高二数学下学期第一次月考试题 理_1 11

奉新县第一中学2021-2021学年高二数学下学期第一次月考试题 理
一、选择题：〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分〕 1．假设5i
2i
z =
+，那么z z -=〔 〕 A. 2 B. 2- C. 4i - D. 4i
2．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A ．24
B ． 2
C ． 22
D ． 4 3．函数2
3
2x x y -=的极大值是( )
A. -9
B. 0
C. 16
27 D.3
1
4．函数f (x )＝2x x ln 2-的单调递增区间是( )
A. ),21(+∞
B.)0,21(-
和),21(+∞ C. )21,0( D.)21,(--∞和)2
1,0( 5．双曲线C ：x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a>0，b ＞0)的离心率为2
5，那么C 的渐近线方程为( )
A ．y ＝±12x
B ．y ＝±13x
C ．y ＝±1
4
x D ．y ＝±x
6．?聊斋志异?中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．〞在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术〞：2
23
＝223，338
＝338
，4415
＝4415
，5524
＝5
5
24
，…，那么按照以上规律，假设99
n
＝
99
n
具有“穿墙术〞，那么n ＝( )
A ． 48
B ． 25
C ． 80
D ．63
7. 假设a>2，那么函数f(x)＝13
x 3－ax 2
＋1在区间(0，2)上恰好有( )
A ．0个零点
B ．1个零点
C ．2个零点
D ．3个零点
8. 过原点O 作直线l 交椭圆x 2
a 2＋y
2
b 2＝1(a>b>0)于点A 、B ，椭圆的右焦点为F 2F 2，且sin ∠ABF 2
＝e ，那么e ＝( )
A.1
2 B. 32 C.2
2 D.
2
3
9. P 是椭圆x 2
25＋y 2
b
2＝1，(0<b<5)上除顶点外的一点，F 1是椭圆的左焦点，假设|OP →＋OF 1→
|＝8
那么点P 到该椭圆左焦点的间隔 为( )
A ．2
B ．4
C ．6 D. 5
2
10. 设函数f (x )＝13x 3－a 2
x 2
＋2x ＋1，假设f (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，那
么实数a 的取值范围是( )
A ．(22，＋∞)
B ．[22，＋∞)
C ． (－∞，－22]
D ．(－∞，－22) 11．f(x)是定义在),0()0,(+∞⋃-∞上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf ′(x)<0，且f(－4)
＝0，那么不等式f(x)>0的解集为( )
A ．(－4，0)∪(4，＋∞)
B ．(－4，0)∪(0，4)
C ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
D ．(－∞，－4)∪(0，4)
12. 假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a ln x －x 2－2x >0，x ＋1
x
＋a x <0的最大值为f (－1)，那么实数a 的取值
范围为( )
A ．[0,2e 2] B. (0,2e 2] C ．[0,2e 3] D.(0,2e 3
] 二、填空题：(此题一共4小题，每一小题5分，一共20分) 13.
()π
20
cos sin d x x x -⎰＝________.
14. 用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)……(n ＋n )＝2n
·1×3……(2n ＋1)(n ∈N)，从“k 到k
＋1〞左端需增乘的代数式为
15．椭圆x 2
9＋y
2
m
＝1(0<m<9)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，假
设|AF 2|＋|BF 2|的最大值为10，那么m 的值是________． 16. 函数f (x )＝
m e x
2
与函数g (x )＝－2x 2
－x ＋1的图象有两个不同的交点，那么实数m 的取
值范围为
三、解答题：(本大题一一共6小题，满分是70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤).
17．〔本小题满分是10分〕
m 为何实数时，复数()()()223121z i m i m i =+-+--满足以下要求：
〔1〕z 是纯虚数；
〔2〕z 在复平面内对应的点在第二象限；
〔3〕z 在复平面内对应的点在直线50x y --=上.
18. 〔本小题满分是12分〕
函数f(x)＝x 2
－8lnx ，g(x)＝－x 2
＋14x. (1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)假设函数f(x)与g(x)在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；
19. 〔本小题满分是12分〕
设直线l 的方程为5)2(++=y m x ,该直线交抛物线x y C 4:2
=于Q P ,两个不同的点.
(1)假设点)2,5(-A 为线段PQ 的中点,求直线l 的方程; (2)证明:以线段PQ 为直径的圆M 恒过点)2,1(B .
20. 〔本小题满分是12分〕
函数f (x )＝(x 2
－x －5)e x ，g (x )＝tx 2＋e x －4e 2
(t ∈R )(其中e 为自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的单调区间与极小值；
(2)是否存在t <0，对任意的x 1∈R ，任意的x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)> g (x 2)？假设存在，求出t 的取值范围；假设不存在，请说明理由．
21.〔本小题满分是12分〕
动圆过定点()10，
，且与直线1-=y 相切.
〔1〕求动圆圆心的轨迹C 的方程；
〔2〕过轨迹C 上一点),2(n M 作倾斜角互补的两条直线，分别与C 交于异于M 的,A B 两点. ①求证：直线AB 的斜率为定值；
②假如,A B 两点的横坐标均不大于0，求MAB ∆面积的最大值.
22. 〔本小题满分是12分〕
设函数()2cos (1)ln(1)f x x x x x =--+++，2
2()()g x k x x
=+.其中0k ≠. 〔1〕讨论函数()g x 的单调区间；
〔2〕假设存在1(1,1]x ∈-，对任意21(,2]2
x ∈，使得12()()6f x g x k -<-成立，求k
的取值范围.
