2018秋数学人教A版必修5课件：第三章3.3-3.3.1二元一次不等式组与平面区域 精品

[知识提炼·梳理]
1．二元一次不等式(组)的概念 含有_两__个___未知数，并且未知数的次数是__1__的不等 式叫做二元一次不等式． 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为 __二__元__一__次__不__等__式__组__．
2．二元一次不等式表示的平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式 Ax＋By＋C ＞0 表示直线__A_x_＋__B__y_＋__C_＝__0__某一侧所有点组成的平 面区域，把直线画成_虚__线__以表示区域不包括边界．
不等式 Ax＋By＋C≥0 表示的平面区域包括边界，把 边界画成_实__线__．
3．二元一次不等式表示平面区域的确定
(1)直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点的坐标(x，y) 代入 Ax＋By＋C 所得的数值的正负都_相__同___．
(2)在直线 Ax＋By＋C＝0 的一侧取某个特殊点(x0， y0)，由_A__x_0＋__B__y_0＋__C__的正负可以断定 Ax＋By＋C＞0 表 示的是直线 Ax＋By＋C＝0 哪一侧的平面区域．
如图所示，由图形知，选项 C 符合题意． 答案：C
4. 已知点 A(1，0)，B(－2，m)，若 A，B 两点在直 线 x＋2y＋3＝0 的同侧，则 m 的取值集合是__________．
解析：因为 A，B 两点在直线 x＋2y＋3＝0 的同侧，
所以把点 A(1，0)，B(－2，m)代入可得 x＋2y＋3 的正负 号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)＞0，解得 m＞－12.
解：设每天分别生产甲、乙两种产品 x t 和 y t，
生产 x t 的甲产品和 y t 乙产品的用电量是(2x＋8y)千
瓦时，根据条件， 有 2x＋8y≤160；
用煤量为(3x＋5y) t，根据条件， 有 3x＋5y≤150； 用工人数为(5x＋2y)人，根据条件， 有 5x＋2y≤200； 另外，还有 x≥0，y≥0.
积．
(1)解析：不等式组所表示的平面区域如图所示，
x＋y＝0，
由
得
x－y＋5＝0，
A－52，52.
x＋y＝0，
由
得 B(3，－3)．
x＝3，
x＝3，
由
得 C(3，8)，所以 BC＝8－(－3)＝
x－y＋5＝0，
11，AD＝52＋3＝121.
所以 SΔABC＝12·BC·AD＝12×11×121＝1241.
答案：mm＞－12
5．若点 P(m，3)到直线 4x－3y＋1＝0 的距离为 4， 且点 P 在不等式 2x＋y＜3 表示的平面区域内，则 m＝ ________．
解析：d＝|4m－59＋1|＝4，解得：m＝－3. 2m＋3＜3，
答案：－3
类型 1 二元一次不等式表示的平面区域 [典例 1] 分别画出下列不等式表示的平面区域． (1)3x－4y－12≥0； (2)3x＋2y＜0. 解：(1)先画直线 3x－4y－12＝0.取原点(0，0)，代入
(3)错误．不等式 Ax＋By＋C＞0 表示的平面区域不包 括边界，而不等式 Ax＋By＋C≥0 表示的平面区域包括边 界，所以两个不等式表示的平面区域是不相同的．
(4)错误．在二元一次不等式组中可以含有一元一次
2x＋y－1≥0，
不等式，如
也称为二元一次不等式组．
3x＋2＜0
(5)错误．二元一次不等式组表示的平面区域是每个
不等式所表示的平面区域的公共部分，但不一定是封闭区
域． 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
2．不等式组xx≥－2y＋，3≤0表示的平面区域是(
)
解析：把原点代入验证可知．原点不在 x≥2 表示的 区域内，也不在 x－y＋3≤0 表示的区域内．故选 D.
答案：D
3．下面给出的四点中，位于xx＋ －yy－ ＋11＜ ＞00，表示的平
(2)注意事项： ①求面积时，要注意与坐标轴垂直的直线及区域端点 的坐标，这样易求出相关的长度． ②必要时将所求区域分割为几个规则的图形，分别求 其面积再相加．
[变式训练]
x≤3， (1)不等式组x＋y≥0， 表示的平面区
x－y＋5≥0
域的面积是________；
(2)求不等式组xx－ ＋22yy＋ ＋11≥ ≥00， ，表示的平面区域的面 1＜|x－2|≤3
类型 2 二元一次不等式组表示的平面区域的面积
(互动探究)
[典例 2]
y≤x， 不等式组x＋2y≤4，表示的平面区域的
y≥－2
面积为( )
A.530 B.235 C.1030 D.130
y≤x， 解析：作出不等式组x＋2y≤4，表示的平面区域，
y≥－2 如图阴影部分所示，可以求得点 A 的坐标为43，43，点 B
解：设分别生产 P，Q 产品 x 件，y 件，依题意则有
4x＋6y≤14 000，
2x＋8y≤12 000，
用图形表示上述限制条件，得
0≤x≤2 500，x∈N，
0≤y≤1 200，y∈N.
其表示的平面区域如图(阴影部分整不等式组所表示的平面区域如图所示：
得点 B(1，－1)，点 C(1，1)，点 D(3，－2)，点 E(3， 2)，点 F(5，－3)，点 G(5，3)．
SΔABC＝12·BC·h＝12×2×2＝2. S 梯形 DEGF＝12·(DE＋FG)·h′＝12×(4＋6)×2＝10. 所以 S＝SΔABC＋S 梯形 DEGF＝12.
