第9章 第2节
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4．本例中若将条件“A，B，C 三人必须入选”改为“A，B，C 三人至多两人入 选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？
解 可考虑间接法，从 12 人中选 5 人共有 C512种，再减去 A，B，C 三人都入选 的情况有 C29种，所以共有 C512－C29＝756 种选法．
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(3)法一：(位置分析法)因为两端不排女生，只能从 5 个男生中选 2 人排列，有 A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有 A66种排法，因此共有 A25·A66＝14 400 种不同 排法．
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主题四 第九章 计数原理与概率
法二：(元素分析法)从中间 6 个位置选 3 个安排女生，有 A36种排法，其余位置无 限制，有 A55种排法，因此共有 A36·A55＝14 400 种不同排法．
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主题四 第九章 计数原理与概率
[热身启动] 1．判断正误 (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × ) (2) 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √ ) (3)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( × ) (4) kCkn＝nCkn－－11.( √ ) (5)若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立．( × )
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主题四 第九章 计数原理与概率
3．排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)Amn ＝____n_(n_－__1_)_(_n_－__2_)…__(_n_－__m_＋__1_)___＝n－n！m！ (2)Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1＝m！nn！－m！
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主题四 第九章 计数原理与概率
02 课堂研读考点提素养
考点一 排列问题 3 名女生和 5 名男生排成一排．
(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ (2)如果女生都不相邻，有多少种排法？ (3)如果女生不站两端，有多少种排法？ (4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？ (5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？
性质❸ (3)0！＝__1___；Ann＝___n_！___ (4)Cmn ＝Cnn－m；Cmn＋1＝__C__mn_＋__C_mn_－_1__
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主题四 第九章 计数原理与概率
[微思考①] 排列问题和组合问题的区别是什么？ 提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合． [微思考②] 排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有哪几种形 式？ 提示 (1)排列数与组合数之间的联系为 Cmn Amm＝Amn . (2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式．
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主题四 第九章 计数原理与概率
[微点拨③] 组合数的性质 (1)Cmn ＝Cnn－m：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的方法等于取出剩余 n－m 个元素的方法数． (2)Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1：从 n＋1 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素可分以下两种情 况：①不含特殊元素 A 有 Cmn 种情况；②含特殊元素 A 有 Cmn －1种情况．
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主题四 第九章 计数原理与概率
3．本例中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至少一人入 选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？
解 可考虑间接法，从 12 人中选 5 人共有 C512种，再减去 A，B，C 三人都不入 选的情况 C59种，共有 C512－C59＝666 种选法．
A．168 种
B．156 种
C．172 种
D．180 种
解析 分类：(1)小李和小王去甲、乙两个展区，共 A22C24C22＝12 种安排方案；(2)小 王、小李一人去甲、乙展区，共 C12C12C14C24C22＝96 种安排方案；(3)小王、小李均没有去 甲、乙展区，共 A22A44＝48 种安排方案，故一共 N＝12＋96＋48＝156 种安排方案．
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以 定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
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主题四 第九章 计数原理与概率
考点二 组合问题 要从 12 人中选出 5 人去参加一项活动，A，B，C 三人必须入选，则有__3_6_____
种不同选法．
2．本例中若将条件“A，B，C 三人必须入选”改为“A，B，C 三人只有一人入 选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？
解 可分两步，先从 A，B，C 三人中选出 1 人，有 C13种选法，再从余下的 9 人 中选 4 人，有 C49种选法，所以共有 C13·C49＝378 种选法．
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主题四 第九章 计数原理与概率
考点三 排列、组合的综合应用
考向(一) 简单的排列与组合的综合问题
(2020·河南郑州期末)郑州绿博园花展期间，安排 6 位志愿者到 4 个展区提
供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小
李和小王不在一起，则不同的安排方案共有( B )
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主题四 第九章 计数原理与概率
2．从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a
－lg b的不同值的个数是( C )
A．6
B．8
C．12
D．16
解析 由于 lg a－lg b＝lg ab，从 3,5,7,11 中取出两个不同的数分别赋值给 a 和 b 共有 A24＝12 种，所以得到不同的值有 12 个．
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主题四 第九章 计数原理与概率
[学霸笔记] 1．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列 问题与顺序有关，组合问题与顺序无关． 2．计算 Amn 时易错算为 n(n－1)(n－2)…(n－m)． 3．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数 是所有排列的个数，是一个正整数．
(4)8 名学生的所有排列共 A88种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中12，因 此符合要求的排法种数为12A88＝20 160.
