北京市房山区张坊中学2022-2023学年八年级数学第一学期期末达标检测试题含解析

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分) 1．下列四个命题中，真命题有(
)
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ②如果1∠和2∠是对顶角，那么12∠∠=； ③三角形的一个外角大于任何一个内角； ④若22a b =，则a b =．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．分式方程32x -+32x x
--=1的解是（ ） A ．x ＝－1
B ．x ＝2
C ．x ＝3
D ．x ＝4
3．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为( ) A ．50°
B ．80°
C ．50°或80°
D ．40°或65°
4．如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（ ）
A ．带①去
B ．带②去
C ．带③去
D ．带①和②去
5．下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知关于x 的方程22
x m
x +-=3的解是正数，那么m 的取值范围为（ ） A ．m ＞-6且m≠-2
B ．m ＜6
C ．m ＞-6且m≠-4
D ．m ＜6且m≠-2
7．如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60°，点D 为AB 边的中点，DE ⊥BC 于E ， 若BE=1，则AC 的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．23
8．如图，线段AB 、CD 相交于点O ，AO=BO ，添加下列条件，不能使AOC BOD ≌ 的是（ ）
A ．AC=BD
B ．∠C=∠D
C ．AC ∥B
D D ．OC=OD
9．等腰三角形的顶角为150°,则它的底角为( ) A ．30° B ．15° C ．30°或15°
D ．50°
10．点P(-2，3)关于y 轴的对称点的坐标是( ) A ．(2，3)
B ．(-2，3)
C ．(2，-3)
D ．(-2，-3)
二、填空题(每小题3分,共24分) 11．一次函数1
y ax b 与2y mx n =+的部分自变量和对应函数值如下表：
x ⋅⋅⋅
0 1 2 3
⋅⋅⋅
1y
⋅⋅⋅ 2
32
1
12
⋅⋅⋅ x ⋅⋅⋅
0 1 2 3 ⋅⋅⋅
2y
⋅⋅⋅ -3
-1
1
3
⋅⋅⋅
则关于x 的不等式ax b mx n +>+的解集是______．
12．若实数a ，b 满足5254a a b -+-=+，则a ﹣b 的平方根是_____． 13．如图，在Rt ABC ∆中，0
90,6,10,8∠====ABC AB AC BC ，D E 、分别为
AB AC 、的中点，点P 为线段DE 上的一个动点，连接、BP CP ，则BPC ∆的周长
的最小值等于__________．
14．有两个正方形,A B ，现将B 放在A 的内部得图甲，将,A B 并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形,A B 的边长之和为________．
15．如图，△ABC 中，AB=AC=15cm ，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，若BC=8cm ，则△EBC 的周长为___________cm ．
16．计算：（314﹣7）0+2
13-⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝_____．
17．计算(
)
43
184866x x x x -+÷的结果为______． 18．已知m +2n ﹣2＝0，则2m •4n 的值为_____． 三、解答题(共66分)
19．（10分）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ,
（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN ∠=︒，
2AB =时，求线段AM 的长；
（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =； （3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：
2AB AN AM +=;
20．（6分）如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 上，点E 在BC 的延长线上,且
BD DE =．
(1)如图甲，若点D 是AC 的中点，求证： ;AD CE =
(2)如图乙，若点D 不AC 的中点，AD CE =是否成立?证明你的结论．
(3)如图丙，若点D 在线段AC 的延长线上，试判断AD 与CE 的大小关系，并说明理由．
21．（6分）在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，以AC 为腰向外作等腰直角△ACE ，∠EAC=90°，连接BE ，交AD 于点F ，交AC 于点G ．
（1）若∠BAC=50°，求∠AEB 的度数； （2）求证：∠AEB=∠ACF ；
（3）试判断线段EF 、BF 与AC 三者之间的等量关系，并证明你的结论． 22．（8分）解方程
（1）
12
13x x =++ （2）
2212
12141
x x x +=+-- 23．（8分）今年，长沙开始推广垃圾分类，分类垃圾桶成为我们生活中的必备工具．某学校开学初购进A 型和B 型两种分类垃圾桶，购买A 型垃圾桶花费了2500元，购买B 型垃圾桶花费了2000元，且购买A 型垃圾桶数量是购买B 型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B 型垃圾桶比购买一个A 型垃圾桶多花30元． （1）求购买一个A 型垃圾桶、B 型垃圾桶各需多少元？
（2）由于实际需要，学校决定再次购买分类垃圾桶，已知此次购进A 型和B 型两种分类垃圾桶的数量一共为50个，恰逢市场对这两种垃圾桶的售价进行调整，A 型垃圾桶售价比第一次购买时提高了8%，B 型垃圾桶按第一次购买时售价的9折出售，如果此次购买A 型和B 型这两种垃圾桶的总费用不超过3240元，那么此次最多可购买多少个
B 型垃圾桶？
24．（8分）已知ABC ∆是等边三角形，点D 是AC 的中点，P 点在射线BC 上，Q 点在射线BA 上，120PDQ ∠=︒，
（1）如图1，若Q 点与点B 重合，求证：=DB DP ．
（2）如图2，若点P 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上，8,AC =求BP BQ +的值．
25．（10分）计算：
（1）(8)()x y x y --； (2) 22223()a b a b ---⋅．
26．（10分）（1）计算：(
)()
32323
42132392xy x x xy y x y ⎡⎤
-⋅-⋅⋅÷⎢⎥⎣
⎦
； （2）先化简，再求值： ()()()2
223x y x y x y x ++-+-，其中20182x =，2019
12y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故①是假命题；如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2，②是真命题；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，③是假命题；若a 2=b 2，则a=±b ，④是假命题，故选A ． 2、D
【分析】根据分式方程的计算方法先将方程转化为一元一次方程，然后进行计算即可得解.
