第1讲 整数裂项
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整数裂项整数裂 基本公式(1) 1 2 2 3 3 4 ... (n1) n1 1) n ( n1) (n3(2) 1 2 3 2 3 4 34 5 ... (n2) (n 1) n1 ( n 2)( n 1)n(n 1)4【例 1 】 1 2 2 3 3 4 L49 50=_________【考点】整数裂 【 度】 3 星【 型】 算【解析】是整数的裂 。
裂 思想是：瞻前 后，相互抵消。
S ＝ 12 23 34 L 49 501×2×3＝ 1×2×32×3×3＝ 2×3×（ 4－ 1）＝ 2×3×4－ 1×2×3 3×4×3＝ 3×4×（ 5－ 2）＝ 3×4×5－ 2× 3× 4⋯⋯49×50×3＝ 49×50×（ 51－ 48） =49 ×50×51－ 48×49×50 3S ＝ 1×2×3＋ 2×3×3＋ 3×4×3＋ ⋯＋ 49×50×3＝ 49×50×51 S ＝ 49×50×51÷3＝ 41650【答案】 41650【巩固】 1 2 2 3 3 44 5 5 6 6 77 8 8 9 9 10 ________【考点】整数裂【 度】 3 星【 型】 算【解析】本 数 少，可以直接将每一 乘 都 算出来再 算它 的和，但是 于 数 多的情况 然不能 行 算． 于 数 多的情况，可以 行如下 形：n n 1 n 2n 1 n n 111n 1 n n 1 ， n n 13n n 1 n 233所以原式1 12 31 2 3 4 1 1 2 3L1 9 10 11 18 9 1033 333 110 11 33093另解：由于 n n 1 n 2 n ，所以原式12 1 22 2 L92 91222 L921 2L 91 9 10 19 1 9 1033062 1采用此种方法也可以得到1 2 2 3 Lnn11 n2 一 ．n n3【答案】 330【例 2 】 1 44 77 10 L49 52 =_________【考点】整数裂【 度】 3 星【 型】 算【解析】S ＝ 1 4 4 7 7 10 L 49 521×4×9＝ 1×4×7＋ 1×4×24×7×9＝ 4×7×（ 10－ 1）＝ 4×7×10－ 1×4×77×10×9＝ 7×10×（ 13－4）＝ 7×10×13－ 4×7×10⋯⋯⋯⋯.49×52×9＝ 49×52×（ 55－ 46）＝ 49×52×55－ 46×49×529S＝ 49×52×55＋ 1×4×2S=（ 49×52×55＋ 1×4×2）÷9＝15572【答案】 15572【例 3 】 1 2 3 2 3 4 3 4 5 L 9 10 11【考点】整数裂【度】 3 星【型】算【解析】 n n1n21n1n2n311 n n1n2 ，所以，n n44原式11 2 3 41 2 3 4 511 2 3 4L19 10 11 1218 9 10 11 444441910111229704从中可以看出，1232343 4 5L n n11n 2 n 3 n 2n n 14【答案】 2970【例 4 】算：1 3 5357L171921．【考点】整数裂【度】 3 星【型】算【解析】可以行整数裂．357 3 5 7 9 1 3 5 7 ，8579 5 7 9 11 3 5 7 9 ，817192117 19 21 23 15 17 19 21 ，8所以原式135********L1719212315171921 88135171921231357171921231358819503也可适用公式．原式 3 2 3 3 2 5 2 5 5 2 L19 2 19 19 2 3222 3 5222 5 L19222193353L 193 4 3 5 L 19133353L 193 4 1 3 5 L 19 3而 133353L 193132333L 203234363L20312022128110211219900，441 3 5 L 19 102100 ，所以原式19900 4 100 3 19503．【答案】19503【巩固】算：1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8 L 97 98 99 100【考点】整数裂【度】 3 星【型】算【解析】一般的整数裂各之都是的，本中各之是断开的，此可以将中缺少的上，再行算．原式 A ，再 B2345456767 89L96979899 ，A B 1 234 2 3453456L97989910019798991001011901009880 ，5在知道 A 与 B 的和了，如果能再求出 A 与 B 的差，那么 A 、 B 的就都可以求出来了．