知识讲解_同角三角函数基本关系式和诱导公式(文)

同角三角函数基本关系式和诱导公式
【考纲要求】
1.理解并熟练应用同角三角函数的基本关系式：,1cos sin 2
2=+x x sin tan ,cos x
x x
=tan cot 1x x =，掌握已知一个 角的三角函数值求其他三角函数值的方法.
2.能熟练运用诱导公式，运用任意角的三角函数值化简、求值与证明简单的三角恒等式. 【知识网络】
【考点梳理】
考点一、同角三角函数基本关系式
1．平方关系：2
2
2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α.
2．商数关系：sin cos tan ;cot cos sin α
α
α=
α=
α
α
. 3．倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α⋅α=αα=α⋅α=
要点诠释：
①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.
②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如2
2
1sin cos =α+α，
221sec tan tan 45=α-α==
，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法
及方程思想的运用. 考点二、诱导公式
sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .
πααπααπαα+=-+=-+= sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .
αααααα-=--=-=- sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .
πααπααπαα-=-=--=-
sin()cos ,
2cos()sin .
2
πααπ
αα-=-=
sin()cos ,
2cos()sin .
2
π
ααπ
αα+=+=-
3sin(
)cos ,23cos()sin .2πααπαα-=--=- 3sin()cos ,23cos()sin .
2
πααπαα+=-+= 要点诠释：
（1）两类诱导公式的记忆，经常使用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”。

“奇变”是指所涉及的轴上角为
2π
的奇数倍时（包括4组：απ±2，απ±23）函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于改变函数名称.
“偶不变”是指所涉及的轴上角为
2
π
的偶数倍时（包括5组：απαπααπ-±-+2,,,2k ）, 函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题.
（2）诱导公式的引申：
sin()(1)sin ,cos()(1)cos ,tan()tan .()
k k k k k k Z πααπααπαα+=-+=-+=∈ 【典型例题】
类型一、同角三角函数基本关系式及诱导公式
例1. 已知4sin 5α=，(,)2π
απ∈，求cos α、tan α的值． 【答案】3cos 5α=-，4
tan 3
α=-.
【解析】方法一：∵4sin 5α=，∴2
3cos 1sin 5
αα=±-=±，
∵(
,)2
π
απ∈，
∴3cos 5α=-
，sin 4tan cos 3
ααα==-. 方法二：∵(
,)2
π
απ∈，∴cos 0α<，tan 0α<
由图形可以知道：3cos 5α=-
，4
tan 3
α=-. 【总结升华】①利用公式：2
2
sin cos 1αα+=求解时，要注意角的范围，从而确定三角函数值的符号；②三角赋值法多用于选择题和填空题，其理论基础源于“实数由符号和绝对值两部分组成”.
举一反三：
【变式1】已知1cos 4θ=
，(,0)2
π
θ∈-，求sin θ、tan θ. 【答案】15
sin θ=tan 15θ=-．
【解析】∵1cos 4
θ=
，∴sin 4θ==±，
∵(,0)2
π
θ∈-
，
∴sin 4θ=-
，sin tan cos α
αα
==【变式2】已知3(,)2
π
απ∈，tan 2α=，求cos α. 【答案】
43
. 类型二、三角函数式的求值、化简与证明
例2.(2015 四川高考) 已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos 2α的值是______________． 【答案】－1
【解析】由已知可得tanα＝－2
22
222
2sin cos cos 2tan 141
2sin cos cos 1sin cos tan 141
αααααααααα-----====-+++ 故答案为：－1
【总结升华】（1）三角函数式的值应先化简再代入求值；（2）三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题可用“1”代换，如221sin cos =α+α.
举一反三：
【变式】(2015春 新余校级月考)已知角α终边上一点()4,3P -，求()cos sin 220159cos tan 22παπαππαα⎛⎫
+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
的值. 【解析】
角α上终边上一点()4,3P -
3
sin 5
α∴=
=
，4cos 5α==- ()
()2cos sin sin sin sin 9220159sin cot cos 20cos tan 22a παπααααππαααα⎛⎫
+-- ⎪-⋅⎝⎭∴==-=--⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
例3.化简
[][]sin()cos (1),sin (1)cos()
k k k Z k k παπαπαπα---∈+++
【解析】（1）当2,k n n Z =∈时，
原式sin()cos()sin (cos )
1sin()cos sin cos απαααπαααα
-----=
==-+-；
（2）当21,k n n Z =+∈时， 原式sin()cos()sin cos 1sin cos sin cos παααα
αααα
--=
==.
【总结升华】当三角函数式中含有k π时，不能直接运用诱导公式进行变形，需对k 分奇偶进行讨论.
