数学：湖南省邵阳十中《用好二次根式的运算技巧》练习题(八年级)

用好二次根式的运算技巧
二次根式的运算是初中代数的重要内容之一，其化简运算过程比较麻烦，若能根据不同的题型巧妙地运用技能技巧，就可以简化运算过程，提高运算效率。

一、巧用运算性质
例1 计算：⑴()()2005100225945+⨯-； 解：原式()()()100220042252525⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦
()()()2004252525⎡⎤=++-⎣⎦
25=+。

⑵3625945-⨯+。

解：原式=()2362525-⨯+
=()()32525-+
311=-=-。

二、灵活运用乘法公式
例2 计算：⑴
()()2631-+； 解：原式=()()21313-+
22=-。

⑵()()
235322330+++-。

解：原式=()()
235181230+++- (
)()6235235=+++- ()()226235⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦
()6526512=+-=。

三、用好分解约分
例3 计算：2a b ab a b a b b a
++++。

解：原式()2a b ab ab a b ab a b +=+++ 2a b ab a b ++=+()2a b a b a b +==++。

例4 计算：111
a a a a a a a --++-+。

解：原式()
()()()31
1
111a a a a a a a --+=++-+1111
a a a =+=++。

四、慎用分母有理化
例5 化简x y x y
-+。

分析：由于()x y +的有理化因式()x y -可能为零，所以不能将分子、分母同乘以()x y -。

若分x y =与x y ≠两种情况讨论又比较麻烦，注意到本题的结构特点，可改用分解约分法，既简捷又避免讨论。

解：原式()()x y x y
x y x y +-==-+。

五、妙用拆添项技巧
例6 化简⑴146535
++； 解：原式()2359655353535
+++===+++ ⑵352
+。

解：原式=()()5252
5252+-=-+。

六、巧妙换元
例7 计算：635+635--。

解：设635+635--x =，
两边平方，得2
10x =。

又因为0x >，所以10x =。

则635+635--10=。

七、用好配方法
例8 计算：635+635--。

解：原式122351223522
+-=- ()()22757522+-=
- ()()
2
2757522=+-- 10=。

例9 已知：12a b -=+，12b c -=-，
求：222a b c ab bc ca ++---的值。

解：由已知可得：2a c -=。

则原式()22212222222
a b c ab bc ca =++--- ()()()22212a b b c a c ⎡⎤=
-+-+-⎣⎦ ()()22211212252⎡⎤=++-+=⎢⎥⎣⎦。

八、用好整体代换
例10 已知：3131x -=
+，3131y +=-， 求：334x y +-的值。

分析：因为待求式可变形为含x y +与xy 的式子，因此先求出x y +，xy 的值，再整体代入计算。

解：4x y +=，1xy =，
∴原式()()234x y x y xy ⎡⎤=++--⎣⎦
()24434=--43=。

九、挖掘隐含条件，紧扣定义
例11 已知：112y x x =-+-+，则x y
= 。

解：由算术平方根的定义可知：10,10.
x x -≥⎧⎨-≥⎩1x ∴=。

2y =。

12
x y ∴=。

例12 x ，y 都是正整数，且1998x y +
=，
求x y +的值。

分析：初遇此题，可能会无从下手，从而束手无策。

但仔细观察后发现，两个二次根式合并成一个二次根式，你会惊喜地发现，原来它们是同类二次根式，这问题就迎刃而解了。

解：19983222x y +==，
222,2222.x y ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩或2222,222.
x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
即222,888.x y =⎧∴⎨=⎩或888,222.x y =⎧⎨=⎩
1110x y ∴+=。