A B12342345345645 6 7567 8L9798 99 1004(123345567... 979899)42(221)4(421)6(621)L98(9821)4(2 34363L983 )4(246L98)48149250 241100494801020042所以， A1901009880480102002974510040 ．【答案】 974510040【例 5 】2004 2003 20032002 2002200120012000L 2 1【考点】整数裂【度】 3 星【型】算【解析】原式2003220012L32122135L20012003212003100222008008其中也可以直接根据公式 1 357L2n 1 n2得出1 35L200120032 1002【答案】2008008【例 6 】 1 1!22!33!L20082008!【考点】整数裂【度】 4 星【型】算【解析】察 22!221(31)213!2! ，3 3!3321(41)32 14!3! ，⋯⋯20082008!20082008 2007L 2 1，(20091)20082007L212009!2008!可，原式1!(2!1!)(3!2!)L(2009!2008!)2009!【答案】 2009!【例 7 】计算：123456L991002345L98 99【考点】整数裂项【难度】 5 星【题型】计算【解析】设原式 =BAA B 122334L98999910011230122 3 412 3 L99 100 101 98 99 100 3【答案】199 100 1013333003B A 1 2 3 2 L 99 2 50 100 5000 B 333300 50003383A 333300 5000328333833283。
分数裂项六种题型
分数裂项六种题型一、整数裂项整数裂项是一种常见的数学问题，通过将整数拆分成两个整数之和或之差，从而简化计算或证明某些数学关系式。
以下是一些常见的整数裂项例子：1.将整数拆分成两个相邻整数之和或之差，例如：5=2+3，10=3+7。
2.将整数拆分成两个绝对值相等的数之和或之差，例如：10=3+(-3)，20=7+(-7)。
二、分数裂项分数裂项是将分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于计算或证明某些数学关系式。
以下是一些常见的分数裂项例子：1.将分数拆分成两个同分母的分数的和或差，例如：1/2=1/(4)+1/(4)，2/3=1/(3)+1/(3)。
2.将分数拆分成两个异分母的分数的和或差，例如：2/5=3/(15)+(-4)/(15)，4/7=3/(21)+4/(21)。
三、混合数裂项混合数裂项是指将整数、分数等不同类型的数拆分成两个或多个数之和或差。
以下是一些常见的混合数裂项例子：1.将混合数拆分成一个整数和一个分数的和或差，例如：3/2=2+(1/2)，5=3+(2/2)。
2.将混合数拆分成两个分数之和或差，例如：4/3=1/(2)+3/(4)，7/6=1/(3)+1/(2)。
四、裂项相消法裂项相消法是一种常见的数学方法，用于简化分数的计算。
其基本思想是将一个分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于约简分数。
以下是一个裂项相消法的例子：求和：1/2+1/6+1/12+1/20+...的值。
解答：原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+...通过约简，我们得到原式=1-1/n（当n趋于无穷大时）。
五、分式裂项相消法分式裂项相消法是一种将分式拆分成多个分式的和或差，然后约简的方法。
以下是一个分式裂项相消法的例子：求分式：(a^2-b^2)/(a^2+b^2)的值。
解答：原式=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)/(a^2+b^2)=(a-b)/(a+b)+(a+b) /(a-b)。
整数裂项的原理范文
整数裂项的原理范文整数裂项是一种将一个正整数分割成多个非负整数的方法，使得这些非负整数之和等于该正整数。
整数裂项的原理是利用递归的方式将一个整数不断划分成较小的部分，直到无法划分为止。
在整数裂项中，每一步都有两个选择：一个是继续划分，另一个是结束划分。
当选择终止划分时，意味着已经找到了一种划分方式，可以得到一些正整数的所有非负整数的和等于该整数。
