广东省茂名市高州大井中学2018年高三数学文模拟试题含解析

广东省茂名市高州大井中学2018年高三数学文模拟试
题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知全集，集合，集合，那么
A. B. C. D.
参考答案：
A
2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）
A. 当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面所成角最大且为60°
B. 无论点F在BC1上怎么移动，都有
C. 当点F移动至BC1中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且
D. 无论点F在BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成角都不可能是30°
参考答案：
A
【分析】
根据题意，分别对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【详解】对于，当点移动到的中点时，直线与平面所成角由小到大再到小，如图1所示；
且为的中点时最大角的余弦值为，最大角大于，所以错误；
对于，在正方形中，面，又面，所以，因此正确；
对于，为的中点时，也是的中点，它们共面于平面，且必相交，
设为，连和，如图2，根据△△，可得，所以正确；
对于，当点从运动到时，异面直线与所成角由大到小再到大，且为
的中点时最小角的正切值为，最小角大于，所以正确；
故选：．
【点睛】本题考查了异面直线所成角的余弦值的求法，也考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系等应用问题，考查了空间想象能力、运算求解能力，是中档题．
3. 已知实数x，y满足，那么z=2x+y的最小值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
C
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，
此时z最小，
由，解得，
即A（1，2），此时z=1×2+2=4，
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的计算，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
4. 下列不等式一定成立的是
A.
B.
C.
D.
参考答案：
Ｃ.
此类题目多选用筛选法，对于Ａ当时，两边相等，故Ａ错误；对于Ｂ具有基本不等式的形式，但是不一定大于零，故Ｂ错误；对于Ｃ，
，显然成立；对于Ｄ任意都不成立．故选Ｃ．
5. 已知||=1，||=2，(﹣)=3，则与的夹角为（）
A．B．C．D．π
参考答案：
D
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】根据平面向量数量积的定义，即可求出与的夹角大小．
【解答】解：设与的夹角为θ，，，
∵?（﹣）=﹣?=12﹣1×2×cosθ=3，
∴cosθ=1；
又θ∈[0，π]，
∴与的夹角为π．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与应用问题，是基础题目．
6. 已知，则的值为
A． B． C．
D．
参考答案：
B
略
7. 已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增,则不等式
的解集为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
8. 在△ABC中，是角A、B、C成等差数列的（）
A．充分非必要条件B．充要条件
C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
略
9. （5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=时，f（x）取得最大值，则（）
A． f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数 B． f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数
C． f（x）在区间[3π，5π]上是减函数 D． f（x）在区间[4π，6π]上是减函数
参考答案：
A
【考点】：正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．
【专题】：三角函数的图像与性质．
【分析】：由函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=，且当
x=时，f（x）取得最大值，代入可得，2sin（φ）=2，结合已知﹣π＜φ≤π可
得φ=可得，分别求出函数的单调增区间和减区间，结合选项验证即可
解：∵函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=，
∴f（x）=2sin（φ），
∵当x=时，f（x）取得最大值，∴2sin（φ）=2，φ=+2kπ，
∵﹣π＜φ≤π，∴φ=，∴，
由可得函数的单调增区间：
，
由可得函数的单调减区间：，
结合选项可知A正确，
故选A．
【点评】：本题主要考查了利用函数的部分图象求解函数的解析式，还考查了函数
y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的单调区间的求解，属于对基础知识的考查．
10. 将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上各点的纵
坐标不变，横坐标压缩到原来的倍，最终所得图象对应的函数的最小正周期为
（）
A．B． C. D．2π
参考答案：
B
函数的图象向右平移个单位长度后得, 再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标压缩到原来的倍得,因此最小正周期为选B.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若满足约束条件则的取值范围为．
参考答案：
(0,2]
12. 在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为 .
参考答案：
解：由，得，，
，.
由的面积为，得，.
故，，.
当且仅当时，等号成立，的最小值为.
13. 为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用最小二乘法，求得回归方程所对应的直线分别为l1：y=0.7x﹣0.5和l2：y=0.8x﹣1，则这两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值S与对变量y的观测数据的平均值t的和是．
参考答案：
8
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】由题意，两组数据变量x的观测值的平均值都是s，对变量y的观测值的平均值都是t，可得两组数据的样本中心点都是（s，t），数据的样本中心点一定在线性回归直线上，可知回归直线l1和l2都过点（s，t）两条直线有公共点（s，t），即两条直线的交点．即可得解．
【解答】解：由题意，∵两组数据变量x的观测值的平均值都是s，对变量y的观测值的平均值都是t，
∴两组数据的样本中心点都是（s，t）
∵数据的样本中心点一定在线性回归直线上，
∴回归直线t1和t2都过点（s，t）
∴两条直线有公共点（s，t），
联立：，
解得：s=5，t=3，
∴s+t=8．
故答案为：8
14. 已知，则.