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主题四 第九章 计数原理与概率
(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置． 法一：(特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有 A77种；甲不在最右边时， 可从余下 6 个位置中任选一个，有 A16种，而乙可排在除去最右边位置后剩余的 6 个 中的任一个上，有 A16种，其余人全排列，共有 A16·A16·A66种．由分类加法计数原理得， 共有 A77＋A16·A16·A66＝30 960(种)． 法二：(特殊位置法)先排最左边，除去甲外，有 A17种，余下 7 个位置全排，有 A77种，但应剔除乙在最右边时的排法 A16·A66种，因此共有 A17·A77－A16·A66＝30 960(种)． 法三：(间接法)8 个人全排，共 A88种，其中不符合条件的有甲在最左边时，有 A77种，乙在最右边时，有 A77种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形， 有 A66种． 因此共有 A88－2A77＋A66＝30 960(种)．
合成一组
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2．排列数与组合数❷ (1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所__有__不__同__排__列____的 个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用__A_m_n ___表示． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的___所__有__不__同__组__合___的 个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用__C_mn____表示．
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主题四 第九章 计数原理与概率
5．方程 3A3x＝2A2x＋1＋6A2x的解为___5_____． 解析 由排列数公式可知 3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，∵x≥3 且 x∈N*， ∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即 3x2－17x＋10＝0，解得 x＝5 或 x＝23(舍去)， ∴x＝5．
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主题四 第九章 计数原理与概率
4．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中恰有1门相 同的选法有___2_4____种．
解析 ∵两人各选 2 门课程的选法有 C24C24＝36(种)，两人所选两门都相同的有 C24＝6(种)，都不同的有 C24＝6(种)，故恰好有 1 门相同的选法有 36－6－6＝24(种)．
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主题四 第九章 计数原理与概率
解 (1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合 在一起有 6 个元素，排成一排有 A66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有 A33种排法，因此共有 A66·A33＝4 320 种不同排法．
(2)(插空法)先排 5 个男生，有 A55种排法，这 5 个男生之间和两端有 6 个位置， 从中选取 3 个位置排女生，有 A36种排法，因此共有 A55·A36＝14 400 种不同排法．
主题四 概率与统计
第九章 计数原理与概率
第二节 排列与组合
栏 目 导
航
01 课前回归教材强四基 02 课堂研读考点提素养
主题四 第九章 计数原理与概率
01 课前回归教材强四基
1．排列与组合的概念❶
名称 排列 组合
从n个不同元素中取 出m(m≤n)个元素
定义 按照__一__定__的__顺__序____排成一列
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主题四 第九章 计数原理与概率
[方法技巧] 1．解决组合应用题的2个步骤 第一步，整体分类：要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理； 第二步，局部分步，用到分步乘法计数原理． 2．含有附加条件的组合问题的2种方法 通常用直接法或间接法，应注意“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理 解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解， 也可以分类研究进行直接求解．
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主题四 第九章 计数原理与概率
[方法技巧] 求解排列应用题的6种主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注 意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不 相邻的元素插在前面元素排列的空当中
考向(二) 分组、分配问题 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育
专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有 6 个免费培养的教育专业师范毕业 生要平均分到 3 所学校去任教，有___9_0____种不同的分派方法．
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主题四 第九章 计数原理与概率
3．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( D )
A．144
B．120
C．72
D．24
解析 “插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两
人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24．
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解析 只需从 A，B，C 之外的 9 人中选择 2 人，即有 C29＝36 种选法．
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主题四 第九章 计数原理与概率
[变式探究] 1.本例中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人 都不能入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？
解 由 A，B，C 三人都不能入选只需从余下 9 人中选择 5 人，即有 C59＝C49＝126 种选法．
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主题四 第九章 计数原理与概率
[方法技巧] 解决简单的排列与组合的综合问题的思路 (1)根据附加条件将要完成事件先分类． (2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列． (3)由分类加法计数原理计算总数．
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解 可考虑间接法，从 12 人中选 5 人共有 C512种，再减去 A，B，C 三人都入选 的情况有 C29种，所以共有 C512－C29＝756 种选法．
