广东省深圳市宝安中学2013-高二上学期期中测试数学(理)试卷

宝安中学2013—2014学年第一学期期中考试
高二数学（理科）
本卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分， 第Ⅱ卷为9-20题，共110分。

全卷共计150分。

考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（本卷共40分）
一：选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，共计40分）
1若a ＜b ＜0，则 （ ） A ． b
11<a
B ． 0＜b
a ＜1
C ． a b ＞b 2
D ．
b
b a a > 2.已知x 、y 满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-.3,0,05x y x y x 则2x+4y 的最小值为 （ ）
A ．6
B ．-6
C ．12
D ．-12
3. 在ABC ∆中，
60=B ，若此三角形最大边与最小边之比为2:)13(+，则最大
内角 （ ）
A ．
45 B ．
60 C ．
75 D ．
90
4. 在等比数列{}n a 中0(1,2,3,
)n a n >=，若569a a ⋅=，则
313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+等于 （ ）
A ．8
B ．10
C ．12
D ．32log 5+
5. 已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138
B ．135
C ．95
D ．23
6. 已知不等式2
50ax x b -+>的解集是{|32}x x -<<-，则不等式2
50
bx x a -+>的解集是 （ ）
A ．｛x|32x x <->-或｝
B ．｛x|12x <-或1
3
x >-｝
C ．｛x|11
23
x -<<-｝ D ．｛x|32x -<<-｝
7. 在ABC ∆中，1=AB ，2=BC ，则角C 的取值范围是 （ ） A ．]6,
0(π
B ．]3,0(π
C ．]2,6(ππ
D ．),6
[ππ
8. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S 且满足17180,0S S ><,则
17
12
12
17
,,,
S S S a a a 中最大的项为 （ ） A ．
66S a B ．77S a C ．88S a D ．99
S
a 第Ⅱ卷（本卷共计110分）
二、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分。

要求只填最后结果。

9.点(2,1)和(1,2)在直线10ax y ++=的两边，则a 的取值范围是_________
10在等差数列{}n a 中，已知78a a =，0d <，则使它的前n 项和n S 取得最大值的自然数n ＝______．
11. 在△ABC 中, ∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a , b , c ，若::3:5:6a b c =, 则
2sin sin sin b A c B
a C
+=__________.
12.若1,,1x x x -+是钝角三角形的三边长，则实数x 的取值范围________ 13. 在数列{}n a 中，
2125
4,,2
n n a n a a a an bn =-++
+=+其中,a b 为常数，则
2a b +的值为 ____．
14. 数列｛a n ｝与｛b n ｝，若a n =n+1，b 1=a 1，b n =1-n b a ，则b n = .
三、解答题：（本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.）
15. （本题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin
2
A ＋B
2－cos 2C ＝7
2
，且a ＋b ＝5，c ＝7，（1）求角C （2）求三角形的面积
16. （本题满分12分）
在三角形ABC 中，其三边分别为,,AB c AC b BC a === （1）若5c =，求cos cos a B b A +的值；
（2）若sin sin cos A C B =，判断三角形ABC 形状ABC .
（3）若三角形ABC 是直角三角形，sin sin cos A k C B =，求k 的取值范围
17. （本题满分14分）
已知二次函数2
()f x ax bx c =++，满足(1)0f = （1） 若1,c =解不等式()0f x >
（2）若a b c >>，设方程()0f x =的最小根为0x ，确定,a c 的符号并求0x 的取值范围；
18. （本题满分14分） 已知数列{}n a 满足
112
,11(1)
n n a a a n n n n +=+=++，数列{}n b 满足n n b na = （1）证明数列{}n b 是等差数列；（2） 求数列{}n a 的通项公式； （3）求数列{}
2n n b 的前n 项的和n S .
19. （本题满分14分）
已知数列{a n }的前n 项为和S n ，点),
(n S n n 在直线2
11
21+=x y 上. 数列{b n }满足11),(023*
12=∈=+-++b N n b b b n n n 且，前9项和为153.
（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （2）设)12)(112(3--=
n n n b a c ，数列{c n }的前n 和为T n ，求使不等式57
k
T n >对一切
*N n ∈都成立的最大正整数k 的值.
20.（本题满分14分）
已知2
()(1),()10(1)f x x g x x =-=-，数列{}n a 满足
119
2,()()()0,(2)(1)10
n n n n n n a a a g a f a b n a +=-+==
+- （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）当n 取何值时，n b 取最大值，并求出最大值。