而当选择继续划分时，需要找到合适的划分点，以继续将整数划分为更小的部分。
具体来说，整数裂项的过程可以用一个递归函数来实现。
该递归函数接受三个参数：待划分的整数n、已经划分的部分列表res和当前划分的起始位置start。
其中，n表示待划分的整数，res是一个列表，用于存储划分的部分，start是当前划分的起始位置。
在递归函数中，首先判断划分的终止条件。
如果n等于0，表示已经找到了一种划分方式，将res加入到结果列表中。
如果n大于0，在从start到n的范围内进行循环，每次选择一个数i作为划分点，将i加入到res中，并递归调用函数来划分剩余的部分，即调用函数传入n-i和res以及划分点i+1作为新的参数进行划分。
在递归调用返回后，需要将res中的最后一个划分点移除，以便于下一次划分。
```def integerPartition(n, res, start):#终止条件if n == 0:result.append(res)return#划分for i in range(start, n+1):res.append(i)integerPartition(n-i, res, i+1)res.pop( # 移除最后一个划分点#初始化结果列表result = []#调用整数裂项函数integerPartition(n, [], 1)```整数裂项的原理可以通过递归的方式来实现，它会找到所有的划分方式，并将划分结果保存在一个列表中。
由于整数裂项是一个组合问题，划分的顺序不同将会得到不同的结果，因此需要进行适当的排序和去重处理，以得到最终的划分结果。
分数整数裂项
分数整数裂项
分数整数裂项法是一种将整数乘积化成两个乘积差的形式的方法。
这种方法需要将整数分拆成两个或多个数字单位的和或差，以便进行计算。
例如，对于算式1×2+2×3+3×4+……+n×（n+1），我们可以将其分拆为多个项，如1×2，2×3，3×4等，然后将这些项乘以相应的系数，得到最终结果。
需要注意的是，在进行分数整数裂项计算时，要瞻前顾后，前后抵消，才能得到正确的结果。
例如，在上述算式中，我们需要将1×2这一项乘以（2+1），再减去(1-1)×1×2；2×3这一项，也需要化成[2x3x(3+1)-(2-1)x2x3]，这样就可以刚好可以前后项互相抵消。
总的来说，分数整数裂项法是一种非常实用的计算方法，可以用于解决很多数学问题。
但是，在进行计算时，需要小心系数和项数的变化，以免出现错误。
整数裂项,小学奥数整数裂项公式方法讲解
整数裂项，小学奥数整数裂项公式方法讲解在小学奥数中有一些非常长的整数算式，仅仅用一般的运算法则满足不了计算要求，这时候我们要找式子中各乘式之间的规律，把各乘式裂项，前后抵消，从而简化计算。
规律和之前G老师讲过的分数裂项法十分类似。
先看一道整数裂项的经典例题：【例1】1x2+2x3+3x4+4x5+……98x99+99x100分析：题中计算式共有99个乘法式子相加，如果一个一个计算下来，恐怕一个下午就过去了，G老师告诉同学们，遇见这种复杂的计算式，一定是有规律的，数学重点考查的是思维。
能不能想办法把乘法式子换成两个数的差，再让其中一些项抵消掉，就像分数裂项的形式，最后只剩下头和尾呢？1x2=(1x2x3-0x1x2)÷3;2x3=(2x3x4-1x2x3)÷3;3x4=(3x4x5-2x3x4)÷3;……99x100=(99x100x101-98x99x100)÷3;规律是不是找着了？原式=(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+……+99x100x101-98x99x100)÷3=99x100x101÷3=333300整数裂项法就是将整数乘积化成两个乘积差的形式，这个差也不是随便乘一个数，而是要根据题目中各项数字公差来确定的。
比如在例1中，1x2和2x3这两项，1与2，2与3的的差都是1，我们就在1x2这一项乘以（2+1），再减去(1-1)x1x2；2x3这一项，也化成[2x3x(3+1)-(2-1)x2x3]……这样就刚好可以前后项互相抵消，然后再除以后延与前伸的差[(3+1)-(2-1)]。
整数裂项法应用：式中各项数字成等差数列，将各项后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差。
【例2】1x3+3x5+5x7+……+95x97+97x99分析：算式中各个项中数字之差都是2，满足整数裂项条件，后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差6。
分数裂项.整数裂项,通向归纳,单位分数拆分
