假设法(盈亏法)

九章算术．
盈亏问题
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4．盈亏问题 《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及 其解法其中第一题：“今有(人)共买物，(每)人出八 (钱)，盈(余)三钱；人出七(钱)，不足四(钱)，问人数、 物价各几何”，“答曰：七人，物价53(钱)．”“盈不 足术曰：置所出率，盈、不足各居其下．令维乘(即交 错相乘)所出率，并以为实，并盈，不足为法，实如法 而一……置所出率，以少减多，余，以约法、实．实 为物价，法为人数”．如以算筹演算大致如图1－24所 示．
假设法的意思：先假定一个数据（或一种情况），过大的就改小， 过小的再改大（不行的换一种情况。
假设问题：乘船
• 52名学生去公园划船，共租用11条船， 大船每条坐6人，小船每条坐4人。大、 小船各多少条？
假设都是大船：6×11=66（人） 比实际多66 – 52=14（人）怎么多的?
小的算成大的每条多6 – 4=2人
多算14÷2=7条（小船） 大船11 – 7=4条 可以假设都有是小船
练习
• 大、小和尚
• 100个大、小和尚共吃100个馒头，大和尚每 人吃4个，小和尚4人吃一个，大、小和尚各 多少个？
•2
面积 如右图，已知正方形ABC形ABCD 每边长为10厘米，则图中 （三角形BFD）部份的面积是多少？
用A、B、C、D、E、F、G、H、I这9个互不相等的自然数，排成一 排，如果其中任何五个相邻的数之和都大于36，那么这9个数的和最 小是多少 ？
使五个相邻数的和大，那么大的数用的次数就要多，小的数用的次 数要少。 •假设：这9个数是1—9， •应最小的数在两边，最大的数在中间 •：1 4 5 8 9 7 6 3 2
• 6
• 14
4
8
人数（56+48）÷2=52
船（14+8）÷2=11条
• 56 48 • 22
九章算术
• 《九章算术》的盈不足章的最前四个问题是正规的盈亏问题．而 第五题是“两盈”问题，第六题是“两不足”问题则分子就得相 减了，都是“以少减多”来进行的，第七题是“盈、适足”，第 八题是“不足，适足问题．它们的解法也可以在盈不足术的基础 上分别提出适当的公式． • 盈不足章的第9到第20题，是一般的算术应用题，有些问题还 相当难，初学者不易解答．如果通过两次假设(分别各假设一个答 数)然后分别验算其盈余和不足的数量，这样任何算术问题都可以 改造成为一个盈亏问题来解．因此盈不足术是中国数学史上解应 用问题的一种别开生面的创造，它在我国古代算法中占有相当重 要的地位．盈不足术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家，受到 特别重视，被称为“契丹算法”，后来又传入欧洲，中世纪时期 “双设法”曾长期统治了他们的数学王国。
九章算术（六）
接上题
• 用现代的符号来表示：设每人出a1钱，盈 b1钱；每人出a2钱，不足b2钱，求物价u 和人数v．依据术文得下列二公式： •
当然我们还可以算出每人应该分摊的钱数
把假设改成盈亏问题：一批学生去公园划船，大船每条 坐6人，则小船每条坐4人。如全部租用大船，则浪费14 人的坐位；如租用小船，则有8人没有坐。问人和船各是 多少？
九章算术
• 九章算术中的 “盈不足”算法需要给出两次假设，是 一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法”，有人认为 它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的．
鸡兔问题
•鸡鸡、兔共100只，脚共240只，鸡、兔各 多少只？
假设：100只都是鸡 则有脚2 × 100=200（只 ） 比题目少240 – 200=40（只） 兔：40 ÷ （4 – 2）=20（只 ） 鸡：100 – 20=80（只）
另假设：都是兔（4 × 100 – 240） ÷ （4 – 2）=80（只）鸡 100 – 80=20（只）兔
一个长方形，它的长和宽各增加8厘米，这个长方形的面积就增加 208平方厘米，原来长方形的周长是多少厘米？
• 假设原长方形长和宽 各是1厘米。
原长方形面积是1平方厘米。 增加后的面积是81平方厘米。 增加80平方厘米（太小） • 假设原长方形长和宽 各是10厘米。则原面积是100平方厘米，增加后的面积是324平方厘 米。增加224平方厘米。（大了些） • 假设原长方形长和宽 各是9厘米。则原面积是81平方厘米，增加后的面积是289平方厘米。 增加208平方厘米。（正好） 原正方形周长是9×4=36厘米。
一个长方形，它的长和宽各增加8厘米，这个长方形的面积就增加 208平方厘米，原来长方形的周长是多少厘米？ 解：设原来长方形的长为A ，宽为B。 则有（A+8）（B+8） -A .B=208 A B+8A+8B+64 - A B=208 8 （A+B）=208 - 64 A+B=144÷8=18 长方形周长=（A+B） × 2 =18 ×2=36（厘米） 8 B A 8 208
19
换几个？
一个
最小的和是27，太小，需要换数
哪一个？
27比36（37）少几？
用的最多的一个（最中间的一个）
少10
练习
• 一次练习40题，做对每题给3分，做错一题材倒扣1分， 小张全做共得了84分，小张做错了多少题？ • 小明、小东和妹妹采蘑菇。共采了80个，小明比小东 少采8个，妹妹比小明少采14个，各人采多少个？ • 大小木桶共50个。每个大桶可装油4公斤，小桶可装2 公斤。大桶比小桶共多装运0公斤，大、小桶各多少个？ • 10分钟口算比赛中，小明晚了1分钟开始，小明、小林 共做了201题，小明比小林每分钟少做3题。小明比小 林共少做了多少题？
C
E
假设：小正方形的边长是9厘米
则三角形BFD的面积是 ：10×10+（9+10 ）× 9÷2- 10 × 10 ÷2 – (10+9) × 9 ÷2=50（平方厘米）
假设：小正方形的边长是8厘米，则三角形BFD的面积是 ：
10 × 10 + （8+10）× 8 ÷ 2 - 10 × 10 ÷ 2 – (10+8) × 8 ÷ 2 =50（平方厘 米） …… 假设：小正方形边长是a