安徽省淮北市高二数学下学期期中试题 理(2021年整理)

安徽省淮北市2016-2017学年高二数学下学期期中试题理
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安徽省淮北市2016—2017学年高二数学下学期期中试题 理
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷相应的位置。

2、全部答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3、本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷
一、 选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题只有一项是符合题目要求的.）
1。

设集合 M={x ｜ 0 x 2, x Z ｝ N=x ｜ x 2 3x 2≤0,则 M N
=（ ) A 。

｛0，1} B 。

[0, 2] C 。

[1, 2］ D. ｛1，2｝
2.已知复数 z 满足 z i 1 2i
2 ，则复数 z 在复平面内的对应点所在
象限是(
)
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知 F 是抛物线 y 2
=x 的焦点，A,B 是该抛物线上的两点，｜AF ｜+｜BF|=3,则线段 AB 的中
点到 y 轴的距离为( ）
A ． 3
B ．1
C ． 5
D ． 7
4
4 4 1 log 2 (2 x )， x 1, ， f (2) f （log 2
12) ( ） 4．设函数 f （x )
, x
1， 2x 1
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
5．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图，则
截去部分体积与剩余部分体积的比值为
(
)
A ． 1
B ． 1
C ． 1
D ． 1
5 7
6 8
6．若 m∈R，则“log6m=﹣1”是“直线 l1：x+2my ﹣1=0 与 l2：（3m ﹣1）x ﹣my ﹣1=0 平行”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
cos 2 x
7。

04
dx = ( ）
cos x
sin x 1
A． 2(21)B．1C．1D． 2
222
x y 3
0x
2 y
8。

若变量 x、y 满足约束条件
x y 1
0 ，则
z=的最小值为（）
x
y
1
A．0B．2C．1D．3
9．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够
自由交谈,事先了解到的情况如下:
甲是中国人，还会说英语．
乙是法国人，还会说日语．
丙是英国人,还会说法语．
丁是日本人，还会说汉语．
戊是法国人，还会说德语．
则这五位代表的座位顺序应为(）
A．甲丙丁戊乙 B．甲丁丙乙戊 C．甲乙丙丁戊 D．甲丙戊乙丁
10．如图,在△ ABC中，AN 1NC , P是BN上的
一点,
3
若AP m AB 2
AC ，则实数 m 的值
为() 9
B．1C．1
A．1D． 3
93
11 。

函数 f（x)＝sin（2x＋φ）|φ｜<π的图像向左平移π个单位长度后所得图像关于原点对称，
2
6
0，π
则函数 f（x)在
上的最小值为
（)
B．－1C。

1 D.
A．－
33
2222
12．若函数 f（x）=ae x﹣x﹣2a 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围
是（) A．（
，1）B．（0，1)C．（﹣∞,0）D．（0,+∞）
e e
第Ⅱ卷
二、填空题:(本大题共 4 小题，每小题 5 分.)
13. 命题“x∈R，x2—x+3>0"的否定是
14．已知数列｛a n｝的前 n 项和S n 2n 3 ，则数列｛a n｝的通项公式为
___________。

15．已知 A,B 为双曲线 E 的左，右顶点,点 M 在 E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，
则 E 的离心率为
2
1 2 x 2 1
16。

已知函数 f x ( x R ）满足 f 1 1,且 f x 的导数 f x 2 ,则不等式 f x
2 2 的解集为 ．
三、 解答题（本大题共 6 小题，70 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分 10 分)已知△ABC 是等边三角形，
D 在 BC 的延长线上,且 CD=2， S
ABD
6 3 ．
（Ⅰ)求 AB 的长；
（Ⅱ）求 sin∠CAD 的值．
18.（本小题满分 12 分)已知数列a n 满足 a 1 =1， a n 1 3a n
1。

(Ⅰ）证明a n 1
2是等比数列,并求a n 的通项公式；
1 1 1 3 （1 1 ) 的大小，并证明你的结
论. (Ⅱ)猜测 …+ 与
2
a a 2 a n 3n 1
19。

(本小题满分 12 分）设函数 f (x )
a 2
ln x x 2
ax , （a 0） 。

（注:e 为自然对数的底数）
(I ）求 f （x ) 的单调区间
(II ）求所有实数 a ，使 e
1 f （x ） e 2
对 x
[1, e ] 恒成立。