举一反三：
【变式1】化简cot()
sin(5)cos(8)23tan(3)sin(4)tan()2
π
θθππθππθθπθ---⋅⋅
---- 【答案】sin θ
【解析】原式sin()tan cos()sin tan cos sin tan()cot sin()tan cot sin θπθθθθθ
θθθθθθθ---=
⋅⋅=⋅⋅=------
【变式2】化简
[][]
sin (21)2sin (21)sin(2)cos(2)
n n n n απαπαππα+++-+--
【答案】3
cos α
-
【解析】原式[][]
sin ()22sin ()2sin(2)cos(2)
n n n n παπαππαππα+++--=
--
sin()2sin()sin 2sin 3
sin cos sin cos cos πααπααααααα
++---=
==-
【高清课堂：三角函数的概念xxxxxx 例4】 【变式3】求
sin |cos |tan |sin |cos |tan |
x x x
x x x ++的值. 【答案】当x 为第一象限角时，值为3；当x 为第二、三、四象限角时，值为-1.
例4.证明sin tan tan (cos sin )sin cot csc αα
αααααα
+-+
=+
【解析】左边sin sin sin (cos sin )cos cos 1cos sin sin αααααααααα
+
-=+
+
2sin (cos sin )sin cos cos αααααα
-=+
sin cos sin =cos αα
αα
⋅=
=右边
【总结升华】证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法为（1）从一边开始证得另一边；（2）证明左右两边都等于同一个式子；（3）分析法．三角变化中还要注意使用“化弦法”.
举一反三：
【变式】证明1sin 1cos tan cot 1cos 1sin θθ
θθθθ
--⋅
=⋅
++ 【解析】分析法：要证1sin 1cos tan cot 1cos 1sin θθ
θθθθ
--⋅=⋅
++成立， 只要证22tan 1cos cot 1sin θθ
θθ-=+成立 只要证22
2sin tan cos θ
θθ
=成立
因为上式是成立的，所以原式成立.
类型三、三角函数问题中的齐次式问题----整体代换思想 例5.已知 3sin(3)2sin()2
π
παα+=+，求下列各式的值： （1）
sin 4cos ;5sin 2cos αα
αα
-+ （2）2sin sin 2αα+
【解析】方法一：由3sin(3)2sin()2
π
παα+=+可得sin 2cos αα-=-，即tan 2α=，
（1） 原式tan 4241
5tan 25226
αα--===-+⨯+.
（2） 原式222
222
sin 2sin cos tan 2tan 8
sin 2sin cos sin cos tan 15
ααααααααααα++=+===++. 方法二：由已知得sin 2cos αα=， （1） 原式2cos 4cos 110cos 2cos 6
αααα-=
=-+.
（2） 原式2222
22
22sin 2sin cos sin sin 8
sin 2sin cos 1sin cos 5sin sin 4
αααααααααααα++=+===++. 【总结升华】
已知tan m α=的条件下，求关于sin ,cos αα的齐次式问题，解这类问题必须注意以下几点： 1. 一定是关于sin ,cos αα的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式.
2. 因为cos 0α≠，所以可以用*
cos ()n
n N α∈除之，这样可以将被求式化为关于tan α的表达式，
可整体代入tan m α=，从而完成被求式的求值运算. 3. 注意2
21sin cos αα=+的应用.
举一反三：
【变式】已知tan 2θ=,则2
2sin
sin cos 2cos θθθθ+-=（ ）
4.3A -
5.4B 3.4C - 4
.5
D
【答案】D
类型四、涉及sin cos αα±问题----平方关系的应用 例6．已知1
sin cos 5
ββ+=，且0βπ<<．求sin cos ββ、sin cos ββ-的值； 【答案】1225-；75
【解析】
方法一：由1sin cos 5ββ+=
可得：22
1sin 2sin cos cos 25ββββ++=， 即112sin cos 25ββ+=，∴12
sin cos 25ββ=-
∵1sin cos 5ββ+=，12
sin cos 25
ββ=-
∴sin β、cos β是方程2
1120525
x x --=的两根，
∴4sin 53cos 5ββ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或3sin 54cos 5ββ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∵0βπ<<， ∴sin 0β>，
∴4sin 5β=
，3
cos 5
β=-， ∴7
sin cos 5ββ-=
方法二：由1sin cos 5ββ+=可得：22
1sin 2sin cos cos 25ββββ++=，
即112sin cos 25ββ+=，∴12
sin cos 25
ββ=-
∵0βπ<<，∴sin 0β>，∴cos 0β<，∴sin cos 0ββ-> 由2
1249
sin cos 12sin cos 122525
ββββ-=-=+⨯=
（） ∴7sin cos 5
ββ-=
【总结升华】对于sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+⋅-这三个式子，已知其中一个式子的值，可以求出其余两个式子的值，如：
2
sin cos 12sin cos αααα+=+（）； 2sin cos 12sin cos αααα-=-（）；
22
sin cos sin cos 2αααα++-=（）（）.
举一反三：
【变式】已知sin cos 2αα+=，求2211
sin cos αα
+的值. 【答案】16
【解析】由sin cos 2αα+=
可得：22
1sin 2sin cos cos 12sin cos 2
αααααα++=+=； 于是1sin cos 4
αα=-
， ∴222222
11sin cos 16sin cos sin cos αα
αααα
++==．。