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
整数裂项的计算方法
整数裂项的计算方法嘿，咱今儿个就来唠唠整数裂项的计算方法！这可是个很有意思的玩意儿呢！你看啊，整数裂项就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开那些看似复杂难搞的数学大门。
比如说，咱有个式子像这样：1×2+2×3+3×4+……+n(n+1)。
哇，乍一看是不是有点头疼？别急，这时候整数裂项就派上用场啦！我们可以把每一项都拆分成两个数的差，就像这样：1×2=(1×2×3-0×1×2)÷3，2×3=(2×3×4-1×2×3)÷3，3×4=(3×4×5-2×3×4)÷3……以此类推。
然后你发现没，中间的那些项都可以相互抵消掉啦！最后就剩下两头的，神奇不神奇？这就好像我们在走一条长长的路，一路上有很多小障碍，但通过整数裂项这个方法，就像是找到了一条巧妙的捷径，一下子就穿过去了！再比如另一个例子，计算1²+2²+3²+……+n²。
这也能用整数裂项来搞定呢！我们可以把每一项都转化一下，变成可以裂项的形式。
你想想，数学的世界多奇妙啊！整数裂项就像是隐藏在其中的一个小秘密，等着我们去发现和运用。
咱平常学习数学，不就是要不断探索这些好玩的方法嘛！就像探险家在未知的领域里寻找宝藏一样，每找到一个新方法，都让人兴奋不已！通过整数裂项，那些原本让人头疼的式子都变得乖乖听话啦！咱可以轻松地算出结果，那种感觉，就像打了一场胜仗一样爽！所以啊，同学们可千万别小瞧了这个整数裂项的计算方法哦！它能让我们在数学的海洋里畅游得更顺畅，更开心！多去试试，多去探索，你就会发现它的魅力所在啦！怎么样，是不是迫不及待想去试试啦？赶紧的吧！。
小学六年级数学分数裂项与整数裂项裂型运算知识点讲解
小学六年级数学分数裂项与整数裂项裂型运算知识点讲解
小学六年级数学裂项综合之裂和型运算知识点讲解
一、裂项综合
（二）、“裂和”型运算
小学六年级数学裂项综合之裂差型运算知识点讲解
一、裂项综合
（一）、“裂差”型运算
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是
x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
小学六年级计算知识点：分数裂项
小升初奥数整数裂项及常用公式。
整数裂和公式
整数裂和公式摘要：1.整数裂和公式的基本概念2.整数裂和公式的应用场景3.整数裂和公式的计算方法4.整数裂和公式的实例分析5.提高整数裂和公式计算效率的方法正文：整数裂和公式，即对于一个正整数n，求解从1到n的所有整数的和。
例如，对于整数n=5，整数裂和为1+2+3+4+5=15。
在实际应用中，掌握整数裂和公式有助于快速计算数列和等问题。
一、整数裂和公式的基本概念整数裂和公式是指将一个正整数n拆分成两个整数a和b的和，使得a+b=n。
在这个过程中，a和b可以是1到n之间的任意整数。
例如，对于整数n=5，可以拆分为1+4、2+3、3+2、4+1四种组合。
二、整数裂和公式的应用场景1.计算数列和：当需要计算一个等差数列或等比数列的和时，可以使用整数裂和公式进行快速计算。
2.求解不定方程：当给定一个不定方程，如ax+b=c，可以通过整数裂和公式求解方程的整数解。
3.计算组合数：在组合数学中，可以使用整数裂和公式计算组合数，如C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中n!表示n的阶乘。
三、整数裂和公式的计算方法1.直接计算法：对于一个正整数n，可以从1到n逐个尝试，找到满足a+b=n的整数对，将它们的和累加得到整数裂和。
2.矩阵快速幂法：将整数裂和问题转化为矩阵快速幂问题，利用矩阵快速幂的性质计算整数裂和。
四、整数裂和公式的实例分析以整数n=5为例，我们可以使用直接计算法得到整数裂和：1.从1到5逐个尝试，找到满足a+b=5的整数对：- 1+4=5- 2+3=5- 3+2=5- 4+1=52.将满足条件的整数对和相加：1+4+2+3+3+2+4+1=16因此，整数n=5的整数裂和为16。
五、提高整数裂和公式计算效率的方法1.利用矩阵快速幂法，将整数裂和问题转化为矩阵快速幂问题，减少计算量。
2.使用分治思想，将整数裂和问题分解为子问题，逐步计算得到结果。
3.优化算法，例如使用动态规划、回溯法等，提高计算效率。
整数裂项题目
整数裂项题目
摘要：
一、整数裂项题目的背景和定义
二、整数裂项题目的解题技巧和方法
1.分解质因数法
2.短除法
3.综合运用
三、整数裂项题目的实际应用
