2020年广西壮族自治区桂林市腾飞高级中学高一数学理期末试卷含解析

2020年广西壮族自治区桂林市腾飞高级中学高一数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 延长正方形ABCD的边CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，若，下列判断正确的是（）
A. 满足的点P必为BC的中点
B. 满足的点P有且只有一个
C. 的最小值不存在
D. 的最大值为3
参考答案：
D
试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则的坐标为
，则设，由得
，所以，当在线段上时，，此时，此时，所以；当在线段上时，，此时
，此时，所以；当在线段上时，
，此时，此时，所以；当在线段上时，，此时，此时，所以；由以上讨论可知，当时，可为的中点，也可以是点，所以A错；使的点有两个，分别为点与中点，所以B错，当运动到点时，有最小值，故C错，当运动到点时，有最大值，所以D正确，故选D．考点：向量的坐标运算．
2. 若集合，，且，则的值为（）
A． B． C．或
D．或或
参考答案：
D
3. 若角的终边与单位圆的交点为，则
A. B. C. D.
参考答案：
D
4. 已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
参考答案：
C
5. 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则球的表面积是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
参考答案：
B
略
6. 如图，半径为的圆切直线于点，射线从出发绕着点顺时针方向旋转到
，旋转过程中交⊙于点，记为，弓形的面积，那么
的大致图象是（）
参考答案：
A
7. 函数f（x）=的大致图象是（）
A．B．C．
D．
参考答案：A
【考点】函数的图象；幂函数图象及其与指数的关系．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案．
【解答】解：因为﹣＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，排除选项B、C；
又f（x）的定义域为（0，+∞），
故排除选项D，
故选A．
【点评】本题考查幂函数的图象及性质，属基础题，筛选法是解决选择题的常用技巧，要掌握．8. 设f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则x?f（x）＜0的解集是
（）
A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}
C．{x|x＜﹣3或x＞3} D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}
参考答案：
D
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；分类讨论；转化思想．
【分析】由x?f（x）＜0对x＞0或x＜0进行讨论，把不等式x?f（x）＜0转化为f（x）＞0或f （x）＜0的问题解决，根据f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．
【解答】解；∵f（x）是奇函数，f（﹣3）=0，且在（0，+∞）内是增函数，
∴f（3）=0，且在（﹣∞，0）内是增函数，
∵x?f（x）＜0
∴1°当x＞0时，f（x）＜0=f（3）
∴0＜x＜3
2°当x＜0时，f（x）＞0=f（﹣3）
∴﹣3＜x＜0．
3°当x=0时，不等式的解集为?．
综上，x?f（x）＜0的解集是{x|0＜x＜3或﹣3＜x＜0}．
故选D．
【点评】考查函数的奇偶性和单调性解不等式，体现了分类讨论的思想方法，属基础题．9. 函数的图象大致是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
【分析】
利用函数性质以及特殊值即可判断。

【详解】依据函数是偶函数，偶函数关于轴对称，排除A，D；
又且知，选项C符合题意，故选C。

【点睛】本题主要考查函数图象及其性质。

10. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
参考答案：A
第一次循环为;第二次循环为;第三次循环为
;第四次循环为;第五次循环，不满足条件，输出.选A.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数的图象恒过定点，且点在直线上，若
，则
的最小值为 .
参考答案：
9
略
12. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有辆．
参考答案：
80
时速在区间内的汽车有
13.
参考答案：
0,－1
14. 已知图象连续不断的函数在区间上有唯一的零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度）的近似值，那么将区间等分的次数至少是次
参考答案：
7
15. ，则的最小值是
.
参考答案：
25
略
16. 已知数列的前项和，则此数列的通项公式为
参考答案：
17. 函数的定义域是。

