∠+∠=︒-∠=︒，可得
135AMN ∠=︒，可得45NMF ∠=︒，进而可知MNF 为等腰直角三角形，可得NF MF ==
求得结果．
【详解】解：过点N 作NF AB ⊥与F ，
∵1tan 2NF B BF
==，∴2BF NF =，
在Rt BNF △中，5BN =
=，
可得NF =∵DM AB ⊥，
∴90AMD BMD ∠=∠=︒，
由折叠可知，AMN DMN ∠=∠∴360270AMN DMN AMD ∠+∠=︒-∠=︒，
∴135AMN ∠=︒，则18045NMF AMN ∠=︒-∠=︒，
∴MNF 为等腰直角三角形，则NF MF ==
∴MN =
．
【点睛】本题考查翻折的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质，构造含已知边的直角三角形是解决问题的关键．
18.若一个两位数N 满足N ab a b =++，其中a 、b 均为正整数，
则称N 为好数，那么最大的好数是________；若a 、b 同时还满足
3ab a b =+或4，则称N 为绝对好数，那么绝对好数的个数为________．【答案】
①.99②.39
【解析】
【分析】（1）根据题意可得()()1=11N a b +++，再根据判断出1N +的取值范围，并且1N +是合数，即可得出答案；
（2）根据a 、b 同时还满足3ab a b
=+或4，得出()=4N a b +或()=5N a b +，再根据1a ≥，1b ≥，判断出N 的取值范围，即可求出答案．
【详解】解：①∵N ab a b =++，
()()1=1=11N ab a b a b ∴++++++，
1a ≥ ，1b ≥，
()()114a b ∴++≥，即14N +≥，
1N ∴+是合数，
又1099N ≤≤ ，
∴121100N ≤+≤，且1N +是合数，
1N + 的最大值为100，
∴N 的最大值为99；
②当a 、b 同时满足
3ab a b
=+，即()=3ab a b +，()()=3=4N ab a b a b a b a b ∴=++++++，
1a ≥ ，1b ≥，
()48a b ∴+≥，即8N ≥，且N 是4的倍数，
又∵N 是一个两位数，888N ∴≤≤，且N 是4的倍数，
∴绝对好数N 有21个，
当a 、b 同时满足4ab a b
=+，即()=4ab a b +，()()=4=5N ab a b a b a b a b ∴=++++++，
1a ≥ ，1b ≥，
()510a b ∴+≥，且N 是5的倍数，
又∵N 是一个两位数，
1095N ∴≤≤，且N 是5的倍数，
∴绝对好数N 有18个，
综上所述，绝对好数N 的个数为：2118=39+（个）．
【点睛】本题考查了新定义，判断出1N +是合数和取值范围是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20-26每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19.计算：
（1）()()()()
2123122x x x x -----（2）()221211121a a a a a a -+⎛⎫⋅-÷- ⎪++⎝⎭
【答案】（1）2231
x x -+（2）1
a a +【解析】
【分析】（1）先用多项式乘以多项式法则计算，再合并同类项即可；
（2）先计算括号内的，再计算乘除即可．
【小问1详解】
解：原式()
224623242x x x x x x =--+---+22
4623242x x x x x x =--+-++-2231
x x =-+【小问2详解】解：原式()22221212112121a a a a a a a a a a ⎛⎫-+++=⋅-÷- ⎪++++⎝⎭
()()()221111
1a a a a
a a +-=⋅⋅-+1a a =+．【点睛】本题考查整式混合运算和分式混合运算，熟练掌握整式混合运算和分式混合运算法则是解题的关键．
20.如图，在四边形ABCD 中，90A D ∠=∠=︒，CD AB >，BC AB CD =+．
（1）利用尺规作ABC ∠的平分线BE ，交AD 于点E ，连接CE ；再在BC 上取一点F 使BF BA =，连接EF （保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，证明：BE CE ⊥；
证明：∵BE 平分ABC ∠，
∴①
在FBE 和ABE 中，
BF BA FBE ABE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()FBE ABE SAS ≅△△，
∴90BFE BAE ∠=∠=︒，BEF BEA
∠=∠∴90CFE BAE ∠=∠=︒，12
BEF AEF ∠=∠∵BC AB CD =+，BF BA =，BC BF FC
=+∴②
在Rt CFE 和Rt CDE △中，
CF CD CE CE
=⎧⎨=⎩∴③
∴CEF CED
∠=∠∴④∴()11190222BEC BEF CEF AEF DEF AEF DEF ∠=∠+∠=
∠+∠=∠+∠=︒∴BE CE
⊥【答案】（1）见解析（2）FBE ABE ∠=∠，CD CF =，()Rt Rt HL CFE CDE △≌△，