1.数学竞赛
2.日常生活计算
四、总结整数裂项题目的意义和重要性
正文：
整数裂项题目是数学中一种常见的题目类型，它涉及到整数的分解和计算。
对于这类题目，掌握解题技巧和方法至关重要。
首先，我们需要了解整数裂项题目的背景和定义。
整数裂项题目是指将一个整数分解为两个或两个以上的整数的乘积，这些乘积被称为裂项。
例如，将整数24裂项，可以得到24=2×2×2×3，这就是一个三项裂项。
针对整数裂项题目，有三种常用的解题技巧和方法。
第一种是分解质因数法。
通过将整数分解为质因数的乘积，再进行裂项。
例如，将整数36分解质因数，得到36=2×2×3×3，这就是一个四项裂项。
第二种方法是短除法。
短除法是一种简便的分解整数的方法，通过不断地除以最小的裂项，直至无法再
除为止。
第三种方法是综合运用。
在实际解题过程中，可以根据题目的具体情况，灵活运用以上两种方法。
整数裂项题目在实际生活中有着广泛的应用。
在数学竞赛中，这类题目经常出现，考验学生的计算能力和思维能力。
在日常生活中，我们也常常需要对整数进行裂项计算，例如计算利息、折扣等。
掌握整数裂项题目，可以帮助我们更加快速、准确地进行计算。
小学奥数-整数裂项
小学奥数--整数裂项对于较长得复杂算式,单单靠一般得运算顺序与计算方法就是很难求出结果得。
如果算式中每一项得排列都就是有规律得，那么我们就要利用这个规律进行巧算与简算。
而裂项法就就是一种行之有效得巧算与简算方法。
通常得做法就是:把算式中得每一项裂变成两项得差，而且就是每个裂变得后项(或前项)恰好与上个裂变得前项(或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”得目得。
下面我们以整数裂项为例,谈谈裂项法得运用,并为整数裂项法编制一个易用易记得口诀。
后延减前伸差数除以N例1、计算1×2+2×3+３×４+4×5+…＋9８×９9＋99×100分析:这个算式实际上可以瞧作就是:等差数列１、2、3、4、5……98、９9、１０0，先将所有得相邻两项分别相乘,再求所有乘积得与。
算式得特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。
1×2＝(1×2×３-0×1×2)÷(1×3)2×３=(２×3×４-1×２×3)÷(1×３)3×4=(3×4×5-2×3×4)÷(１×３)4×5=（4×５×６－3×４×5)÷(1×3)……98×99＝(98×99×100-97×9８×99)÷(1×3)99×1０0=(９９×100×101-98×99×100）÷(1×3)将以上算式得等号左边与右边分别累加,左边即为所求得算式,右边括号里面诸多项相互抵消,可以简化为(99×10０×１０１-0×1×2)÷3。
小学奥数整数裂项与通项归纳
小学奥数整数裂项与通项归纳以《小学奥数整数裂项与通项归纳》为标题，写一篇3000字的中文文章整数裂项和通项归纳是小学奥数中一个重要的知识点，遇到这类题目要求的多，因此正确的掌握这两种方法是小学生正确解题的关键。
本文就整数裂项与通项归纳的概念及其在小学奥数中的应用展开讨论。
一、整数裂项、通项归纳概念及其特点整数裂项是指将一个整体分解，将复杂的东西分解成若干个简单的组成部分，比如将一个数字分解成最小单位，比如将一个数学表达式分解成元素，便可以理解为整数裂项。
通项归纳是指从一组具有一定规律的数据出发，从抽象的角度分析求出这组数据的总体规律，并根据总体规律推出此类数据的其他情况。
整数裂项和通项归纳都是在数学中应用很广泛的概念。
整数裂项是用简单的单元拆分一个复杂的整体，而通项归纳则是从多个例子中总结归纳出一个共同的规律，从而用简单的规律给出复杂的回答。
二、整数裂项、通项归纳在小学奥数中的应用（一）整数裂项小学时期学习过分数，可知，其实分数本质上是一种整数裂项。
要正确掌握分数的形式，必须学会用整数的形式表示，比如1/3=3/9,3/4=9/12，以此类推。
当出现一些更复杂的题目时，要正确解答，就要正确掌握整数裂项。
（二）通项归纳很多小学数学题目中都有连续等差数列及其等比数列的概念，而掌握这些规律要用通项归纳的方法，从一组已知的数据中，抽象出每一项与其他项之间的联系，总结出这组数据的总体规律，从而解决更多的有关等差数列、等比数列的问题。
三、学习整数裂项、通项归纳的要点1.持练习：学会整数裂项、通项归纳的关键在于坚持练习，以达到运用此知识点解决实际问题的能力。
2.意步骤：一边练习，一边注意完成每一步时应当掌握的内容，比如在整数裂项时应当注意拆分最小单位，在通项归纳时应当注意总结出连续等差数列及其等比数列的抽象规律。