宝安中学高二期中测试（理科数学）参考答案
一：CBCB
CCAD
二：填空题
9. (3,1)--；10. 7；11. 10
3
；12. (2,4)；13. 1；14. 1n b n =+ 三：解答题
15. 解（1） 因为4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝7
2
，
所以2－2cos 2
C ＋1＝72，
2＋2cos C －2cos 2
C ＋1＝72
，
cos 2
C －cos C ＋14＝0，解得cos C ＝12
. 6分
03
C C π
π<<∴=
7分
（2）根据余弦定理有cos C ＝12＝a 2
＋b 2
－72ab ，ab ＝a 2＋b 2
－7，
3ab ＝a 2
＋b 2
＋2ab －7＝(a ＋b )2
－7＝25－7＝18，ab ＝6. 10分 所以S ＝12ab sin C ＝12×6×32＝33
2
. 12分
16解：
（1）解法1：cos cos 2sin cos 2sin cos 2sin()a B b A R A B R B A R A B +=+=+
2sin 5R C c ===
解法2：222222
cos cos 522a c b b c a a B b A a b c ac bc
+-+-+=⋅
+⋅== 3分 （2）
sin sin sin cos cos sin A
A C
B B C
=∴
= 2222222a a c b c a b c ac
+-∴=∴=+，故三角形ABC 为直角三角形 6分 （3）若0
90A =，则0
90sin cos B C C B +=∴=
20021sin 0900sin 11k C
C C k ∴=<<∴<<∴> 8分
若0
90B =，则sin 0A ∴=k ∴不存在 9分 若0
90C =，则0
90sin cos A B A B +=∴=1k ∴= 11分
1k ∴≥ 12分
17. 解：(1)00f a b c =∴++=， 1分
（1）
1,1c b a =∴=--，2()0(1)10f x ax a x >∴-++> 2分
即(1)(1)0
ax x -->2()f x ax bx c =++为二次函数0a ∴≠
当01a <<时，不等式解为1
(,1)(,)a
-∞+∞ 4分 当1a =时，不等式解为(,1)(1,)-∞+∞
当1a >时，不等式解为1(,)
(1,)a
-∞+∞ 6分
当0a <时，不等式解为1(,1)a
7分 （2）
0a b c ++=，0a b c a b c c c c c >>∴++>++∴<
0a b c a a a a ∴++<++∴>，故0,0a c >< 10分
2()00
f x ax bx c =∴++=0a b c ++=
2()0ax a c x c ∴-++=(1)()0x ax c ∴--=
00,0c
a c x a
><∴=
11分 0a b c ++=，22a c
a b c a a c c a c >-⎧>>∴>-->∴⎨
<-⎩ 122c a ∴-<
<-，01
(2,)2
x ∴∈-- 14分 18.(1).证明：
112
,(1)21(1)
n n n n a a n a na n n n n ++=+∴+=+++ 1122n n n n b b b b ++∴=+∴-=，
故数列{}n b 是以111b a ==为首项2为公差的等差数列 5分 （2）由（1）得12(1)21n b n n =+-=-
21
21n n n na n a n
-∴=-∴=
9分
（3）由（2）21n b n =- 2(21)2n n
n b n ∴=-，
231123252(23)2(21)2n n n S n n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+- 23412123252(23)2(21)2n n n S n n +∴=⋅+⋅+⋅+
+-⋅+-
两式相减得23
1(12)22(222)(21)2n n n S n +-=++++--
23
1(12)2(2222)2(21)2n n n S n +-=+++
+---
1(21)26n n S n +=-+ 14分
19. 解：（1）由题意，得
.2
1121,211212n n S n n S n n +=+=即 故当2≥n 时，.5)]1(2
11
)1(21[)2112
1
(22
1+=-+--+
=-=-n n n n n S S a n n n 当n = 1时，611==S a ，而当n = 1时，n + 5 = 6，
所以，).(5*
N n n a n ∈+= …………………………………………………… 4分 又)(,02*
11212N n b b b b b b b n n n n n n n ∈-=-=+-+++++即，
所以{b n }为等差数列，于是
.1532
)
(973=+b b 而.33
711
23,23,1173=--=
==d b b 故
因此，).(23,23)3(3*
3N n n b n n b b n n ∈+=+=-+=即 ………………8分
（2）]
1)23(2][11)5(2[3
)12)(112(3-+-+=--=
n n b a c n n n
).1
21
121(21)12)(12(1+--=+-=
n n n n …………………………9分
所以，
)]1
21121()7151()5131()311[(2121+--++-+-+-=+++=n n c c c T n n .12)1211(21+=+-
=n n
n …………………………………………11分 由于0)
12)(32(1
123211>++=+-++=
-+n n n n n n T T n n ，
因此T n 单调递增，故.3
1
)(min =n T ………………………………………………13分 令.18,19,57
31max =<>K k k
所以得 …………………………………………14分
20.⑴解：∵(a n +1－a n )·g(a n )+f(a n )=0 f(a n )=(a n －1)2 g(a n )=10（a n －1）
∴10(a n+1－a n )(a n －1)+(an －1)2=0 即(a n －1)(10a n+1-9a n －1)=0 又a 1=2，可知对任何n ∈N x ，a n －1≠0 ∴ a n+1=10
1
109+n a …4分 ∵
10
9111=--+n n a a
∴｛a n －1｝是以a 1－1=1为首项，
公比为
10
9
的等比数列
a n －1=1
109-⎪
⎭⎫ ⎝⎛n ∴ a n =1+1
109-⎪
⎭
⎫
⎝⎛n ………6分
⑵由⑴可知，a n －1=1
109-⎪
⎭
⎫
⎝⎛n （n ∈N +） ∴b n =（n+2）n
⎪⎭
⎫
⎝⎛109
⎪⎭
⎫
⎝⎛++=+2111091n b b n n
……………………8分
当n=7时，
17
8
=b b …………………10分
当n ＞7时，
n
n b b 1
+＜1 ∴b n+1＜b n 当n ＜7时，
n
n b b 1
+＞1 ∴b n+1＞b n ………12分 ∴当n=7或n=8时，b n 取最大值，最大值为b 7=b 8=78
10
9
…………14分。