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(3)法一：(位置分析法)因为两端不排女生，只能从 5 个男生中选 2 人排列，有 A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有 A66种排法，因此共有 A25·A66＝14 400 种不同 排法．
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法二：(元素分析法)从中间 6 个位置选 3 个安排女生，有 A36种排法，其余位置无 限制，有 A55种排法，因此共有 A36·A55＝14 400 种不同排法．
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[热身启动] 1．判断正误 (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × ) (2) 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √ ) (3)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( × ) (4) kCkn＝nCkn－－11.( √ ) (5)若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立．( × )
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3．排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)Amn ＝____n_(n_－__1_)_(_n_－__2_)…__(_n_－__m_＋__1_)___＝n－n！m！ (2)Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1＝m！nn！－m！
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02 课堂研读考点提素养
考点一 排列问题 3 名女生和 5 名男生排成一排．
(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ (2)如果女生都不相邻，有多少种排法？ (3)如果女生不站两端，有多少种排法？ (4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？ (5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？
性质❸ (3)0！＝__1___；Ann＝___n_！___ (4)Cmn ＝Cnn－m；Cmn＋1＝__C__mn_＋__C_mn_－_1__
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[微思考①] 排列问题和组合问题的区别是什么？ 提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合． [微思考②] 排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有哪几种形 式？ 提示 (1)排列数与组合数之间的联系为 Cmn Amm＝Amn . (2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式．
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[微点拨③] 组合数的性质 (1)Cmn ＝Cnn－m：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的方法等于取出剩余 n－m 个元素的方法数． (2)Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1：从 n＋1 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素可分以下两种情 况：①不含特殊元素 A 有 Cmn 种情况；②含特殊元素 A 有 Cmn －1种情况．
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3．本例中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至少一人入 选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？
解 可考虑间接法，从 12 人中选 5 人共有 C512种，再减去 A，B，C 三人都不入 选的情况 C59种，共有 C512－C59＝666 种选法．
A．168 种
B．156 种
C．172 种
D．180 种
解析 分类：(1)小李和小王去甲、乙两个展区，共 A22C24C22＝12 种安排方案；(2)小 王、小李一人去甲、乙展区，共 C12C12C14C24C22＝96 种安排方案；(3)小王、小李均没有去 甲、乙展区，共 A22A44＝48 种安排方案，故一共 N＝12＋96＋48＝156 种安排方案．
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以 定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
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考点二 组合问题 要从 12 人中选出 5 人去参加一项活动，A，B，C 三人必须入选，则有__3_6_____
种不同选法．
2．本例中若将条件“A，B，C 三人必须入选”改为“A，B，C 三人只有一人入 选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？
解 可分两步，先从 A，B，C 三人中选出 1 人，有 C13种选法，再从余下的 9 人 中选 4 人，有 C49种选法，所以共有 C13·C49＝378 种选法．
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考点三 排列、组合的综合应用
考向(一) 简单的排列与组合的综合问题
(2020·河南郑州期末)郑州绿博园花展期间，安排 6 位志愿者到 4 个展区提
供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小
李和小王不在一起，则不同的安排方案共有( B )
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2．从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a
－lg b的不同值的个数是( C )
A．6
B．8
C．12
D．16
解析 由于 lg a－lg b＝lg ab，从 3,5,7,11 中取出两个不同的数分别赋值给 a 和 b 共有 A24＝12 种，所以得到不同的值有 12 个．
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[学霸笔记] 1．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列 问题与顺序有关，组合问题与顺序无关． 2．计算 Amn 时易错算为 n(n－1)(n－2)…(n－m)． 3．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数 是所有排列的个数，是一个正整数．
(4)8 名学生的所有排列共 A88种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中12，因 此符合要求的排法种数为12A88＝20 160.
