工学半导体物理之固体量子理论基础0306

状态密度函数
热平衡： 一定温度下，在半导体中存在着这样的过程： 载流子的产生——价带电子（施主杂质）跃迁到导带 载流子的复合——导带电子跃迁到价带并与空穴复合 两个过程动态平衡使得半导体内有一定数量的电子和空穴，这种平衡和 温度有关 • 在一定温度 T 下，载流子的产生过程与复合过程之间处于动态 的平衡， 这种状态就叫热平衡状态。
ikx
2 n k L 2 4 k 0, , L L
电子的一个允许能量状态的代表点
e
ik ( x L )
eikL eikNa 1 cos kL 1 kL 2n (n 0, 1, 2 )
在一维空间中k状态 间隔为2π/L
· · · · -4/L -2/L 0 2/L
实际半导体中由于有效质量可能有方向性因而等能面不为球面则采用平均的有效质量来计算称为状态密度有效质量对于价带可能是复合能带为轻重空穴的状态密度之和因而采用价带顶空穴状态密度的有效质量第三章固体量子理论初步38导带中电子的态密度分布函数ge和价带中空穴的态密度分布函数g随着能量e的变化关系如右图所示当电子的态密度有效质量与空穴的态密度有效质量相等时二者则关于禁带中心线相对称
dv 1 d dE 1 d 2 E dk f d 2E a 2 2 dt dt dk dk dt h dk 2
从而
h2 a f / 2 f / m* d E dk 2
•
可以看到，借助于有效质量的概念，晶体电子在外力的作用下的运动规律可 以用经典的牛顿理论来描述。有效质量是一个将经典理论和量子理论联系起 来的概念。

电子的有效质量
有效质量的意义在于: • 它概括了半导体内部势场的作用，使得在解决半导体中电子在外力作用下的 运动运动规律时，可以不涉及到半导体内部势场的作用。
• m*可以直接由实验测定，因而可以很方便地解决电子的运动规律。
• 有效质量与能量函数对于k的二次微商成反比，能带越窄，二次微商越小， 有效质量越大。 • 内层电子的能带窄，有效质量大。 • 外层电子的能带宽，有效质量小。 • 外层电子，在外力的作用下可以获得较大的加速度。
2
2mn
*
(k x k y k z )
2 2 2
k
2
2mn* E Ec
2
k
1
2mn* ( E Ec )
第三章
固体量子理论初步
33

状态密度函数
球所占的 k 空间的体积为：
4 3 V k 3
Z E 2V / 2 V
3
设这个球内所包含的电子态数为Z(E)：
dE为能量的变化量，dx是粒子移动距离的为分 量，v是速度
•
• 由于外力的作用电子获得了能量和静动量，向某一个方向运动的电 子超过相反方向（改变了k空间的对称分布），因而表现出宏观电流。
• 由于电子在电场作用下造成的定向运动造成的漂移电流为：
J e vi
i 1
n
e电子电量，n电子密度，用求和的形式表示，表明电流是电子向各个 方向运动抵消后的净运动造成的。
f eE
外力对电子做功等于能量的改变：
dE fds fvdt
将
1 dE k v * dk m
代入：
f dE dE f dE dk dE fvdt dt dk dt f dk dk dk dt

电子的有效质量
这反映了在外力作用下，电子的状态随时间不断变化，相应地速度不断变化， 则加速度为：
•自由电子静质量m0为常数 •有效质量m*和E-k关系有关,只有在能带图上的特定位置，其值才能作为常数。 •m*的大小和E对k的二阶导数有关，在带底处，E-k二阶导数为正（曲率为正）， 因而有效质量为正，而在能带顶部，E-k二阶导数为负（曲率为负），因而有 效质量为负。

电子的有效质量
dE k p 1 dE vv dk m0 m0 dk
固体量子理论基础
固体中电的传导
状态密度函数 统计力学
3.1 固体中电的传导
能带和键模型
T升高时会发生什么现象？