【详解】解：原式化简得3(3)2x x --=-即332x x -+=-，解得4x =， 经检验，当4x =时，原分式方程有意义，故原分式方程的解是4x =， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握去分母，去括号等相关计算方法是解决本题的关键. 3、C
【解析】试题分析：若50°是底角，则顶角的度数是180°-50°×2=80°，同时50°也可以作为顶角，故这个等腰三角形的顶角的度数是50°或80°，本题选C ． 考点：等腰三角形 4、C
【分析】根据全等三角形的判定方法，在打碎的三块中可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合全等三角形的判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以此块玻璃也不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA 判定，所以应该拿这块去． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．在解答时要求对全等三角形的判定方法的运用灵活． 5、B
【分析】同位角是“F ”形状的，利用这个判断即可．
【详解】解：观察A 、B 、C 、D ，四个答案，A 、C 、D 都是“F”形状的，而B 不是．
故选：B
【点睛】
本题考查基本知识，同位角的判断，关键在于理解同位角的定义．
6、C
【分析】先求得分式方程的解（含m的式子），然后根据解是正数可知m+2＞0，从而可求得m＞-2，然后根据分式的分母不为0，可知x≠1，即m+2≠1．
【详解】将分式方程转化为整式方程得：1x+m=3x-2
解得：x=m+2．
∵方程得解为正数，所以m+2＞0，解得：m＞-2．
∵分式的分母不能为0，
∴x-1≠0，
∴x≠1，即m+2≠1．
∴m≠-3．
故m＞-2且m≠-3．
故选C．
【点睛】
本题主要考查的是解分式方程和一元一次不等式的应用，求得方程的解，从而得到关于m的不等式是解题的关键．
7、C
【详解】解：∵∠B=60°，DE⊥BC，
∴BD=2BE=2，
∵D为AB边的中点，
∴AB=2BD=4，
∵∠B=∠C=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=4，
故选：C．
8、A
【分析】已知AO=BO，由对顶角相等可得到∠AOC=∠BOD，当添加条件A后，不能得到△AOC≌△BOD；接下来，分析添加其余选项的条件后能否得到证明三角形全等的条件，据此解答
【详解】解：题目隐含一个条件是∠AOC=∠BOD，已知是AO=BO
A.加AC=BD，根据SSA判定△AOC≌△BOD；
B.加∠C=∠D，根据AAS判定△AOC≌△BOD；
C.加AC∥BD，则ASA或AAS能判定△AOC≌△BOD；
D.加OC=OD，根据SAS判定△AOC≌△BOD
故选A
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9、B
【解析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可解答.
【详解】∵等腰三角形的顶角为150°，
∴等腰三角形底角的度数为：
00
0 180-150
=15
2
.
故选B.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练运用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理是解决问题的关键.