12
CEF DEF ∠=
∠【解析】【分析】（1）根据作已知角的角平分线的作法解答，即可求解；
（2）由已知易证()SAS FBE ABE △≌△，进而可得90CFE BAE ∠=∠=︒，12BEF AEF ∠=∠，由BC AB CD =+，易得CD CF =，可证()Rt Rt HL CFE CDE △≌△，可得CEF CED ∠=∠，即可得12CEF DEF ∠=∠，由此可得119022
BEC BEF CEF AEF DEF ∠=∠+∠=∠+∠=︒，即可证得BE CE ⊥．
【小问1详解】
解：以B 为圆心，适当长为半径画弧交AB ，BC 于两点，再分别以两点为圆心适当为半径画弧交于一点，连接该点与点B ，与AD 交于点E ，
以B 为圆心，AB 长为半径，画弧交于BC 于点F ，如图，即为所求；
【小问2详解】
证明：∵BE 平分ABC ∠，
∴FBE ABE ∠=∠，
在FBE 和ABE 中，
BF BA FBE ABE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()SAS FBE ABE △≌△，
∴90BFE BAE ∠=∠=︒，BEF BEA ∠=∠，
∴90CFE BAE ∠=∠=︒，12
BEF AEF ∠=∠，∵BC AB CD =+，BF BA =，BC BF FC =+，
∴CD CF =，
在Rt CFE 和Rt CDE △中，
CF CD CE CE =⎧⎨=⎩
，∴()Rt Rt HL CFE CDE △≌△，
∴CEF CED ∠=∠，∴12
CEF DEF ∠=∠，∴()11190222
BEC BEF CEF AEF DEF AEF DEF ∠=∠+∠=
∠+∠=∠+∠=︒，∴BE CE ⊥．故答案为：FBE ABE ∠=∠，CD CF =，()Rt Rt HL CFE CDE △≌△，12CEF DEF ∠=
∠．【点睛】本题主要考查了尺规作图——作角平分线，全等三角形的判定及性质，熟练掌握作已知角的角平分线的作法，判断三角形全等方法是解题的关键．
21.为进一步提高学生的上机操作能力，某校在微机室内开展了计算机打字比赛．现从七、八年级中各随机
抽取20名学生的比赛成绩进行整理和分析，成绩用x （x 为每分钟打字个数）表示，共分五个等级．
()60A x <，()6070B x ≤<，()7080C x ≤<，()8090D x ≤<，()90100E x ≤≤．
七年级抽取的2079，87，71，84，75，79，88，71，76，91，76，79，83，71，75，79，87，63，84，80
八年级抽取的学生在D 等级的成绩分别是：89，82，82，84，80，84，81，82，82，83，81
抽取的七、八年级学生打字成绩统计表平均数
中位数众数七年级
78.979b 八年级79a
82
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图，并直接写出a ，b 的值；（2）根据以上数据分析，你认为哪个年级的学生上机操作能力更好，并说明理由（写出一条理由即可）；（3）已知该校七、八年级各有600名学生参与了计算机打字比赛，请估计两个年级打字成绩优秀的学生共有多少人（成绩80≥的为优秀）？
【答案】（1）补全条形统计图见解析，81.5a =，79b =（2）八年级的学生上机操作能力更好，理由见解析（3）两个年级打字成绩优秀的学生共有630人
【解析】
【分析】（1）根据总人数是20人，可得C 等级的人数为：20101126----=（人），从而补全条形统计a 、b 的值；（2）根据表格中的数据，可以得到哪个年级的学生上机操作能力更好，并说明理由；（3）用样本估计总体可得结果．
【小问1详解】
解：八年级C 等级人数为：20101126----=（人）补全条形统计图如图：
七年级20名学生的成绩79分人数由4人，人数最多，
∴七年级学生打字成绩众数79b =，
因为八年级取的20名学生的打字成绩从小到大排在中间的两个数分别是81，82，∴八年级学生打字成绩中位数8182
81.52
a +==；【小问2详解】
八年级的学生上机操作能力更好，理由：八年级的平均成绩好于七年级，中位数也大于七年级，众数也大于七年级，故八年级的学生上机操作能力更好；【小问3详解】
8136006006302020
⨯
+⨯=（人），答：两个年级打字成绩优秀的学生共有630人．
【点睛】本题考查用样本估计总体、统计图、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.重庆被称为“基建狂魔”城市，今年2月份，重庆轨道交通引来“运营里程超500千米的新突破”，另外重庆其他轨道工程也正处在建设中．
（1）原计划今年一季度施工里程（含普通道路施工、高架施工、隧道施工）共56千米，其中普通道路施工32千米，高架施工长度至少是隧道施工长度的7倍，则今年第一季度隧道施工最多是多少千米？（2）一季度的施工里程刚好按原计划完成且隧道施工里程达到最大值，已知第一季度普通道路施工、高架亿元、2亿元、4亿元．在第二季度施工中，预计总里程会减少10a 千米，隧道施工里程会增加a 千米，高架施工会减少2a 千米，其中普通道路施工、隧道施工每千米成本与第一季度相同，高架桥施工每千米成本会增加0.5a 亿元，若第二季度总成本与第一季度相同，求a 的值．【答案】（1）3千米（2）3