•
能带和键模型
T=0K的半导体能带见图(a)， 这时半导体的价带是满带，而导带是空带，所以半导体不导电。
当温度升高或在其它外界因素作用下，原先空着的导带变为半 满带，而 价带顶附近同时出现了一些空的量子态也成为半满 带，这时导带和价带 中的电子都可以参与导电，见图(b)。 常温下半导体价带中已有不少电子被激发到导带中，因而具备 一定的导 电能力。图(c)是最常用的简化能带图。
对于晶格电子，在能带极值附近进行泰勒级数展开：
一阶导数为0，取至二阶（抛物线近似，近自由电子近似）
2 d 2E 对于特定的半导体： 2 应当为一定值（极值附近），假设为 * dk m 表示为： 2 2 2
1 d 2E 2 E k E 0 2 k 2 dk
，则可
1d E 2 k E k E 0 2 k 2 dk 2m*
2
可以看到，和自由电子相比，m*起着相当于质量的作用。
m
*
d 2E 2 dk
2 k2 E m0 2 2m0 d E 2 dk
2

电子的有效质量
•
对于三维晶体来说，在各个方向上 的E~k曲线不同，且能带极值可能 不在原点。因而在不同方向上的有 效质量不同。
3.2 状态密度函数
•状态密度是在单位空间和单位能量中允许存在的状态数目——状态密度
dZ g E dE
•热平衡状态下的载流子浓度问题 什么是热平衡？ 不同温度下的载流子浓度

• • • •
第三章
· 4/L
固体量子理论初步
k
30

状态密度函数
推广到三维： – 边长为L=N*a，体积为L3=V。
K空间中的状态分布
• • • 电子的一 • • • 个允许能 • • • 量状态的 • • • •• •• 代表点 • • • • • • • • • • • • • • •
ky
kz
每一个k状态所占据的 k空间体积为：
kx
• • • • • • •• •• • • • •
• • • •• • •
• • • •
ky
2 2 2 L L L (2 )3 V
第三章
固体量子理论初步
31

状态密度函数
单位 k 空间允许的状态数为：
V 3 ( 2 ) ( 2 ) 3 V
单位k空间体积内所含的允许状态数等于晶体体积 V/(2)3
1
－－k 空间的量子态（状态）密度
考虑自旋，k空间的电子态密度为：2V/(2)3
任意k空间体积
V
中所包含的电子态数为：
第三章 固体量子理论初步
2VV (2 ) 3
32

状态密度函数
通过能量E和k的关系，在k空间中求出单位能量间隔内的量子态数 导带底的E-k关系：
E (k ) Ec
球形等能面的半径 k

•
电子的有效质量
有效质量与E-k图的关系 1.自由粒子 粒子动量能 量的关系式 E对k求导
E对k求二 阶导数 牛顿方程 •E的二阶导数是一个常量，电子质量是个常量。

•
电子的有效质量
有效质量与E-k图的关系
2.允带底的电子

电子的有效质量
dE 1 d 2E E (k ) E (0) ( ) k 0 k ( 2 ) k 0 k 2 ... dk 2 dk
有效质量和半导体电子的平均速度 对于自由电子：
相应地：
2k 2 d * 1 dE 1 2m k v * dk dk m
（
k 并不是晶格中电子的动量，但却有着类似于自由电子动量的表达 p k ），因而被称作准动量。

电子的有效质量
有效质量和加速度 实际的半导体器件在一定的电压下工作，半导体内部产生外加电场。 电场强度为E时
空穴的主要特征：
E
（能量方向相反）
•mP*=-mn*
k 空穴的意义： •可以把价带大量电子的运动状态用很少的空穴的运动表示出来。

三维扩展
•电子在晶体中不同的方向上运动的时候遇到的势场是不同的，因而Ek关系是k空间方向上的函数
•
对于一维模型来说，关于k坐标对称， 因而一个方向画出一半就可以表示另一 半的曲线
*
dk
1
mn dE 2 E Ec
•
砷化镓材料导带的最低点与价带的最高 点都位于k=0点，直接带隙半导体材料， 电子在不同能带之间的跃迁没有动量的 改变，这对于半导体材料的光电特性具 有重要意义。
•
右图所示为硅晶体材料沿着[100]和 [111]方向的E~k关系示意图。
•
硅材料导带的最低点位于[100]方向， 其价带的最高点仍然位于k=0点，具 有这种能带结构的半导体材料通常 称为间接带隙半导体材料，此时电 子在不同能带之间的跃迁涉及到动 量的改变，除了满足能量守恒之外， 还必须要满足动量守恒。
27