10、A
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【详解】点P（−2，3）关于y轴的对称点的坐标为（2，3）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、2
x
【分析】根据统计表确定两个函数的增减性以及函数的交点，然后根据增减性判断．【详解】根据表可得y1=kx+b中y随x的增大而减小；
y 1=mx+n 中y 随x 的增大而增大．且两个函数的交点坐标是（1，1）． 则当x ＜1时，kx+b ＞mx+n ， 故答案为：x ＜1． 【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式，函数的性质，正确确定增减性以及交点坐标是关键． 12、±1
【分析】根据5a - 和5a -有意义得出a ＝5，b ＝﹣4，再代入求解即可． 【详解】∵5a - 和5a -有意义，则a ＝5， 故b ＝﹣4，
则()5493a b -=--==， ∴a ﹣b 的平方根是：±1． 故答案为：±1． 【点睛】
本题考查了求平方根的问题，掌握平方根的性质以及解法是解题的关键． 13、1
【分析】由题意可得：当点P 与点E 重合时，△BPC 的周长有最小值，即为AC+BC 的长度，由此进行计算即可．
【详解】∵∠ABC=90°, D 、E 分别为AB 、AC 的中点， ∴DE⊥AB,
∴DE 是线段AB 的垂直平分线，
∴当点P 与点E 重合时，△BPC 的周长的最小值；BE ＝AE ，如图所示：
∴△BPC 的周长＝EC+BE+BC ＝AC+BC ，
又∵AC=10,BC=8，
∴△BPC 的周长＝10+8=1．
故答案为：1．
【点睛】
考查了轴对称-最短路线问题，解题关键利用线段垂直平分线和两点之间线段最短得到点P 与点E 重合时，△BPC 的周长有最小值．
14、1
【分析】设正方形A ，B 的边长分别为a ，b ，根据图形构建方程组即可解决问题．
【详解】解：设正方形A ，B 的边长分别为a ，b ．
由图甲得：2
()1a b -=，
由图乙得：22()()12+--=a b a b ，化简得6ab =，
∴22()()412425+=-+=+=a b a b ab ，
∵a +b >0，
∴a +b =1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查完全平方公式，正方形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
15、1
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE ＝BE ，求出△EBC 的周长＝BC ＋BE ＋EC ＝BC ＋AC ，代入求出即可．
【详解】解：∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AE ＝BE ，
∵AB ＝AC ＝15cm ，BC ＝8cm ，
∴△EBC 的周长＝BC ＋BE ＋EC ＝BC ＋AE ＋CE ＝BC ＋AC ＝8＋15＝1cm ． 故答案为：1．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
16、1
【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式＝1+9
＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查实数的运算，熟练掌握负指数幂的性质以及零指数幂的性质是解决本题的关键.
17、32381x x -+
【分析】根据多项式除以单项式的方法，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可．
【详解】解：()43184866x x x x -+÷=32381x x -+.
故答案为：32381x x -+.
【点睛】
本题考查整式的除法，多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式，多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
18、1
【分析】把2m •1n 转化成2m •22n 的形式，根据同底数幂乘法法则可得2m •22n =2m+2n ，把m+2n=2代入求值即可.
【详解】由m +2n ﹣2＝0得m +2n ＝2，
∴2m •1n ＝2m •22n ＝2m +2n ＝22＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了幂的乘方和同底数幂乘法，掌握幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则是解题关键．
三、解答题(共66分)
19、 (1) AM =(2)见解析；(3)见解析.
【解析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 AD ＝BD ＝DC ＝
，求出 ∠MBD ＝30°，根据勾股定理计算即可；
（2）证明△BDE ≌△ADF ，根据全等三角形的性质证明；
（3）过点 M 作 ME ∥BC 交 AB 的延长线于 E ，证明△BME ≌△AMN ，根据全等三角
形的性质得到 BE ＝AN ，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．
【详解】（1）解：90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，
AD BD DC ∴==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒，
2AB =，
AD BD DC ∴===，
30AMN ∠=︒，
180903060BMD ∴∠=︒-︒-︒=︒，
30BMD ∴∠=︒，
2BM DM ∴=，
由勾股定理得，222BM DM BD -=
，即222(2)DM DM -=，
解得，DM =
AM AD DM ∴=-= （2）证明：AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，
BDE ADF ∴∠=∠，
在BDE ∆和ADF ∆中，
{B DAF
DB DA BDE ADF
∠=∠=∠=∠，
()BDE ADF ASA ≌∴∆∆BE AF ∴=；
（3）证明：过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，
90AME ∴∠=︒，
则AE =，45E ∠=︒，
ME MA ∴=，
90AME ∠=︒∵，90BMN ∠=︒，
BME AMN ∴∠=∠，
在BME ∆和AMN ∆中，
{E MAN
ME MA BME AMN
∠=∠=∠=∠，
()BME AMN ASA ∴∆∆≌，
BE AN ∴=， 2AB AN AB BE AE AM ∴+=+==．
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形 的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20、（1）详见解析；（2）成立，理由详见解析；（3）AD CE =，证明详见解析.