2021届高二年级下学期第一次月考数学〔理科〕参考答案
D D B A A C B C A D B C
13.0 14.2(2k ＋1). 15. 3 16. [0,2e)∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
－18e2
17.(1)12m =-；(2)1,12m ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
；(3)3m =±.
18. 解 (1)因为f ′(x)＝2x －8
x
，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6.
又f(1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)．即y ＝－6x ＋7.…………〔5分〕 (2)因为f ′(x)＝2〔x ＋2〕〔x －2〕
x
，
又x>0，所以当x>2时，f ′(x)>0；当0<x<2时，f ′(x)<0. 即f(x)在(2，＋∞)上单调递增，在(0，2)上单调递减．
又g(x)＝－(x －7)2
＋49，所以g(x)在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减．…〔9分〕
欲使函数f(x)与g(x)在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，那么⎩
⎪⎨⎪⎧a ≥2，
a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.……
〔12分〕
19. 【解析】(1)联立()
2
254x my m y x ⎧=++⎪⎨=⎪⎩ ,消去得
=,
设, 那么
=
=
,
因为为线段的中点,所以,解得,
所以直线的方程为=. …………〔6分〕
(2)因为
=
=
,
()()
2
22
2
121212254416y y y y x x m =⋅==+,
所以=,
即=
,
所以==,
因此,
即以线段
为直径的圆恒过点
.…………〔12分〕
20.解 (1)∵f (x )＝(x 2
－x －5)e x
，
∴f ′(x )＝(2x －1)e x ＋(x 2－x －5)e x ＝(x 2＋x －6)e x ＝(x ＋3)(x －2)e x
.
当x <－3或者x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－3)和(2，＋∞)．
当－3<x <2时，f ′(x )<0，即函数f (x )的单调递减区间为(－3,2)．
∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－3)和(2，＋∞)，单调递减区间为(－3,2)． 故当x ＝2时，函数f (x )获得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－3e 2
. …………〔6分〕 (2)由题意，只需f (x )min >g (x )max .
由(1)可得当x 趋近于－∞时，f (x )趋近于0， ∴f (x )min ＝f (2)＝－3e 2
，
∵g (x )＝tx 2
＋e x －4e 2
＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋e 2t 2－e 2
4t
－4e 2
，
∴g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－e 2t ＝－e 2
4t －4e 2
.
故－3e 2
>－e 2
4t －4e 2
，即1＞－14t ，得到t <－14
，
∴存在负数t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14满足题意． …………〔12分〕
21. 〔I 〕设M 为动圆圆心，由题意知，动点M 到定点()10，
与定直线1-=y 的间隔 相等，点M 的轨迹为抛物线，其中()10，为焦点，1-=y 为准线，所以轨迹方程为y x 42=.…………〔4分〕
〔II 〕设()()1122,,,A x y B x y . (1))2(4121111+=--=
x x y K MA , )2(4
1
21222+=--=x x y K MB . 依题意，421-=+⇒-=x x K K MB MA ,
于是1)(4
1
211212-=+=--=
x x x x y y K AB .
∴ 直线AB 的斜率为定值-1. …………〔8分〕
〔2〕设直线AB 的方程：y=-x+m,
⎩⎨⎧=+-=y
x m
x y 42
0442=-+⇒m x x , m x x x x 4,42121-=-=+, 1016160->⇒>+⇒>∆m m ,
又00,0,02121≤⇒≥≤≤m x x x x ，01≤<-∴m . 点M 到直线AB 的间隔 2
3-=
m d ,
弦长m x x x x AB +=-+=
1244)(221221，
3122
1
-•+=•=
∆m m d AB S MAB ， 设(]0,1,)3)(1()(2
-∈-+=m m m m f ，
33
1
03103)(2'<<⇒
<+-=m m m m f ， ∴f(m)在(]0,1-上单调递增，9)0()(max ==f m f ，6=∴∆MAB S .…………〔12分〕
22、解：〔1〕322
22(1)
'()2k k x g x kx x x
-=-=， 当0k >时，令'()0g x >，得1x >，∴()g x 的递增区间为(1,)+∞.
令'()0g x <，得1x <，0x ≠，∴()g x 的递减区间为(,0)(0,1)-∞，
. 0k <当时，同理得()g x 的递增区间为(,0)(0,1)-∞，
；递减区间为(1,)+∞.………〔4分〕 〔2〕'()2sin 1ln(1)12sin ln(1)f x x x x x =-+++=++， ∵当(1,1]x ∈-时，2sin y x =及ln(1)y x =+均为增函数，
∴'()f x 在(1,1]-为增函数，又'(0)0f =，
∴当(1,0)x ∈-时，'()0f x <；当(0,1]x ∈时，'()0f x >. 从而，()f x 在(1,0)-上递减，在(0,1]上递增，
∴()f x 在(1,1]-上的最小值为(0)2f =-. ……………〔8分〕 ∵12()()6f x g x k -<-，∴12()6()f x k g x <-+，
∴min min ()6()f x k g x <-+，当0k >时，∴min ()(1)3g x g k ==，∴462k ->-，∴1k >. 当0k <时，min ()(2)5g x g k ==，∴662k ->-，∴2
3
k >， 又0k <，∴0k <时不合题意.
综上，(1,)k ∈+∞. ………………〔12分〕。