高考数学压轴专题人教版备战高考《推理与证明》单元汇编含答案

数学《推理与证明》试卷含答案
一、选择题
1．桌面上有3枚正面朝上的硬币，如果每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转（）
A．都不可能使3枚全部正面朝上B．可能使其中2枚正面朝上，1枚反面朝上C．都不可能使3枚全部反面朝上D．都不可能使其中1枚正面朝上，2枚反面朝上
【答案】C
【解析】
【分析】
先推理出正确答案，再利用反证法进行证明，对错误选项可举反例说明即可.
【详解】
对A，对两枚硬币连续翻转2次，能使3枚全部正面朝上，故A错误；
对B，如果能1枚反面朝上，则就有可能3枚全部反面朝上，利用C选项的证明，发现此种情况不可能，故B错误；
对C，假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上，都需要翻转奇数次，所以3枚硬币全部反面朝上时，需要翻转(3×奇数)次，即要翻转奇数次,但由于每次用双手同时翻转2枚硬币，3枚硬币被翻转的次数只能是2的倍数，即偶数次，这个矛盾说明假设错误，所以原结论成立.故C正确；
对D，只要翻转一次，就可实现两枚反面朝上，一枚正面朝上，故D错误；
故选：C.
【点睛】
本题考查合情推理和反证法的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题.
2．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（）
A．甲B．丙C．甲与丙D．甲与乙
【答案】D
【解析】
【分析】
分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论.
【详解】
若甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，
命题②成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；
若乙被录取，命题②成立，则丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；
若丙被录取，命题②成立，则乙未被录取，命题③成立，则甲未被录取，那么命题①就
不能成立，三个命题不能同时成立. 综上所述，甲与乙被录取. 故选：D. 【点睛】
本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
3．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )
从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则
a 的值为( )
A ．100820182⨯
B ．100920182⨯
C ．100820202⨯
D ．100920202⨯
【答案】C 【解析】 【分析】
根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】
解：第一行第一个数为：0112=⨯； 第二行第一个数为：1422=⨯； 第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；
L L ，
第n 行第一个数为：1
n 2n n a -=⨯；
一共有1010行，
∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯； 故选C ． 【点睛】
本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
4．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃．
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】D 【解析】 【分析】
假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁． 【详解】
假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】
本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．
5．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，
()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）
A ．2cos x -
B ．2sin x -
C ．2cos x
D ．2sin x
【答案】D 【解析】 【分析】
通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得
()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.
【详解】
由题可知：()sin f x x x =
所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-
()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+ ()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅
所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+
()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=---
()44cos sin k f x k x x x =-+
由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--
()20212021sin cos f x x x x =+
所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D 【点睛】
本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.
6．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为
212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫
=+-- ⎪+-+-⎝⎭
，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示
两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫
+-=+
⎪⎝⎭
，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭，且()1
211x x x -+≈-+，则U 的近似值为
（ ）
A ．212
3
kcq x x R
B ．212
3kcq x x R -
C ．21232kcq x x R
D ．212
3
2kcq x x R -
【答案】D 【解析】 【分析】
将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+
⎪
⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫
-=- ⎪⎝
⎭代入U ，结合()
1
211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.
【详解】
221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+
-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭
++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
222
2
121211221111x x x x x x x x kcq R
R R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
212
3
2kcq x x R =-. 故选：D. 【点睛】
本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能
力，属于中等题.
7．用数学归纳法证明 11151236
n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111
313233
k k k +++++ B ．112
313233
k k k +-+++ C ．
11
331k k -++ D ．
1
33
k + 【答案】B 【解析】
分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为
111123k k k
++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为
111111233313233
k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是
1111112
3132331313233
k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.
8．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x x
x z x y z y
+++ （ ） A ．都大于2
B ．至少有一个大于2
C ．至少有一个不小于2
D ．至少有一个不大于2
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x
z ＋x y ＝(y x
＋x y )＋
(y
z ＋z y )＋(z x ＋x z
)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号，与假设矛盾，故这三个数
至少有一个不小于2.
9．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台
天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B 【解析】 【分析】
根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币. 【详解】
第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平. 故选：B. 【点睛】
本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.
10．数列{}1212:1
,(2)n n n n F F F F F F n --===+>，最初记载于意大利数学家斐波那契
在1202年所著的《算盘全书》.若将数列{}n F 的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{}n a ，则数列{}n a 的前50项和为（ ） A ．33 B ．34
C ．49
D ．50
【答案】B 【解析】 【分析】
根据{}n a 为{}n F 除以2的余数，依次写出{}n F 的各项，从而可得{}n a 是按1,1,0的周期排列规律，即可求出结论. 【详解】
依次写出{}n F 的各项1234561,1,2,3,5,8F F F F F F ======L ，
{}n a 为{}n F 除以2的余数，依次写出{}n a 各项为
1234561,1,0,1,1,0a a a a a a ======L ，
{}n a ∴各项是按1,1,0的周期规律排列，
1234950162234a a a a a +++++=⨯+=L .
故选：B. 【点睛】
本题考查归纳推理、猜想能力，考查分析问题、解决问题能力，属于中档题.
11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3
=63
2
n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应
的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3
C ．（k+1）3
D ．63
(1)(1)2
k k +++
【答案】B 【解析】
分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

详解：当n k = 时，等式左边3123....k =+++
当1n k =+时，等式左边3
3
3
3
3
123....(1)(2)(3)...(1)k k k k k =+++++++++ 所以增加的项为3
3
3
3
(1)(2)(3)...(1)k k k k +++++ 所以选B
点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题。