3x－4y－12，得－12＜0.
所以原点在 3x－4y－12＜0 表示的平面区域内． 所以不等式 3x－4y－12≥0 表示的平面区域如左下 图所示：
(2)先画直线 3x＋2y＝0(画成虚线)．取点(1，0)，代 入 3x＋2y，得 3＞0.
所以点(1，0)在 3x＋2y＞0 表示的平面区域内． 所以不等式 3x＋2y＜0 表示的平面区域如右上图所 示．
类型 3 用二元一次不等式组表示的平面区域 表示实际问题 [典例 3] 一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产 品的资源需求如下表：
品种 电力/千瓦时 煤/t 工人/人
甲
2
3
5
乙
8
5
2
该厂有工人 200 人，每天只能保证 160 千瓦时的用电 额度，每天用煤不得超过 150 t，请在直角坐标系中画出 每天甲、乙两种产品允许的产量范围．
归纳升华 在(1)中直线不过原点，可选(0，0)点判断，在(2)中直 线过原点，可选(1，0)点来判断，不管选哪个点来判断， 都要遵循最简化原则，画边界直线时，不含等号画虚线， 含等号画实线．
[变式训练] 画出不等式 x＋2y－2＞0 所表示的平面 区域．
解：先画直线 x＋2y－2＝0(画成虚线)，检验：(0， 0)不在该不等式表示的平面区域内．故所画区域为：
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由于不等式 2x－1＞0 不是二元一次不等式，故不 能表示平面的某一区域．( ) (2)点(1，2)不在不等式 2x＋y－1＞0 表示的平面区域 内．( ) (3)不等式 Ax＋By＋C＞0 与 Ax＋By＋C≥0 表示的 平面区域是相同的．( )
(4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不 等式．( )
(5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区 域．( )
解析：(1)错误．不等式 2x－1＞0 不是二元一次不等
式，表示的区域是直线 x＝12的右侧(不包括边界)．
(2)错误．把点(1，2)代入 2x＋y－1，得 2x＋y－1＝3 ＞0，所以点(1，2)在不等式 2x＋y－1＞0 表示的平面区域 内．
第三章 不等式
3．3 二元一次不等式(组)与简单 的线性规划问题
3．3.1 二元一次不等式(组)与平 面区域
[学习目标] 1.了解二元一次不等式的几何意义． 2. 能用平面区域表示二元一次不等式组． 3.能从实际问题 的情境中抽象出二元一次不等式组． 4.能在坐标平面上 准确表示不等式组所表示的区域． 5.能够利用平面区域 解决简单的实际问题．
的坐标为(－2，－2)，点 C 的坐标为(8，－2), 所以△ABC
的面积是12×[8－(－2)]×43－（－2）＝530.
答案：A
[迁移探究] 若本例中不等式组所表示的平面区域被 直线 3kx＋3y－4k－4＝0 分为面积相等的两部分，求 k 的值．
解：直线 3kx＋3y－4k－4＝0 的方程可以化为 k(3x－4) ＋3y－4＝0，过定点43，43.正好是例题解析中的顶点 A.因此 只有直线过 BC 中点时，直线 3kx＋3y－4k－4＝0 能平分平 面区域．
综上所述，x，y 应满足以下不等式组：
2x＋8y≤160， 3x＋5y≤150， 5x＋2y≤200， x≥0，y≥0.
甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面
区域，即如图所示的阴影部分(含边界)．
归纳升华 用二元一次不等式组表示的平面区域来表示实际问 题的步骤如下： (1)根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两 个量用字母表示． (2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来．
面区域内的点是( )
A．(0，2)
B．(－2，0)
C．(0，－2)
D．(2，0)
解析：法一：若一点为不等式组所表示的平面区域内 的点， 则该点必是不等式组的一个解，故可将选项中的 各点代入不等式组进行验证即可，验证可知，选项 C 中 的点满足题意，故选 C.
法二：不等式 x＋y－1＜0 表示直线 x＋y－1＝0 的左 下侧的平面区域，不等式 x－y＋1＞0 表示直线 x－y＋1 ＝0 的右下侧的平面区域，
因为 B(－2，－2)，C(8，－2)，所以 BC 中点 M(3， －2)．
将点 M 的坐标代入直线 3kx＋3y－4k－4＝0，可得 9k－6－4k－4＝0，所以 k＝2.
归纳升华 求二元一次不等式组所表示平面区域面积的方法与 注意事项 (1)求平面区域面积的方法： ①由不等式组表示出平面区域； ②若是规则图形，先求出关键点的坐标，再利用公式 求出面积．若是不规则图形，则将其分成若干个规则图形 求解．
(3)根据实际问题中有关的限制条件或根据问题中所 有量均有实际意义写出所有的不等式．
(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示 出来．
[变式训练] 某厂使用两种零件 A，B 装配两种产品
P，Q，该厂的生产能力是月产 P 产品最多有 2 500 件， 月产 Q 产品最多有 1 200 件；而且组装一件 P 产品要 4 个零件 A，2 个零件 B，组装一件 Q 产品要 6 个零件 A， 8 个零件 B，该厂在某个月能用的 A 零件最多 14 000 个， B 零件最多 12 000 个．用数学关系式和图形表示上述要 求．