【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质即可求得∠DBC 的度数，根据BD=DE 即可解题；
（2）过D 作DF ∥BC ，交AB 于F ，证△BFD ≌△DCE ，推出DF=CE ，证△ADF 是等边三角形，推出AD=DF ，即可得出答案．
（3）如图3，过点D 作DP ∥BC ，交AB 的延长线于点P ，证明△BPD ≌△DCE ，得到PD=CE ，即可得到AD=CE ．
【详解】()1证明:ABC ∆是等边三角形，
60ABC ACB ∴∠=∠= AB AC BC ==，
D 为AC 中点，30 DBC AD DC ∠==，
,30BD DE E DBC =∴∠=∠=
ACB E CDE ∠=∠+∠，30CDE E ∴∠==∠, ,CD CE AD DC AD CE ∴==∴=，;
(2)成立，
如图乙，过D 作//DF BC ，交AB 于F ,
则60,60,ADF ACB A AFD ∠=∠=∠=∴∆是等边三角形，
60AD DF AF AFD ∴==∠=，，
180 60120BFD DCE ∴∠=∠=-=，
//DF BC ，FDB DBE E ∴∠=∠=∠，
在BFD ∆和DCE ∆中
FDB E BFD DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,BFD DCE CE DF AD ∴∆≅∆∴==，
即AD CE =
()3AD CE =
如图3，过点D 作//DP BC ，交AB 的延长线于点P ,
ABC ∆是等边三角形，APD ∴∆也是等边三角形，
60AP PD AD APD ABC ACB PDC ∴==∠=∠=∠=∠=，
,,// DB DE DBC DEC DP BC =∴∠=∠,
,PDB CBD ∴∠=∠
PDB DEC ∴∠=∠，
在BPD ∆和DCE ∆中，
60PDB DEC P DCE DB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=
⎩
,,BPD DCE PD CE AD CE ∴∆≅∆∴=∴=
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．
21、（1）10°；（1）证明见解析；（3）EF 1+BF 1=1AC 1．理由见解析.
【分析】（1）根据等腰直角三角形的旋转得出∠ABE=∠AEB ，求出∠BAE ，根据三角形内角和定理求出即可；
（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAF=∠CAF ，根据SAS 推出△BAF ≌△CAF ，根据全等得出∠ABF=∠ACF ，即可得出答案；
（3）根据全等得出BF=CF ，求出∠CFG=∠EAG=90°，根据勾股定理求出
EF 1+BF 1=EF 1+CF 1=EC 1，EC 1=AC 1+AE 1=1AC 1，即可得出答案．
【详解】（1）∵AB=AC ，△ACE 是等腰直角三角形，
∴AB=AE ，
∴∠ABE=∠AEB ，
又∵∠BAC=50°，∠EAC=90°，
∴∠BAE=50°+90°=140°，
∴∠AEB=（180°-140°）÷1=10°；
（1）∵AB=AC ，D 是BC 的中点，
∴∠BAF=∠CAF ．
在△BAF 和△CAF 中
AF AF BAF CAF AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△BAF ≌△CAF （SAS ），
∴∠ABF=∠ACF ，
∵∠ABE=∠AEB ，
∴∠AEB=∠ACF ；
（3）∵△BAF ≌△CAF ，
∴BF=CF ，
∵∠AEB=∠ACF ，∠AGE=∠FGC ，
∴∠CFG=∠EAG=90°，
∴EF 1+BF 1=EF 1+CF 1=EC 1，
∵△ACE 是等腰直角三角形，
∴∠CAE=90°，AC=AE ，
∴EC 1=AC 1+AE 1=1AC 1，
即EF 1+BF 1=1AC 1．
【点睛】
本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，有一定的难度．
22、（1）原分式方程的解为1x =；（2）原分式方程的解为0x =．
【分析】（1）、（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；
【详解】（1）解：两边同乘()(13)x x ++，得
32(1)x x +=+
解得1x =
检验：当1x =时，(1)(3)0x x ++≠
所以，原分式方程的解为1x =
（2）解：两边同乘(21)(21)x x -+，得
(21)(21)2(21)(21)x x x x ++=++-
22(21)241x x +=+-
解得0x =
检验：当1x =时，(21)(21)0x x -+≠
所以，原分式方程的解为0x =．
【点睛】
本题考查了解分式方程，注意要检验方程的根．
23、（1）购买一个A 型垃圾桶、B 型垃圾桶分别需要50元和80元；（2）此次最多可购买1个B 型垃圾桶．
【分析】（1）设一个A 型垃圾桶需x 元，则一个B 型垃圾桶需（x+1）元，根据购买A
型垃圾桶数量是购买B 品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；
（2）设此次可购买a 个B 型垃圾桶，则购进A 型垃圾桶（50-a ）个，根据购买A 、B 两种垃圾桶的总费用不超过3240元，列出不等式解决问题．
【详解】（1）设购买一个A 型垃圾桶需x 元，则购买一个B 型垃圾桶需(30)x +元． 由题意得：25002000230
x x =⨯+． 解得：50x =．
经检验50x =是原分式方程的解．
∴3080x +=．
答：购买一个A 型垃圾桶、B 型垃圾桶分别需要50元和80元．
（2）设此次购买a 个B 型垃圾桶，则购进A 型垃圾桶(50)a -个，
由题意得：50(18%)(50)800.93240a a ⨯+-+⨯≤．
解得30a ≤．
∵a 是整数，
∴a 最大为1．
答：此次最多可购买1个B 型垃圾桶．
【点睛】
本题考查一元一次不等式与分式方程的应用，正确找出等量关系与不等关系是解决问题的关键．
24、（1）见解析（2）12.