状态密度函数
计算过程 • k空间量子态密度 • k空间单位能量间隔内的量子态数 • 单位体积、单位能量间隔内的量子态数（状态密度）
第三章
固体量子理论初步
28

状态密度函数
k空间量子态密度 • 量子化效应导致k分立 • 一维晶体模型，N+1个原子组成，晶格常数为 a，晶体的长为L，起点在x 处
能带和键模型

能带和键模型
• 本征激发：共价键上的电子激发成为准自由电子，也就是价带电子激发成 为导带电子的过程。
• 本征激发的特点：成对的产生导带电子和价带空穴。

•
漂移电流
固体中电流是由于电子的定向移动造成的，漂移电流密度为 J=qNVd A/cm2 N为正电荷体密度（cm-3），Vd为平均漂移速度。 对于半满带中的电子来说。当施加于外力F时：
设想以一个电子填充到空的k状态, k状态电子电流=(-q)v(k) 填入这个电子后价带又被填满,总电流应为零 J＋（-q）v（k）＝0
因而得到
J＝（＋q）v（k） • 说明：当价带k状态空出时，价带电子的总电流，如同一个正电荷的粒子以k 状态电子速度v（k）运动时所产生的电流。

空穴
•荷正电：+q； •空穴浓度表示为p（电子浓度表示为n）； •EP=-En

•
空穴
硅二维晶格结构 在0k时，所有的外层价电子都处于共价键中（处于价带中，满带），因而不能 导电。

热激发 ，一个电子打破共 价键而游离，成为准自由电 子 在电场作用下，空位的移动 形成电流。
电子跃迁后留下 的空位叫空穴

空穴
J＝价带（k状态空出）电子总电流
设想价带中一个电子激发到导带，价带电子电流密度
N
Ec
f ( E ) g ( E )dE
c

状态密度函数 • 状态密度+状态分布函数载流子密度
• 当温度不同时，每层安排的座位数g(T)为一定值。 当温度不同时，每层的人数分布为ff(T)。 则当某一日温度为T时，我们知道总人数为:
n
g (T ) f T
f 1
第三章
固体量子理论初步
电子的有效质量
•
•
电子在晶格中，外加作用力以及晶体中带重电荷的离子和带负电荷的电子 所产生的内力，都会对电子的运动产生影响。 对于晶格中的某一个电子来说：
很难一一考虑粒子所受的内 力，所以将等式写成
其中加速度a直接与外力有关。参数m*对外力Fext表现出类似于惯性质量的性质， 叫做有效质量。所谓有效是指：“有效”的意义在于“它是有效的，但不是真实 的”.
能量由 E 增加到 E+dE，k 空间体积增加：
dV 4k dk
2
第三章 固体量子理论初步 34

状态密度函数
电子态数变化dZ(E)：
2V dV 2V 2 dZ 4 k dk 3 3 (2 ) (2 )
因为有：
k
2
2mn* E Ec
2
k
*
1
2mn ( E Ec )
•
•

能带和键模型
无外电场时的情况
•由上述激发过程不难看出： 受电子跃迁过程和能量最低原理制约，半导体中真正对导电有贡献的是那些导 带底部附近的 电子和价带顶部附近电子跃迁后留下的空态(等效为空穴)。 •换言之，半导体中真正起作用的是那些能量状态位于能带极值附近的电子和空穴。

能带和键模型

● ●
ED
Ec
产 生
复合
○
○
Ev

状态密度函数
• 允许的量子态按能量如何分布（单位能量间隔内有多少量子态）
g E
• 电子在允许的量子态中如何分布（在特定的能量位置，状态被占据的几 率）
f E
• 在能量间隔dE内的电子数为：
gc E f E dE
• 整个导带内的电子数：
Ec '
a
x
L=a×N
x+L
• 在 x 和 x+L 处，电子的波函数分别为φ(x) 和φ(x+L)
φ(x)=φ(x+L)
第三章
固体量子理论初步
29

•
状态密度函数
该一维晶体k的可能取值为：
eikx u ( x) eik ( x L )u ( x L) u ( x) u ( x L) e