3.思考：一旦遇到一个题目，应当多一些算法思考，比如在遇到一组数据时，应当首先审题，判断题目的性质，比如数据是否存在连续等差数列或者等比数列，这样才能正确找出解题思路。
第一讲-分数的速算与巧算(一)
第一讲 分数的速算与巧算（一）班级 姓名 【知识要点】1.裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力。
【知识点拨】 一、裂项综合（一） “裂差”型运算（1）对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- （2）对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二） “裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
三、整数裂项（1）122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+（2）1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+例题精讲【模块一】分数裂项【例 1】11111123423453456678978910+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式111111131232342343457898910⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 11131238910⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1192160=【巩固】 333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 2】 计算：57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 。
裂项分数公式(一)
裂项分数公式(一)
裂项分数公式
什么是裂项分数公式
裂项分数公式是一种用于表示分数的公式，其特点是分母为连续递增或递减的整数。
裂项分数公式通常用于解决数学问题中的分数运算或数列问题。
常见的裂项分数公式
1. 裂项分数的递增分母公式
当分母递增时，裂项分数可以表示为以下形式：
[F1](
•例子：
假设分母是递增的等差数列，公差为d，首项为a，裂项分数可以表示为：
[F2](
2. 裂项分数的递减分母公式
当分母递减时，裂项分数可以表示为以下形式：
[F3](
•例子：
假设分母是递减的等差数列，公差为d，首项为a，裂项分数可以表示为：
[F4](
3. 裂项分数的特殊公式
有些裂项分数具有特殊公式，如：
•连续奇数分母的裂项分数：
[F5](
•连续偶数分母的裂项分数：
[F6](
4. 裂项分数的收敛性
裂项分数的部分公式可以收敛于一个确定的值，例如：
•连续奇数分母的裂项分数：
[F7](
可以证明，当n趋向于无穷大时，该分数收敛于π/4。
总结
裂项分数公式是一种用于表示分数的特殊形式，可以用于解决数学问题中的分数运算和数列问题。
常见的裂项分数公式包括分母递增
和递减的情况，以及具有特殊公式的情况。
部分裂项分数具有收敛性，可以收敛于一个确定的值。
1-2-3裂项与通项归纳
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
一、裂项综合 （1）、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+知识点拨教学目标1-2-3裂项与通项归纳（2）裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
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＝1＋1＋1＋……＋1＋1
3． 计算：1＋2＝＋1301＋4＋……＋48＋49＋50＋49＋48＋……＋4＋3
＋2＋1
【答案】 原式＝502＝2500
小热身
4． 观察下列规律，在括号里填入适当的数。 1×2＝[1×2×( 3 )－( 0 )×1×2]÷3 2×3＝[2×3×( 4 )－( 1 )×2×3]÷( 3 ) 3×4＝[3×4×( 5 )－( 2 )×3×4]÷( 3 ) 49×50＝[49×50×( 51 )－( 48 )×49×50]÷( 3 ) 2×4＝[2×4×( 6 )－( 0 )×2×4]÷( 6 )
【答案】 原式＝(50＋49－48－47)＋(46＋45－44－43)＋……＋(6＋5－4－3)＋2＋1 ＝4×12＋2＋1＝51