2
a =
【解析】
【分析】（1）设原计划今年一季度，隧道施工最多是x 千米，则高架施工()5632x --千米，根据高架施工长度至少是隧道施工长度的7倍，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）先求得第二季度高架施工长度为()212a -千米，第二季度隧道施工长度为()3a +千米，第二季度普通道路施工长度为()()()56102123329a a a a ----+=-千米，再根据第二季度总成本与第一季度相同，列出方程，求解即可．【小问1详解】
解：设原计划今年一季度，隧道施工是x 千米，则高架施工()5632x --千米，根据题意，得
56327x x
--≥解得：3x ≤，
∴今年第一季度隧道施工最多是3千米；【小问2详解】
解：第一季度高架施工长度为5632321--=(千米)，
则第二季度高架施工长度为()212a -千米，第二季度隧道施工长度为()3a +千米，第二季度普通道路施工长度为()()()56102123329a a a a ----+=-千米，根据题意，得
()()()()32121234329121220.534
a a a a ⨯+⨯+⨯=-⨯+-⨯+++⨯化简整理，得2
3
02
a a -=解得：13
2
a =，20a =(不符合题意，舍去)∴32
a =
．【点睛】本题考查一元一次不等式与一元二次方程的应用，理解题意，列出一元一次不等式与一元二次方程是解题的关键．
23.下图是儿童游乐场里的一个娱乐项目转飞椅的简图，
该设施上面有一个大圆盘（圆盘的半径是 3.5OA =米），圆盘离地面的高度1 6.5OO =米，且1OO ⊥地面l ，圆盘的圆周上等间距固定了一些长度相等的绳子，绳子的另一端系着椅子（将椅子看作一个点，比如图中的点B 和1B ），当旋转飞椅静止时绳子是竖直向下的，如图中的线段AB ，绳长为4.8米固定不变．当旋转飞椅启动时，圆盘开始旋转从而带动绳子和飞椅一起旋转，旋转速度越大，飞椅转得越高，当圆盘旋转速度达到最大时，飞椅也旋转到最高点，此时绳子与竖直方向所成的夹角为57α=︒．（参考数据：sin 570.84︒≈，cos570.55︒≈，tan 57 1.54︒≈）
（1）求飞椅离地面的最大距离（结果保留一位小数）；
（2）根据有关部门要求，必须在娱乐设施周围安装安全围栏，而且任何时候围栏和飞椅的水平距离必须超过2米．已知该旋转飞椅左侧安装有围栏EF ，且EF l ⊥，19.8O E =米，请问圆盘最大旋转速度的设置是否合规？并说明理由．【答案】（1）3.9米
（2）圆盘最大旋转速度的设置合规【解析】
【分析】（1）过点1B 作111B C A D ⊥，11B D l ⊥，则四边形111B D DC 是矩形，可得111B D C D =，由题意可知飞椅离地面最高时11157B A C ∠=︒，11 6.5A D OO ==米，在111Rt A B C △中，1111cos57A C A B =⋅︒，再根据飞椅离地面的最大距离为111111B D C D A D A C ==-即可求解；
（2）由（1）可知，1111sin B C A B α=，则111sin D D A B α=，由题意可知19.8O E =米，1 3.5DO OA ==米，可得围栏和飞椅的水平距离为：1119.8 3.5sin A B ED α=--，当α越大，sin α越大，则
1119.8 3.5sin A B ED α=--越小，离围栏越近，当圆盘旋转速度达到最大时，57α=︒，
求出此时1 2.268ED ≈，超过了2米，可得圆盘最大旋转速度的设置合规．【小问1详解】
解：过点1B 作111B C A D ⊥，1B D l ⊥，则四边形111B D DC 是矩形，∴111B D C D =，
∵当圆盘旋转速度达到最大时，飞椅也旋转到最高点，此时绳子与竖直方向所成的夹角为57α=︒，即：
11157B A C ∠=︒，
由题意可知，11 6.5A D OO ==米，
在111Rt A B C △中，11157B A C ∠=︒，11 4.8A B =米，∴1111cos57A C A B =⋅︒，
∴飞椅离地面的最大距离为111111111cos57 3.9B D C D A D A C A D A B ==-=-⋅︒≈米；【小问2详解】
由（1）可知，1111sin B C A B α=，则111sin D D A B α=，由题意可知19.8O E =米，1 3.5DO OA ==米，
∴围栏和飞椅的水平距离为：1111119.8sin 3.5ED EO D D DO A B α=--=--，当α越大，sin α越大，则1119.8 3.5sin A B ED α=--越小，离围栏越近，当圆盘旋转速度达到最大时，57α=︒，
此时1119.8 3.sin 2.2685E B D A α≈=--米，超过了2米，∴圆盘最大旋转速度的设置合规．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解决问题的关键是添加辅助线，构造出直角三角形．