参考答案：
因为，所以，所以。

15. 在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，则下列结论正确的序号是．
①若a、b、c成等差数列，则B=；②若c=4，
b=2，B=，则△ABC有两解；
③若B=，b=1，ac=2，则a+c=2+；④若（2c﹣b）cosA=acosB，则
A=．
参考答案：
②③
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由a、b、c成等差数列，得a+c=2b，两边平方可得a2+c2+2ac=4b2，求出cosB不
一定等于判断①；利用正弦定理求出sinC，结合三角形中大边对大角判断②；求解三角形判断③④．
【解答】解：对于①，由a、b、c成等差数列，得a+c=2b，即a2+c2+2ac=4b2，
cosB==，当b2≠ac时，B，故①错误；
对于②，若c=4，b=2，B=，则sinC=＞，又c＞b，
∴△ABC有两解，故②正确；
对于③，∵B=，b=1，ac=2，
∴b2=1=a2+c2﹣2ac?cosB=a2+c2﹣6，则a2+c2=7，
∴，则a+c=2+，故③正确；
对于④，若（2c﹣b）cosA=acosB，则2sinCcosA﹣sinBcosA=sinAcosB，
∴2sinCcosA=sinC，则cosA=，A=，故④错误．
∴正确的命题是②③．
故答案为：②③．
16. 函数的定义域为．
参考答案：
略
17. (选修22P26习题5)曲线y＝x－cosx在x＝处的切线方程为________．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 数列{a n}的前n项和为S n，且a n是S n和1的等差中项，等差数列{b n}满足，
.
（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（2）设，数列{c n}的前n项和为T n，证明：.
参考答案：
(1) ，(2)见解析
【详解】试题分析：（1）由题中所给条件得，即，这是前项和与项的关系，我们可以利用把此式转化为数列的项的递推式，从而知数列是等比数列，通项易得，这样等差数列的，
，由基本量法可求得等差数列的通项公式；（2）数列是由等差数列相邻两项相乘后取倒数所得，其前项和应该用裂项相消法求得，而当求得后，所要证的不等式就显而易见成立了．
（1）∵是和的等差中项，∴
当时，，∴
当时，，∴，即
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，
设的公差为，，，∴∴
（2）
∴
∵,∴
考点：（1）已知数列前项和与项的关系，求通项公式，等差数列、等比数列通项公式；（2）裂项相消法求和与不等式．
19. （本小题满分14分）已知函数．
(Ⅰ) 若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；
（Ⅱ）若，成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
参考答案：
解法一：(Ⅰ) ，，…………………………………1分曲线在点处的切线平行于轴，
，……………………………………………………………2分即，……………………………………………………………3分
．…………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）依题意得，不等式即在恒成立；………………5分
设，ks5u
则，………………………………………………………………6分
当时，；当时，，
函数在单调递减，在单调递增，…………………………7分，，……………………………………………8分．
实数的取值范围为．…………………………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，，
（当且仅当时等号成立）
，…………………………………………………………10分，即，（当且仅当时等号成立）………………11分设，，则，
，…………12分
…………………………………13分
，．…………………………………14分
解法二：(Ⅰ) 同解法一
（Ⅱ），，…………………………………………5分若，则，当时恒成立，
在上单调递增，
满足题意．…………………………………………………6分
若，由解得，
当，，，，
函数在单调递减，在单调递增，………………………7分时，，解得
．………………………………………………………………………8分
综上所述，实数的取值范围为．………………………………………9分
（Ⅲ）同解法一
（其他解法相应给分）
20. 如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．
（Ⅰ）当∠PEC=75°时，求∠PDF的度数；
（Ⅱ）求PE?PF的值．
参考答案：
【考点】与圆有关的比例线段．
【专题】选作题；推理和证明．
【分析】（Ⅰ）连结BD，则∠BDA=90°，利用∠CDB=∠CAB，即可证明结论；
（Ⅱ）利用割线定理，即可求出PE?PF的值．
【解答】解：（Ⅰ）连结BD，则∠BDA=90°…
∵∠CDB=∠CAB…
∠PEC=90°﹣∠CAB，…
∠PDF=90°﹣∠CDB…
∴∠PEC=∠PDF=75°；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：∠PEC=∠PDF，
∴D，C，E，F四点共圆，…
∵AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，
∴PE?PF=PC?PD=PB?PA=2×12=24．
【点评】本题考查四点共圆是证明，考查割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21. 已知，设向量，．
（1）若∥，求x的值；
（2）若，求的值．
参考答案：
解：（1）因为，，且∥，
所以，即．……………………………………4分
又，
所以．……………………………………………………………………6分
（2）因为，，且，
所以，即．……………………………8分
令，则，且，
因为，故，
所以．……………………………………11分
所以
．………………………………14分
22. （本小题满分14分）已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为，并且与平行.
（1）求的值；
（2）已知实数t∈R，求的取值范围及函数
的最小值；
（3）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
解.（1）图象与轴异于原点的交点，
图象与轴的交点，
由题意可得，即
，……………………2分
∴，
…………………3分（2）=…4分令，在时，，
∴在单调递增，
………………5分
图象的对称轴，抛物线开口向上
①当即时，
………………6分
②当即时， (7)
分
③当即时，
…………………8分
,
所以在区间上单调递增………………………9分
∴时，
①当时，有，
，
得，同理，…………………１０分∴ 由的单调性知、
从而有，符合题
设. ………………11分
②当时，，
，
由的单调性知，
∴，与题设不符……………12分
③当时，同理可得，
得，与题设不
符. ……………………13分
∴综合①、②、③得
……………14分略。