12．某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召，积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外，还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来学习.该校学生小刚选完课后，本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断：甲说：小刚选的不是书法，选的是篮球；乙说：小刚选的不是篮球，选的是排球；丙说：小刚选的不是篮球，选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对，有一人说对了一半，另一个人说的全不对，由此推断小刚的选择的（ ） A ．可能是国画 B ．可能是书法
C ．可能是排球
D ．一定是篮球
【答案】B 【解析】 【分析】
依次假定小刚的选择，逐一验证得到答案. 【详解】
若小刚选择的是国画，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除； 若小刚选择的是书法，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足； 若小刚选择的是排球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除； 若小刚选择的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足； 故小刚可能选择的是书法和篮球. 故选：B . 【点睛】
本题考查了推理分析，意在考查学生的逻辑推理能力.
13．已知{}n b 为等比数列，52b =，则9
1292b b b L ⋅=．若{}n a 为等差数列，52a =，
则{}n a 的类似结论为（ ） A ．9
12392a a a a =L B ．9
12392a a a a ++++=L
C ．123929a a a a L =⨯
D ．123929a a a a ++++=⨯L
【答案】D 【解析】 【分析】
根据等差数列中等差中项性质推导可得. 【详解】
由等差数列性质，有19a a +＝28a a +＝…＝25a .易知选项D 正确． 【点睛】
等差中项和等比中项的性质是出题的热点,经常与其它知识点综合出题.
14．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：
3331373152{3{94{517
11
19
L ，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为（ ） A ．8 B ．9
C ．10
D ．11
【答案】B 【解析】
由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，
12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得
2(422)(2)
(1)(2)2
m m m a a m m +---=
=+-
∴2
2(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+
∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数 故选B
15．已知甲、乙、丙、丁四人各自去过阿勒泰、伊宁、喀什、库尔勒中的某一城市，且每个城市只有一人去过，四人分别给出了以下说法： 甲说：我去过阿勒泰； 乙说：丙去过阿勒泰； 丙说：乙、丁均未去过阿勒泰； 丁说：我和甲中有一人去过阿勒泰．
若这四人中有且只有两人说的话是对的，则去过阿勒泰的是（ ） A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】C 【解析】 【分析】
先假设一人说真话，推出正确，即可，推出矛盾，则说的假话． 【详解】
解：如果甲说的是真话，则甲，丙，丁说的是真话，则矛盾，甲未去过； 如果乙说的是真话，则甲，丁说谎，丙说的真话，符合题意，丙去过． 故选：C ． 【点睛】
本题考查演绎推理的简单应用，难度一般.解答此类问题的关键是先进行假设，然后再逐个分析.
16．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心
（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫
⎪⎝⎭
.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，
333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（ ）
A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++
B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．123413341234
,,
333x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫
⎪⎝
⎭
D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案. 【详解】
根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数， 从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体， 就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数，
故选D. 【点睛】
该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.
17．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式
1
1111+
+
+⋅⋅⋅
中“⋅⋅⋅”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +
=
求得x =231111333++++⋅⋅⋅=( ) A ．2 B ．
3
2
C ．3
D ．
53
【答案】B 【解析】 【分析】
由2323
11111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，类比已知中的求法，可构造方程求得结果. 【详解】
232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q
∴可设23111333
x =
+++⋅⋅⋅，则31x x =+，解得：1
2x =
2311113
1133322++++⋅⋅⋅=+=∴
故选：B 【点睛】
本题考查类比推理的应用问题，关键是能够明确已知中的代换关系，将所求式子整理变形为可以整体换元的方式.
18．
0=，则0x y ==，假设为( )
A ．,x y 都不为0
B ．,x y 不都为0
C ．,x y 都不为0，且x y ≠
D ．,x y 至少有一个为0
【答案】B 【解析】 【分析】
根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果.
【详解】
0x y ==的否定为00x y ≠≠或，即x ，y 不都为0，选B.
【点睛】
本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.
19．用数学归纳法证明“
1112n n ++++…111()24
n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( ) A ．
12(1)k + B ．112122k k +++ C ．11121221k k k +-+++ D ．1111212212
k k k k +--++++ 【答案】C
【解析】
【分析】
分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项。

【详解】
由n=k 时，左边为11112k k k k
+++++L ， 当n=k+1时，左边为11111231(1)(1)
k k k k k k k k +++++++++++++L 所以增加项为两式作差得：
11121221k k k +-+++，选C. 【点睛】
运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n 0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．
20．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）
A ．物理化学等级都是
B 的学生至多有12人
B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人
C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人
D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意分别计算出物理等级为A ，化学等级为B 的学生人数以及物理等级为B ，化学等级为A 的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.
【详解】
根据题意可知，36名学生减去5名全A 和一科为A 另一科为B 的学生105858-+-=人（其中物理A 化学B 的有5人，物理B 化学A 的有3人）， 表格变为：
A B C D E 物理
10550--= 16313-= 9 1 0 化学 8530--= 19514-= 7 2 0 对于A 选项，物理化学等级都是B 的学生至多有13人，A 选项错误； 对于B 选项，当物理C 和D ，化学都是B 时，或化学C 和D ，物理都是B 时，物理、化学都是B 的人数最少，至少为13724--=（人），B 选项错误； 对于C 选项，在表格中，除去物理化学都是B 的学生，剩下的都是一科为B 且最高等级为B 的学生，
因为都是B 的学生最少4人，所以一科为B 且最高等级为B 的学生最多为1391419++-=（人），
C 选项错误；
对于D 选项，物理化学都是B 的最多13人，所以两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生最少14131-=（人），D 选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.。