24.如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，6AB =，10BC =，E 是线段AB 上从点A 向点B 运动的一个动点（不含A 、B ），F 是线段BC 上从点B 向点C 运动的一个动点（不含B 、C ），点E 、
F 同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接EF ，DF ．已知点E 在其运
动路径上的速度始终为每秒1个单位长度，点F 在其运动路径上的速度始终为每秒2个单位长度，设点E 的运动时间为x 秒，BEF △的面积为1y ，DFC △的面积为2y ．
（1）请求出1y 和2y 关于x 的函数解析式，并说明x 的取值范围；
（2）在图2中画出1y 关于x 的函数图象，并写出一条这一函数的性质：________；（3）若121
03
y y -
≥，请结合函数图像直接写出x 的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）【答案】（1）2
16y x x =-+，2630y x =-+，05
x <<（2）作图见解析，当3x =时，函数有最大值9（答案不唯一）
（3）1.55x ≤<【解析】
【分析】（1）作DG BC ⊥于G ，可得四边形ABGD 为矩形，6DG AB ==，由题意可知：AE x =，则
6BE x =-，2BF x =，102CF x =-，再根据112y BE BF =
⋅，21
2
y CF DG =⋅可得函数解析式，由其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，可得x 的取值范围；
（2）利用描点法画出图形即可，由()2
21639y x x x =-+=--+，根据最值或增减性可得函数性质；（3）由121
03
y y -
≥，可得1210y x ≥-+，结合图象只需在图像中找到216y x x =-+在210y x =-+上方部分对应的x 的值即可．【小问1详解】
解：作DG BC ⊥于G ，
∵AD BC ∥，90ABC ∠=︒，DG BC ⊥，则AB DG ∥，∴四边形ABGD 为矩形，∴6DG AB ==，
由题意可知：AE x =，则6BE x =-，2BF x =，102CF x =-，∴BEF △的面积：()2111
62622y BE BF x x x x =
⋅=⋅-⋅=-+，DFC △的面积：()211
102663022
y CF DG x x =⋅=-⨯=-+，
∵当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，
则点E 运动时间最多为：616÷=秒，点F 运动时间最多为：5210=÷秒，
∴2
16y x x =-+，2630y x =-+，05x <<；
【小问2详解】列表：
x
123451
y 5
8
9
8
5
描点()1,5，()2,8，()3,9，()4,8，()5,5（用空心圆圈），画出1y 关于x 的函数图象如图所示：
()2
21639y x x x =-+=--+，
由此可知：①当3x =时，函数有最大值9；
②当03x <<时，1y 随x 增大而增大，当35x <<时，1y 随x 增大而减小；故答案为：当3x =时，函数有最大值9（答案不唯一）；【小问3详解】∵121
03
y y -≥，∴()11
63003
y x -
-+≥，即()12100y x --+≥，即：1210y x ≥-+，只需在图像中找到2
16y x x =-+在210y x =-+上方部分对应的x 的值即可，由图可知两函数的交点横坐标约为1.5，其右侧部分2
16y x x =-+在210y x =-+上方
∴当121
03
y y -
≥时，x 的取值范围为1.55x ≤<【点睛】本题考查二次函数函数的图象与性质，涉及根据函数图象解不等式，考查了学生的运算求解能力．25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过()0,1A ，()4,1B -．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 上方且在对称轴右侧的一个动点，过P 作PD AB ⊥，垂足为D ，E 为点P 关于抛物线的对
称轴的对应点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2PE +的最大值时，求此时点P PE +的最大值；
（3）将抛物线y 关于直线3x =作对称后得新抛物线y '，新抛物线与原抛物线相交于点F ，M 是新抛物线对称轴上一点，N 是平面中任意一点，是否存在点N ，使得以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．【答案】（1）2
7
12
y x x =-+
+
（2PE +的最大值为1，此时点P 的坐标为961,416⎛⎫
⎪⎝⎭
（3）存在点N ，使以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，此时点N 的坐标为215,424N ⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭或
215