2． 计算：(1＋3＋5＋7＋……＋199＋201)－(2＋4＋6＋8＋……＋
【答案】
198＋200) 原式＝1＋(3－2)＋(5－4)＋……＋(199－198)＋(201－200)
（2）1×2＋3×4＋5×6＋7×8＋……＋97×98＋99×100
【答案】 1×2＋3×4＋5×6＋7×8＋……＋97×98＋99×100 ＝2＋(2×4＋4)＋(4×6＋6)＋(6×8＋8)＋……＋(96×98＋98)＋(98×100＋100) ＝(2×4＋4×6＋6×8＋……＋96×98＋98×100)＋(2＋4＋6＋8＋……＋98＋100) ＝98×100×102÷6＋(2＋100)×50÷2 ＝169150
项可以相互抵消。S＝(49×50×51)÷3＝41650
例题2
1×4＋4×7＋7×10＋……＋46×49＋49×52
【答案】 设S＝1×4＋4×7＋7×10＋……＋46×49＋49×52 4×7＝(4×7×10－1×4×7)÷9 7×10＝(7×10×13－4×7×10)÷9 …… 49×52＝(49×52×55－46×49×52)÷9 将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项
例题4
（1）2004×2003－2003×2002＋2002×2001－2001×2000
＋……＋2×1
【答案】 2004×2003－2003×2002＋2002×2001－2001×2000＋……＋2×1 ＝2003×2＋2001×2＋……＋3×2＋1×2 ＝2×(1＋2003)×1002÷2 ＝2008008
例题6
1×1×1＋2×2×2＋3×3×3＋……＋99×99×99＋100×100×100
【答案】 方法一 1×1×1＋2×2×2＋3×3×3＋……＋99×99×99＋100×100×100 ＝1＋(1×2×3＋2)＋(2×3×4＋3)＋……＋(98×99×100＋99)＋(99×100×101＋100) ＝(1×2×3＋2×3×4＋……98×99×100＋99×100×101)＋(1＋2＋3＋……＋99＋100) ＝99×100×101×102÷4＋(1＋100)×100÷2 ＝25502500 方法二 1×1×1＋2×2×2＋3×3×3＋……＋99×99×99＋100×100×100 ＝13＋23＋33＋43＋……＋993＋1003 ＝(1＋2＋3＋4＋……＋99＋100)2 ＝25502500
可以相互抵消。S＝1×4＋(49×52×55－1×4×7)÷9＝15572
练习2
3×5＋5×7＋7×9＋……＋97×99＋99×101
【答案】 设S＝3×5＋5×7＋7×9＋……＋97×99＋99×101 3×5＝(3×5×7-1×3×5)÷6 5×7＝(5×7×9-3×5×7)÷6 7×9＝(7×9×11-5×7×9)÷6 …… 97×99＝(97×99×101-95×97×99)÷6 99×101＝(99×101×103-97×99×101)÷6 将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相 互抵消。则S＝(99×101×103－1×3×5)÷6＝1716473
第一讲
五年级寒假C版课件
整数裂项
数学教研组 编写
知识要点：
整数裂项
概念 口诀
裂项思想实质是将相加的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些 项，最终达到简化求和的目的。
目的 形式 公式
前后相消，简便运算 前后相连，每项等差
（尾的尾－头的头）÷每ห้องสมุดไป่ตู้尾头差
整数裂项 基本公式
小热身
1． 计算：50＋49－48－47＋46＋45－44－43＋……－4－3＋2＋1
以相互抵消。S＝(99×100×101)÷3＝333300
练习1
1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋……＋48×49＋49×50
【答案】 设S＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋……＋48×49＋49×50 1×2＝(1×2×3－0×1×2)÷3 2×3＝(2×3×4－1×2×3)÷3 …… 49×50＝(49×50×51－48×49×50)÷3 将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多
例题1
