同济大学高等数学1-5极限的运算法则PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课

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极限计算 一些基本极限（已经证实或显著）
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例 1 求lim(3x2 5x 8). x1
解：lim(3x2 5x 8) lim3x2 lim5x lim8.
x1
x1
x1
x1
3lim x2 5lim x 8.
x1
x1
3(lim x)2 5 8 3 5 8 6. x1
分母有理化
解:
lim x 1 lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1 x1
x 1
x1
2
35第35页
练习 求 lim x ( x2 1 x) x
解:
原式= lim x
x
lim
x 2 1 x x
1 1
1
1 x2
1
2
36第36页
内容小结
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法
( 要求分母不为 0 )
2) x x0 时, 对
0 型 , 约去公因子， 0
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
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问: 无穷大是否有类似性质？ 以下命题成立？ （1）两个无穷大之和也是无穷大 ？ （2）两个无穷大积也是无穷大？ （3）无穷大与有界函数和也是 无穷大？ （4）无穷大与有界函数乘积也是无穷大？ （5）无穷大与无穷小乘积是什么？
说不清楚，有各种可能
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求
lim
x
7x3 2x2
4x2 1. 3x 5
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大.
lim
x
7x3 2x2
4x2 1 3x 5
lim
x
7 2 x
4 x
1 x3
3 x2
5 x3
.
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结论 ：( 型 )
a0 , 当 n m
lim
x
a0 xm b0 xn
a1xm1 b1xn1
第一章
第五节 极限运算法则
一 、无穷小运算法则 二、 极限四则运算法则 三、 复合函数极限运算法则
第1页
一、 无穷小运算法则
命题 两个无穷小和还是无穷小 .
lim 0 lim 0 lim( ) 0
直观记忆：0+0=0
同理可证：三个无穷小之和也是无穷小 .
用数学归纳法可证: 定理1：有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
结论：
设多项式 f ( x) a0 xn a1 xn1 an , 则有
lim
x x0
f
(
x)
a0
(
lim
x x0
x)n
a1
( lim x x0
x)n1
an
a0 x0n
a1
x n1 0
an
f ( x0 ).
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例例2. 1 求
x3 1
lim
x2
x2
3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
)
lim 1
n
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2
n
n2
lim 1 (1 n 2
1) n
1. 2
拆项相消
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例8 (1)求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
y sin x x
lim sin x 0. x x
(利用无穷小性质)
=0 (2)
解:
原式
lim
x0
x2 (1
1 x2
x2
)
lim[(1 1 x2 )] 2 . x0
第26页
例6 (1)
求
lim
x
3x3 5x3
2x 5 4x2 1
.
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大.
先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限.
3x3 2x 5
lim
x
5x3
4x2
1
lim
x
3 5
2 x2 4
x
5
x3 1
x3
3. 5
“ 抓大头”
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例6 (2)
求
lim
x
2x2 7x3
3x 5 4x2 1
.
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大.
lim
x
2x2 7x3
3x 5 4x2 1
lim
x
2 x 7
3 x2
5 x3
4 x
1 x3
0.
第28页
例6 (3)
先消去零因子 x 1后再求极限.
lim
x1
x2
x2 1 2x
3
lim
x1
(x (x
1)( x 3)( x
1) 1)
lim x 1 1 . x1 x 3 2
消去零因子法
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例5
第19页
例5
第20页
结论：
第21页
1.
2.
2x 3
lim
x 1
x2
5x
4
.
3.
1
2
lim( x1 1
x
1
x2
).
4
lim x2 x0 1 1 x2
第22页
练习1. 解:
lim (x 3)(x 1) x3 (x 3)(x 3)
lim x 1 x3 x 3
第23页23
练习2.
2x 3
lim
x 1
x2
5x
4
.
解: x = 1 时 分母=0 , 分子≠0, 但因
lim x2 5x 4 12 5 1 4
yn
B ，则
(1)
lim(
n
xn
yn )
A B;
(2)
lim
n
xn
yn
AB;
(3)
当 yn
0且 B
0时， lim n
xn yn
A. B
注意：极限四则运算法则成立条件为：
参加四则运算各项极限都存在！
定理 5 若lim f (x) A，lim g(x) B，且 f (x) g(x)， 则 A B.
x x
) )
,
且Q(
x0
)
0,
则有
lim P( x)
lim f ( x) x x0
x x0
lim Q( x)
x x0
P(x0 ) Q( x0 )
f ( x0 ).
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
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例3
求
lim
x1
x2
4x 1 2x
3
.
解 lim( x 2 2x 3) 0, x1
又lim(4x 1) 3 0, x1
lim x2 2x 3 0 0.
x1 4x 1
3
商法则不能用
由无穷小与无穷大关系,得
lim
x1
x
2
4x 1 2x
3
.
先求其倒数极限
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结论：
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例4
求
lim
x 1
x2
x2 1 2x
3
.
( 0型) 0
解 x 1时,分子,分母的极限都是零.
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定理 2. 有界函数与无穷小乘积是无穷小.
直观记忆：M*0=0 这是一个很有用性质，惯用于极限计算。 回想一些主要有界函数。
第3页
常见有界函数
4 第4页
注意： 也有界
记忆口诀：外函数有界，复合函数必有界。
5 第5页
定理 2. 有界函数与无穷小乘积是无穷小. 推论 1 . 常数与无穷小乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小乘积是无穷小 . 注: 无限个无穷小乘积不一定是无穷小 !
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求
lim
x
x 2008 x 2009
3x 5x
1 1
sin
x.
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三、 复合函数极限运算法则
定理6：
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例9. 求
lim
x3
x x2
3 9
.
解:
令u
x3 x2 9
则
1 lim u
x3 6
∴ 原式 = lim u 1
u
1 6
6
6 6
复合函数求导 （变量代换）
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练习. 求 lim x 1 . x1 x 1
定理3 若 则
9 第9页
推论 1 . 若 lim f (x)存在，且 C为常数, 则 lim[C f (x)] C lim f (x).
推论 2 . 若 lim f (x)存在，且 n为正整数,
则 lim[ f (x)]n [ lim f (x) ]n
10第10页
定理 4.
若
lim
n
xn
A，lim n
x1 2x 3
21 3
0
第24页24
练习3.
1
2
lim( x1 1
x
1
x2
).
通分
解：
lim ( x1 1
1
x
1
2 x2
)
lim
x1
1
1
x
(1
2 x)(1
x)
lim
x1
(1
x1 x)(1
x)
lim 1 x1 1 x
1 . 2
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练习4
lim x2 x0 1 1 x2
am bn
b0 0,
当nm
( a0b0 0, m , n为非负常数)
, 当nm
注:这种极限结果只取决于分子和分母中最大项，其 它项对结果毫无影响。 “ 抓大头”
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例7
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无穷小之和． 先变形再求极限.
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x3 1 x2 3x 5
lim x 3 lim1
x2
x2
lim( x 2 3x 5)
23 1 3
7. 3
x2
14第14页
结论：
设有理分式函数
f (x)
P( Q(