（用集合表示）
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知平面直角坐标系内三点，，
（1）求过O，A，B三点的圆的方程，并指出圆心坐标与圆的半径；
（2）求过点与条件（1）的圆相切的直线方程.
参考答案：
（1）；（2）和.
试题分析：（1）先求出圆心坐标，分别求出线段与的垂直平分线，求出两直线的交点即为圆
心坐标，求出圆心与点的距离即为圆的半径，写出圆的标准方程即可；（2）分两种情况考虑：当
斜率不存在时，直线满足题意；当斜率存在时，设为，表示出切线方程，根据直线与圆相切
时，圆心到切线的距离等于圆的半径求出的值，确定出此时切线方程.
试题解析：(1)设圆的方程为：，
将三个带你的坐标分别代入圆的方程，解得，
所以圆的方程为，圆心是、半径.
(2)当所求直线方程斜率不存在时，直线方程为，与圆相切；
当所求直线方程斜率存在时，设直线方程为：，
因为与圆相切，所以圆心到直线距离等于半径，
根据点到直线的距离公式得，
所以所求直线方程为，
综上，所以直线为.
19. 已知，且，，
（1）求的解析式；（2）求的值；
（3）判断函数的单调性，并用定义证明。

参考答案：
（1）（2）
(3)单调增函数，证明略
20. 已知函数，其中．
(1)当a=2时，把函数写成分段函数的形式；
(2)当a=2时，求在区间[1，3]上的最值；
(3)设a≠0，函数在开区间(m,n)上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围(用a
表示)．
参考答案：
解：（1）时，
（2）结合图像，，，
所以函数在区间上最大值为18，最小值为4.
（3）①当时，函数的图像如右，要使得在开区间有最大值又有最小值，则最小值一定在处取得，最大值在处取得；，在区间内，函数值为时，所以；，而在区间内函数值为时
，所以
②当时，函数的图像如右，要使得在开区间有最大值又有最小值，则最大值一定在处取得，最小值在处取得，，在内函数值为时，所以，，在区间内，函数值为时，，所以
综上所述，时，，；
时，，
ks5u 略
21. 已知函数.
(1)当时，求满足的x的值；
(2)若函数是定义在R上的奇函数，函数满足，若对任意且x≠0,不等式恒成立，求实数m的最大值。

参考答案：
(1)当时，.
即，
解得：或=?1(舍去)，
∴=2；
(2)若函数是定义在R上的奇函数，
则，即，
即，
解得：，或
经检验满足函数的定义域为R，
∴.
当≠0时,函数满足，
∴,(≠0)，
则，
不等式恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
设，则，
即，恒成立，
由对勾函数的图象和性质可得：当时, 取最小值。

故，即实数m的最大值为.
22. 是否存在实数 a，使函数f（x）=cos2x+2asinx+3a﹣1在闭区间上的最大值为 4，若存在，则求出对应的 a 值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】化简函数f（x），分a≤﹣1时，﹣1＜a＜1时，a≥1时，利用函数的单调性即可求出答案．
【解答】解：f（x）=cos2x+2asinx+3a﹣1=1﹣sin2x+2asinx+3a﹣1=﹣sin2x+2asinx+3a=﹣（sinx﹣a）2+3a+a2，sinx∈[﹣1，1]，
令sinx=t，t∈[﹣1，1]，
∴f（t）=﹣（t﹣a）2+3a+a2对称轴为t=a，
当a≤﹣1时，函数f（t）在[﹣1，1]上是减函数，∴f（x）max=f（﹣1）=a﹣1=4，解得a=5，舍去当﹣1＜a＜1时，函数f（t）在[﹣1，a]上为增函数，在（a，1）上为减函数，∴f（x）max=f（a）=3a+a2=4，解得a=1或a=﹣4，舍去，
当a≥1时，函数f（t）在[﹣1，1]上是增函数，∴f（x）max=f（1）=5a﹣1=4，解得a=1，
综上所述，存在实数a=1，使函数f（x）=cos2x+2asinx+3a﹣1在闭区间上的最大值为 4。