浙江省九年级数学竞赛辅导系列 讲座八 相似形练习

数学竞赛辅导系列讲座八——相似形
1、在正三角形ABC 的边BC 、AC 上分别有点E 、F ，且满足BE=CF=a ， EC=FA=b （a>b ），当BF 平分AE 时，则a b
的值为（ ）
A 、5-12
B 、5-22
C 、5+1
2
D 、
5+2
2
2、设AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE 的长为（ ）
A 、18
5
B 、4
C 、215
D 、245
3、O 是△ABC 的外心，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，则OD ：OE ：OF=（ ）
A 、a ：b ：c
B 、1a ：1b ：1
c C 、Cos A ：CosB ： CosC D 、SinA ：SinB ：SinC
4、如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截， AB 被截成三等分，则图中阴影部分面积为（ ）
A 、4
B 、2 3
C 、3 3
D 、4 3
5、在等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上取两点M 、N ，使∠MCN=45°， 记AM=m ，MN=x ，BN=n ，则以x 、m 、n 为边长的三角形形状是（ ）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、随x 、m 、n 的变化而变化
6、△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD=DC=FC=1，则AC=（ ）
A 、 2
B 、 3
C 、3
2
D 、33
7、Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，CD 是斜边AB 上的高，在BC 和CA 上分别取点E 和F ，使△EFD 和△ABC 相似，这样的△FED 有（ ）个
A 、1
B 、2
C 、3
D 、多于3
8、设锐角△ABC 的三条高AD 、BE 、CF 相交于H ，若BC=a ，AC=b ，AB=c ，则AH ·AC+BH ·BE+CH ·CF 的值是（ ） A 、
1()2ab bc ca ++ B 、2221()2a b c ++ C 、2()3ab bc ca ++ D 、2222
()3
a b c ++ F
A
C
9、设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE ∥BC 交AC 于点E ，作DF ∥AC 交B C 于点F ，已知△ADE ，△DBF 的面积为m 和n ，则四边形DECF 的面积为10、如图，
ABCD 的对角线相交于O ，在AB 的延长线上任取一点E ，
连结OE ，交BC 于F ，若AB=a ，AD=c ，BE=b ，则BF=___________．
11、已知△ABC 为锐角三角形，其最大边AC 上有一点P （P 与A 、C 不重合），过P 作直线l ，使l 截△ABC 所得的三角形与原三角形相似，则这样的直线可以作______条． 12、正方形ABCD 边长为1，M 、N 为BD 所在直线上两点，且A M= 5 ，∠MAN=135°，则四边形AMCN 的面积为________．
13、如图，已知△ABC 的面积为1，D 为BC 的中点，E 、F 分别在AC 、AB 上，且S △BDF =15 ，
S △CDE =1
3
，则S △DEF =_________．
14、△ABC 中，∠C=90°，D 、E 分别为BC 上的两点，且∠ABC=12 ∠ADC=1
3 ∠AEC ，若
BD=11，DE=5，则AC=______．
15、如图，已知边长为a b c -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形，其中a 、b 、c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则
a c
b
-=___________．
16、如图，△ABC 中，AB=2，AC= 3 ，∠A=∠BCD=45°，则BC 的长为______，△BDC
c
F O
C
E
C
A
B
D
B C
A
E
F
G
A
D
A
C
B
的面积为______．
17、设CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，I 1、I 2分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC=3，BC=4，求I 1I 2．
18、如图，在△ABC ，D 、E 分别是AC 、BC 的中点，BF=1
3 AB ，BD 与FC 相交于G ，
（1）求证：EG ∥AC ；
（2）求BFG BEG
S
S ∆∆的比值．
19、已知线段AB ，只用圆规把线段AB 二等分．
20、分别以锐角△ABC 的三边为边向外作正△A BC 、正△BCE 、正△CAF ，三个正三角形的中心分别为O 1、O 2、O 3，求证：△O 1O 2O 3是正三角形．
21、如图，在平行四边形ABCD 中，P 1、P 2、……、P n-1分别是BD 的n 等分点，连结AP 2并延长交BC 于点E ，连结AP n-2并延长交CD 于点F ， （1）求证：EF ∥BD ；
（2）若平行四边形ABCD 的面积为S ，且S △AEF =3
8 S ，求n 的值．
G
D
C
F
F
A
D
P 1
P 2
P n-2
P n-1
22、是否存在一个边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角是另一个内角的2倍的△ABC ？证明你的结论．
23、如图，在直角梯形ABCD ，∠ABC=∠BAD=90°，AB=16，对角线AC 与BD 交于点E ，过E 作EF ⊥AB 于点F ，O 为AB 中点，且EF+EO=8，求AD+BC 的值．
24、已知点D 在△ABC 的边BC 上，且与B 、C 不重合，过D 作AC 的平行线DE 交AB 于E ，作AB 的平行线DF 交AC 于点F ，又已知BC=5，
①设△ABC 的面积为S ，若四边形AEDF 的面积为2
5 S ，求BD 的长；
②若AC= 2 AB ，且DF 经过△ABC 的重心G ，求EF 两点间的距离．
25、如图，O 是四边形ABCD 对角线交点，已知∠BAD+∠BCA=180°，AB=5，AC=4，AD=3，BO DO =7
6 ，求BC ．
26．如图是由四个大小不等的、顶角为120o 的等腰三角形拼接而成．已知三角形ABC 面积
F
E
O
O
E
D
B
A
为100，三角形ACD面积为33，三角形ABF面积为35．组成图形的四个等腰三角形中，求最小的一个面积是多少?
27．如图在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=2，E是CD上一点，且∠EBC=∠ABD．
（1）若BC=x，CE=y．求y关于x的函数关系式，并求自变量x的取值范围；
（2）连结AE，是否存在x，使⊿ABE与⊿DBC相似．若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
28．
29．如图，正方形ABCD和正方
形EFGH中，O为BC、FG的中
点，且点F在正方形ABCD内，连AE、BF，则AE：BF的值为．
30．如图所示，在⊿ABC 的两侧向形外作正⊿ABP 和⊿ACQ ，点E 、F 是这两个正三角形的中心，再以EF 为一边向上作正三角形DEF ． 求证：（1）
BC=3AD ； （2）AD ⊥BC ．
31．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若⊿CDF 为等腰三角形，则
AE
AD
= ． 32．在⊿ABC 中，∠A=0
24，∠B=030，在边AB 上有一点D ，使BD=AC ，连结CD ．求∠BDC 的度数．
33．（xx 年北京市中考）如图在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，AB =2，D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．设
AD x =，CE y =，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系图象大致是( )
Q
P
F
E
D
C
B
A
D
C
B
A
C
34.等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，BC =42,AD =2，B =45°．直角三角板含45°角的顶点E 在边BC 上移动（不与点C 重合），一直角边始终经过点A （如图），斜边与CD 交于点F ．设BE=x ，CF=y ，
（1） 求y 关于x 的函数解析式，并求出当点E 移动到什么位置时y 的值最大，最大值是
多少？
（2） 连结AF ，当⊿AEF 为直角三角形时，求x 的值; （3） 求点E 移动过程中，⊿ADF 外接圆半径的最小值.。