四川省成都实验外国语高2021届高三11月月考数学(文)试题 Word版含答案

成都试验外国语高2021届（高三）11月考数学文科题 成都试验外国语学校 赵光明 第I 卷（选择题，50分）
一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）
1. 若集合}1|{2<=x x M ，1{|}N x y x
==
，则N M =D
A ．N
B ．M
C ．φ
D ．{|01}x x <<
2．下列结论正确的是C
A ．若向量//a b ，则存在唯一的实数λ使得a λb =；
B ．已知向量,a b 为非零向量，则“,a b 的夹角为钝角”的充要条件是
“0a b ⋅<”；
C ．“若3πθ=
，则1cos 2θ=”的否命题为“若3
π
θ≠，则1cos 2θ≠”；
D ．若命题2:,10p x R x x ∃∈-+<，则2
:,10p x R x x ⌝∀∈-+>
3.某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是9
5
,则C
A ．6a =
B ．5a =
C ．4a =
D ．7a =
4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15S 为一确定常数，下列各式也为确定常数的是（ C ）
A ．213a a +
B ．213a a
C ．1815a a a ++
D ．1815a a a
5、某四周体的三视图如图所示，正视图、侧视图、 俯视图都是边长为1的正方形，则此四周体的外接 球的表面积为A
A.3π
B.π4
C.π2
D.π2
5
6下列曲线中焦点坐标为)0,1(-的是( A )
A ． 13232
2=-y x B ．24x y -= C ．13422=-y x D ．13222=+y x
7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所的 θ角的取值范围是D A.
B.
C.
D.
8．如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，F 在线段CD （不在端点处）上，设AB a =，AC b =，AF xa yb =+，
则14
x y
+的最小值为D A. 6+22
B. 93
C. 9
D. 6+42
9．设函数f(x)＝⎩⎨⎧x －[x]，x≥0
f （x ＋1），x<0，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－1.3]＝－2，[1.3]
＝1，则函数y ＝f(x)－14x －1
4
不同零点的个数为(B)
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10.对于三次函数32
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是
()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”。

经过探究发
觉：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。

设函数
32115()33212
g x x x x =-+-，
则=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20142013......2014220141g g g C A . 2011 B . 2022 C . 2021 D . 2022
第II 卷（非选择题，共100分）
二、填空题（5分每题，共计25分）
11．设复数
1i
i 2i
x y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．-2/5 12．直线2
2
02ax by a b x y +++=+=与圆的位置关系为 相交或相切
13．已知二次函数4)(2+-=ax x x f ，若)1(+x f 是偶函数，则实数的值为------2
D C
B
F
A 俯视图
正视图
侧视图
14、动点(,)P a b 在不等式组20
00x y x y y +-≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
表示的平面区域内部及其边界上运动，则31a b w a +-=-的取值范围
是 . (,1][3,)-∞-⋃+∞
15. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周
期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n n a a a a a +->⎧⎪
⎨<≤⎪⎩，
现给出以下命题： ①若34a =，则m
可以取3个不同的值 ②若2m =，则数列{}n a 是周期为3的数列 ③T ∀∈*N 且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列
④Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列。

其中全部真命题的序号是 （1）（2）（3） .
三．解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必需写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
16.（本小题12分）已知函数()R x x x x f ∈--=2
1
cos 2sin 23)(2
（Ⅰ）当⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-
∈125,12ππx 时，求函数()x f 取得最大值和最小值时x 的值； （Ⅱ）设锐角ABC ∆的内角A 、B 、C 的对应边分别是c b a ,,，且*,1N c a ∈=，若向量()A m sin ,1=与向
量()B n sin ,2=平行，求c 的值。