【解析】（1）由等边三角形和等腰三角形的性质得出∠DBC ＝∠P ，即可得出DB ＝DE ； （2）过点D 作DH ∥BC ，交AB 于点 H ，证明△DQH ≌△DPC （ASA ），得出HQ ＝CP ，得出BQ ＋BP ＝BH ＋HQ ＋BP ＝BH ＋BP ＋PC ＝BH ＋BC ＝
32
AC 即可求解． 【详解】（1）证明：∵△ABC 为等边三角形，
∴BA ＝BC ，∠ABC ＝60︒，
∵D 为AC 的中点，
∴DB 平分∠ABC ，
∴∠DBC ＝30︒，
∵120PDQ ∠=︒
∴∠P ＝180︒−120︒−30︒＝30︒
∴∠DBC ＝∠P ，
∴DB ＝DP
（2）过点D 作DH ∥BC ，交AB 于点 H ，如图2所示：
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60︒，
∵DH ∥BC ，
∴∠AHD ＝∠B ＝60︒，∠ADH ＝∠C ＝60︒，
∴∠AHD ＝∠ADH ＝∠C ＝60︒，∠HDC ＝120︒，
∴△ADH 是等边三角形，
∴DH ＝AD ，
∵D 为AC 的中点，
∴DA ＝DC ，
∴DH ＝DC ，
∵∠PDQ ＝120︒，∠HDC ＝120︒，
∴∠PDH ＋∠QDH ＝∠PDH ＋∠CDP ，
∴∠QDH ＝∠CDP ，
在△DQH 和△DPC 中，
QHD C DH DC
QDH PDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△DQH ≌△DPC ，
∴HQ ＝CP ，
∴BQ ＋BP ＝BH ＋HQ ＋BP ＝BH ＋BP ＋PC ＝BH ＋BC ＝32
AC =12, 即BP BQ +=12.
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、
等腰直角三角形的判定由性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
25、（1）22
98x xy y -+；（2）8
8b a ． 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法和负指数幂的性质计算即可．
【详解】解：（1）原式=2288x xy xy y --+
=2298x xy y -+
（2）原式=2266•a b a b --
=2(6)26a b -+-+
=88a b - =8
8b a
【点睛】
此题考查的是多项式乘多项式和幂的运算性质，掌握多项式乘多项式法则、同底数幂的乘法和负指数幂的性质是解决此题的关键．
26、（1）83x xy -；（2）xy ，12
【分析】(1)先根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂乘法法则进行计算，再根据多项式除单项式的运算法则计算即可；
(2)根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则去括号，再合并同类项化成最简式，然后将x 、y 的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】(1)()()32323421
32392xy x x xy y x y ⎡
⎤-⋅-⋅⋅÷⎢⎥⎣⎦ 332242*********x x x y x x y y y ⎡⎤=⋅-⋅⋅÷⎢⎥⎣⎦
5104252(27)99x y y y x x =-÷
52425104292799x y x y x y x y =÷-÷
83y x x =-；
(2)()()()2223x y x y x y x ++-+-
222222223x xy xy y y x x x y =++---++
xy =，
当20182x =，201912y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
时， 原式2019201820182018
20182018111111122212222222
⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】 本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。