1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋……＋98×99＋99×100
【答案】 设S＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋……＋98×99＋99×100 1×2＝(1×2×3－0×1×2)÷3 2×3＝(2×3×4－1×2×3)÷3 …… 99×100＝(99×100×101－98×99×100)÷3 将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可
例题3
（1）1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋16×17×18＋17×18×19
【答案】 1×2×3＝(1×2×3×4-0×1×2×3)÷4 2×3×4＝(2×3×4×5-1×2×3×4)÷4 3×4×5＝(3×4×5×6-2×3×4×5)÷4 …… 17×18×19＝(17×18×19×20－16×17×18×19)÷4 右边累加，括号内相互抵消，整个结果为 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋16×17×18＋17×18×19 ＝(17×18×19×20-0×1×2×3)÷4＝29070
练习3
1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋9×10×11
【答案】 1×2×3＝(1×2×3×4-0×1×2×3)÷(4－0) 2×3×4＝(2×3×4×5-1×2×3×4)÷(5－1) 3×4×5＝(3×4×5×6-2×3×4×5)÷(6－2) …… 9×10×11＝(9×10×11×12－8×9×10×11)÷(12－8) 右边累加，括号内相互抵消，整个结果为 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋9×10×11 ＝(9×10×11×12－0×1×2×3)÷4＝2970
练习4
（1）250×249－249×248＋248×247－247×246＋……＋2×1
【答案】
250×249－249×248＋248×247－247×246＋……＋2×1
＝249×2＋247×2＋……＋3×2＋1×2
＝2×(1＋249)×125÷2 ＝31250
（2）1×2＋3×4＋5×6＋7×8＋……＋47×48＋49×50
【答案】
1×2＋3×4＋5×6＋7×8＋……＋47×48＋49×50 ＝2＋(2×4＋4)＋(4×6＋6)＋(6×8＋8)＋……＋(48×50＋50) ＝(2×4＋4×6＋6×8＋……＋48×50)＋(2＋4＋6＋8＋……＋＋50) ＝48×50×52÷6＋(2＋50)×25÷2 ＝20800＋650 ＝21450
例题5
1×1！＋2×2！＋3×3！＋4×4！＋……＋2020×2020！（结果
用阶乘表示）
【答案】 观察发现2×2!＝2×2×1＝(3－1)×2×1＝3!－2! 3×3!＝3×3×2×1＝(4－1)×3×2×1＝4!－3!， …… 2020×2020！ ＝2020×2020×2019×……×2×1 ＝(2021－1)×2020×2019×……×2×1 ＝2021！－2020！ 可见，1×1！＋2×2！＋3×3！＋4×4！＋……＋2020×2020！ ＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4!－3!)＋……＋(2021！－2020！) ＝2021！－1！
例题3
（2）1×3×5＋3×5×7＋……＋17×19×21
【答案】 3×5×7＝(3×5×7×9－1×3×5×7)÷8 5×7×9＝(5×7×9×11－3×5×7×9)÷8 …… 17×19×21＝(17×19×21×23－15×17×19×21)÷8 右边累加，括号内相互抵消，整个结果为 1×3×5＋3×5×7＋……＋17×19×21 ＝1×3×5＋(17×19×21×23－1×3×5×7)÷8＝19503
选讲题
※ 1×100＋2×99＋3×98＋4×96＋5×95＋……＋100×1
【答案】 1×100＋2×99＋3×98＋4×96＋5×95＋……＋100×1 ＝1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋……＋(1＋2＋3＋……＋100) ＝1×2÷2＋2×3÷2＋3×4÷2＋……＋100×101÷2 ＝(1×2＋2×3＋3×4＋……＋100×101)÷2 ＝(100×101×102÷3)÷2 ＝171700