解：（1）
………………………..3分
，
……..4分
所以当，取得最大值；
当
，取得最小值；………..6分
（2）由于向量
与向量
平行，
所以， …………….8分
由余弦定理
，
，又
，经检验符合三角形要求………..12分
17．（本小题12分） 在数列{}n
a 中，11=a ，)(2
1......321321*+∈+=++++N n a n na a a a n n （1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）若存在*
n N ∈，使得(1)n a n λ≤+成立，求实数λ的最小值.
解：（1）21,123,2n n n a n n
-=⎧⎪
=⎨⋅≥⎪⎩ ……………… 6分
（2）()1,1
n n a a n n λλ≤+⇔≥+由（1）可知当2n ≥时，
()2
23,11n n a n n n -⋅=++ 设()()
()*12,23
n
n n f n n n N +=≥∈⋅ ……………… 8分 则()()()()()()()1
21111
10,2231n n n f n f n n f n f n -+-+-=
<∴>≥⋅+又()1123f =及1122
a =，所以所求实数λ的最小值为1
3
---------------12分
18．（本小题12分）
某校高三班级文科同学600名，从参与期末考试的同学中随机抽出某班同学(该班共50名同学)，并统计了他们的数学成果（成果均为整数且满分为150分），数学成果分组及各组频数如下表：
（1）写出a 、b 的值；
（2）估量该校文科生数学成果在120分以上同学人数； （3）该班为提高整体数学成果，打算成立“二帮一”小组，即从成果在[135，150]中选两位同学，来挂念成果在[45，60）中的某一位同学．已知甲同学的成果为56分， 乙同学的成果为145分，求甲乙在同一小组的概率．
18．（1）6、
0.12 ………2分
（2）成果在120分以上的有6+4=10人，
所以估量该校文科生数学成果在120分以上的同学有：
12060050
10
=⨯ 人. ……6分 （3）[45，60）内有2人，记为甲、A ．[135，150]内有4人，记为乙、B 、C 、D ．
法一：“二帮一”小组有以下6种分组方法：（甲乙B ，ACD ）、（甲乙C ，ABD ）、（甲乙D ，ABC ）、（甲BC ，A 乙D ）、（甲BD ，A 乙C ）、（甲CD ，A 乙B ）．
其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种方法：（甲乙B ，ACD ）、（甲乙C ，ABD ）、（甲乙D ，ABC ）．所以甲、乙分到同一组的概率为2
1
63==
P . ………12分 （法二：乙可能和甲或和A 分到同一组，且等可能，故甲、乙分到同一组的概率为2
1）
19（本小题12分）.如图，在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 、Q 分别为AD 、CD 、1BB 、11C D 的中点．
（1）求点P 到平面MNQ 的距离；
（2）求直线PN 与平面MPQ 所成角的正弦值．
19．解：方法1（几何法）：∵1BB 平面MNQ ，
∴点P 到平面MNQ 的距离等于点B 到平面MNQ 的距离．设
BE MN ⊥得BE ⊥平
BD MN E =．∵平面MNQ ⊥平面ABCD ，∴由面MNQ ，∴点P 到平面MNQ 的距离为33244
BE BD a =
．---------6分 （2）设点N 到平面MNQ 的距离为d ．可以求得6
MP PQ QM ===
， ∴22
3633()MPQ S ∆=．2122MNQ S MN NQ ∆=⋅=
．由N MPQ P MNQ V V --=得
113
2334
MPQ MNQ S d S a ∆∆⋅=，∴3d =．设直线PN 与平面MPQ 所成的角为θ，则2
sin d PN θ==
PN 与平面MPQ 所成的2
---------12分 方法2（空间向量方法） 建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）(,,)(0,0,)(,,0)DB a a a a a a =-=是平面MNQ 的一个法向量．
∵(,,)(0,,0)(,,)2222
a
a a a QP a a a =-=，∴点P 到平面MNQ 的距离3
|
|24||QP DB d a DB ⋅==
． （2）设平面MPQ 的一个法向量为(,,1)x y =n ．(,0,)(,,)(,,)2
2
2
2
a a a
a PM a a a a =-=--．
由0,0
PM QP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,22
0,22
a
a x ay a a ax y ⎧--+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩得1,1,x y =-⎧⎨=⎩
∴(1,1,1)=-n ．(0,,)(,,)(,,)2222
a a a a PN a a a a =-=--． 2
cos ,PN <>=
n ．设直线PN 与平面MPQ 所成的角为θ，则 2
sin cos()|cos ,|2PN πθθ=-=<>n ．
20．(本小题13分)
设椭圆E 中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为4,点Q （22 （1）求椭圆E 的方程；
（2）设动直线L 交椭圆E 于A 、B 两点，且OA OB ⊥，求△OAB 的面积的取值范围。