,424⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或13,544N ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或13,54
4N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或299,204N ⎛⎫
⎪⎝⎭【解析】
【分析】（1）利用待定系数法，将()0,1A ，()4,1B -代入2y x bx c =-++，即可求得答案；
（2）先求得AB 的函数表达式，过点P 作PQ x ⊥轴交AB 于点Q ，设点2
77,1424P m m m m ⎛
⎫⎛⎫-+
+<< ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
，
则1,12Q m m ⎛
⎫
-
+ ⎪⎝
⎭
，利用PDQ COA ∽，再根据P 、E 关于对称轴对称求得PE ，进而
PE +，再将二次函数化为顶点式，即可求解；
（3）先求得点F 的坐标及新抛物线的对称轴，设17,4M t ⎛⎫
⎪⎝⎭
，以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，则需要CFM △为等腰三角形，分三种情况：CF CM =，FC FM =，MF MC =，根据题意列出方程求解即可．【小问1详解】
解： 抛物线2y x bx c =-++经过()0,1A ，()4,1B -，
11641c b c =⎧∴⎨-++=-⎩
，
解得：721
b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
∴该抛物线的函数表达式为：27
12
y x x =-+
+；【小问2详解】
解：设直线AB 的函数表达式为y kx n =+，将()0,1A ，()4,1B -代入y kx n =+，得1
41n k n =⎧⎨
+=-⎩
，
解得：121
k n ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线AB 的函数表达式为1
12
y x =-
+，令0y =，得1
102
x -+=，解得：2x =，
()2,0C ∴，
抛物线2
712y x x =-++的对称轴为直线()7
72214
x =-=⨯-，
过点P 作PQ x ⊥轴交AB 于点Q ，
设点2
77,1424P m m m m ⎛⎫⎛⎫-+
+<< ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
，则1,12Q m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，
227111222PQ m m m m m ⎛⎫
∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭
，
()0,1A ，()2,0C ，
AC ∴
，
PQ x ⊥轴，
PQ y ∴∥轴，PQD CAO ∴∠=∠，
PD AB ⊥ ，
90PDQ COA ∴∠=∠=︒，PDQ COA ∴ ∽，
PD CO PQ CA ∴
==，()2222224PQ m m m m ==-+=-+
，
E 为点P 关于抛物线的对称轴的对应点，
722
PE m ∴=-，
27242
2
PE m m m +=-++-
27262
m m =-+-
2
9214m ⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭，
∴当94m =
时，PE +的最大值为1，此时点P 的坐标为961,416⎛⎫ ⎪⎝⎭
；【小问3详解】解：存在，
原抛物线
2712y x x =-++的对称轴为直线74
x =，
∴将抛物线y 关于直线3x =作对称后，对称轴向右平移了75
2342
⎛
⎫⨯-
= ⎪⎝
⎭，新抛物线y '的对称轴为直线7517424
x =
+=，当3x =时，52
y y '==
，53,2F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
，
设17,4M t ⎛⎫
⎪⎝⎭
，若以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，则CFM △为等腰三角形即可，分以下三种情况：①当CF CM =时，
()2,0C ，53,2F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
()()2
2
2
25172302024t ⎛
⎫⎛⎫∴-+-=-+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
解得：4t =
或4
-，
∴17,44M ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭或17,44M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭， 以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，。