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(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置． 法一：(特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有 A77种；甲不在最右边时， 可从余下 6 个位置中任选一个，有 A16种，而乙可排在除去最右边位置后剩余的 6 个 中的任一个上，有 A16种，其余人全排列，共有 A16·A16·A66种．由分类加法计数原理得， 共有 A77＋A16·A16·A66＝30 960(种)． 法二：(特殊位置法)先排最左边，除去甲外，有 A17种，余下 7 个位置全排，有 A77种，但应剔除乙在最右边时的排法 A16·A66种，因此共有 A17·A77－A16·A66＝30 960(种)． 法三：(间接法)8 个人全排，共 A88种，其中不符合条件的有甲在最左边时，有 A77种，乙在最右边时，有 A77种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形， 有 A66种． 因此共有 A88－2A77＋A66＝30 960(种)．
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2．排列数与组合数❷ (1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所__有__不__同__排__列____的 个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用__A_m_n ___表示． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的___所__有__不__同__组__合___的 个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用__C_mn____表示．
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5．方程 3A3x＝2A2x＋1＋6A2x的解为___5_____． 解析 由排列数公式可知 3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，∵x≥3 且 x∈N*， ∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即 3x2－17x＋10＝0，解得 x＝5 或 x＝23(舍去)， ∴x＝5．
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4．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中恰有1门相 同的选法有___2_4____种．
解析 ∵两人各选 2 门课程的选法有 C24C24＝36(种)，两人所选两门都相同的有 C24＝6(种)，都不同的有 C24＝6(种)，故恰好有 1 门相同的选法有 36－6－6＝24(种)．
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解 (1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合 在一起有 6 个元素，排成一排有 A66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有 A33种排法，因此共有 A66·A33＝4 320 种不同排法．
(2)(插空法)先排 5 个男生，有 A55种排法，这 5 个男生之间和两端有 6 个位置， 从中选取 3 个位置排女生，有 A36种排法，因此共有 A55·A36＝14 400 种不同排法．
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第二节 排列与组合
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01 课前回归教材强四基
1．排列与组合的概念❶
名称 排列 组合
从n个不同元素中取 出m(m≤n)个元素
定义 按照__一__定__的__顺__序____排成一列
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[方法技巧] 1．解决组合应用题的2个步骤 第一步，整体分类：要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理； 第二步，局部分步，用到分步乘法计数原理． 2．含有附加条件的组合问题的2种方法 通常用直接法或间接法，应注意“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理 解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解， 也可以分类研究进行直接求解．
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[方法技巧] 求解排列应用题的6种主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注 意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不 相邻的元素插在前面元素排列的空当中
考向(二) 分组、分配问题 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育
专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有 6 个免费培养的教育专业师范毕业 生要平均分到 3 所学校去任教，有___9_0____种不同的分派方法．
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3．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( D )
A．144
B．120
C．72
D．24
解析 “插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两
人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24．
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解析 只需从 A，B，C 之外的 9 人中选择 2 人，即有 C29＝36 种选法．
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[变式探究] 1.本例中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人 都不能入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？
解 由 A，B，C 三人都不能入选只需从余下 9 人中选择 5 人，即有 C59＝C49＝126 种选法．
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[方法技巧] 解决简单的排列与组合的综合问题的思路 (1)根据附加条件将要完成事件先分类． (2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列． (3)由分类加法计数原理计算总数．
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