（3）过M （11,y x ）的直线1l :28211=+y y x x 与过N （22,y x ）的直线2l :
28222=+y y x x 的交点P （00,y x ）在椭圆E 上，直线MN 与椭圆E 的两准线分别交于G ，H 两点，求−→
−OG •−→
−OH 的值。

20解:（1）由于椭圆E: 22
221x y a b
+=（a>b>0）过M （22 ，2b=4
分组 频数 频率 [45，60） 2 0．04 [60，75） 4 0．08 [75，90） 8 0．16 [90，105） 11 0．22 [105，120） 15
0．30
[120，135） a
b
[135，150] 4 0．08 合计
50
1
故可求得b=2,
椭圆E 的方程为22
1
84x y += --------3分
（2）设P （x,y ）,A （x1,y1）,B （x2,y2），当直线L 斜率存在时设方程为y kx m =+，
解方程组2218
4x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222
(12)4280k x kmx m +++-=,
则△=2
2
2
2
2
2
164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>, 即2
2840k m -+>（）
122
2
1224122812km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
,2222222
2
212121212222
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k
--=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即222
22
28801212m m k k k
--+=++, 所以22
3880m k --=, 即2
2
88
3
k m +=
① 将它代入（）式可得2
[0,)k ∈+∞
P 到L
的距离为d =
又
121|||2S AB d x x ∴=
=-=
将
22
883k m +=
及韦达定理代入可得S =① 当0k ≠
时S ==由2
2
1
4[4,)k k +
∈+∞
故8(,3S = ② 当0k =时, 83
S =
③ 当AB 的斜率不存在时, 83S =
,综上
S 8
3
⎡∈⎢⎣------------8分
（3）点P （00,y x ）在直线1l :28211=+y y x x 和2l ：28222=+y y x x 上，
2820101=+y y x x ，2820202=+y y x x
故点M （11,y x ）N （22,y x ）在直线28200=+y y x x 上 故直线MN 的方程，28200=+y y x x 上 设G ，H 分别是直线MN 与椭圆准线，4±=x 的交点
由28200=+y y x x 和4-=x 得G （-4，
224y x +）
由28200=+y y x x 和4=x 得H （4，
224y x -）
故−→
−OG •−→
−OH =-16+
2
2
432y x -
又P （00,y x ）在椭圆E ：14
82
2=+y x 有14
82
020=+y x 故2
0208324y x -=
−→
−OG •−→
−OH =-16+
2
2
0)
832(32y y --=-8------------13分
21.（本小题14分）
已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a ＞0，a ≠1)．
（1）当a ＞1时，求证：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；
（2）若函数y ＝|f (x )－t |－1有三个零点，求t 的值；
（3）若存在x 1，x 2∈[－1，1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围．
解：（1）()ln 2ln 2(1)ln x x
f x a a x a x a a '=+-=+-．………………………
由于1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10x
a a >->，所以()0f x '>，
故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．……………………………………………4分 （2）当0,1a a >≠时，由于(0)0f '=，且()f x '在R 上单调递增， 故()0f x '=有唯一解0x =．
所以,(),()x f x f x '的变化状况如下表所示：
又函数|()|1y f x t =--有三个零点，所以方程()1f x t =±有三个根， 而11t t +>-，所以min 1(())(0)1t f x f -===，解得2t =．………………10分 （3）由于存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，
所以当[1,1]x ∈-时，max min max min |(())(())|(())(())1f x f x f x f x e -=-≥-． 由（2）知，()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，
所以当[1,1]x ∈-时，{}min max (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-．
而11
(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a
a
--=+--++=-
-， 记1()2ln (0)g t t t t t =-->，由于2
2121()1(1)0g t t t t '=+-=-≥（当1t =时取等号），
所以1
()2ln g t t t t
=--在(0,)t ∈+∞上单调递增．
而(1)0g =，故当1t >时，()0g t >；当01t <<时，()0g t <．即当1a >时，(1)(1)f f >-； 当01a <<时，(1)(1)f f <-．
①当1a >时，由(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥； ②当01a <<时，由11(1)(0)1ln 10f f e a e a a e
--≥-⇒
+≥-⇒<≤． 综上可知，所求a 的取值范围为[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞ ⎥
⎝⎦
． ---------14分。