20．（本小题满分 12 分)如图 1，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点．将△ADE 沿 DE 折起使得平面 ADE⊥平面 BCDE ，如图 2，F 是折叠后 AC 的中点．
（Ⅰ)求证:BF∥平面 ADE；（Ⅱ）求二面角E﹣AB﹣D 的平面角的余弦值．
3
21. （本小题满分 12 分)已知直线 l:y=x+1,圆 O: x2y232，直线 l 被圆截得的弦长与椭圆 C：
x2y2 1, （a
b 0)的短轴长相等，椭圆的离心率 e
=
2。

a2b22
(Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）过点 M (0, 13）的动直线l0交椭圆 C 于 A。

B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 T，
使得无论l0如何转动，以 AB 为直径的圆恒过定点 T?若存在,求出点 T 的坐标；若不存在，请
说明理由。

22.已知函数f x ln x1，g x12x2x。

（Ⅰ)求过点1， 0且与曲线y f x相切的直线方程;
（Ⅱ）设h x af x g x,其中a为非零实数，y h x有两个极值点x1，x2 ,且x1x2，
求 a 的取值范围；
（III)在（Ⅱ）的条件下，求证： 2h x2x1 0 .
4
高二年级2016-2017学年度第二学期期中考试试卷
理科数学参考答案
一、1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D C C A A C B D B A
D
二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分.）
13。

20,30x R x x ∃∈-+≤ 14．151
22n n n a n -=⎧=⎨≥⎩
15. 2e = 16。

11-∞-+∞（，）（，） 三、解答题
17．（本小题满分10分)
【解答】:(Ⅰ）设AB=x ．因为△ABC 是等边三角形，所以3
ABC π
∠=
．因为1
sin 2
ABD S AB BD ABC ∆=
•∠,所以1363(2)22
x x =
•+•
．即x 2
+2x ﹣24=0．所以x=4，x=﹣6（舍）．所以AB=4．
(Ⅱ)因为AD 2
=AB 2
+BD 2
﹣2AB •BDcos ∠ABC ，所以21
1636246282
AD =+-⨯⨯⨯=．
所以27AD =．在△ACD 中，因为sin sin CD AD
CAD ACD
=∠∠，所
以．3
2sin 212sin 1427
CD ACD CAD AD ⨯
•∠∠===
18．（本小题满分12分） 【解答】:（1）
11n 1111,3 1.n N*.
111
a 313().222131a =00222113
{},3222n n n n n n a a a a a a a a ++==+∈∴+
=++=++≠+≠∴++=又及传递性知是首项为公比为的等比数列。

（2）结论:1231111(1)23n
n a a a ++≤-…+
1
-112-1123
123133-112
(1),.
2223-11
()1,1212.3-13
11-
111
111131
311-1333231-3
1111311-*.23
n n n n n n n n n n n n n n n a a a a n a a a a a n N a a a a +===I =II ≥=<∴
++++
<++++==+++
+
≤∈法1：由知，，n=1时
()当时
（）
所以，（），（证毕）
12312123
11231111
1311-*23
133-112
(1),.
2223-11111
()12431111311-23
11111311-23
1n n n n n n n n k k k k k n N a a a a a a a n a a a a a a a a a a a a +++++
+
≤∈+===I ===<
II ≥++++
<+++++<法2：猜测：（），下用数学归纳法证明
由知，，n=1时满足，时()假设n=k(k 2)时（）则n=k+1时只需证（）又
1123
111112*********-+,2331
31231
1-+1-23312321
1,3131111311-*.23
k k k k k k k k k k n n a a a a n N a a a a +++++++++
+<-∴≤-≤≥-∴∴++++≤∈（）只需证（）（）
即证，即证3显然成立。

n=k+1时命题成立（），（证毕）
19.（本小题满分12分）
【解答】:（Ⅰ)因为22()ln f x a x x ax =-+，其中0x >，
所以2()(2)
'()-2a x a x a f x x a x x
-+=+=-.
由于0a >,所以()f x 的增区间为（0，a)，减区间为（a,+∞） (Ⅱ）证明:由题意得, (1)11f a e =-≥-，即a e ≥ 由（Ⅰ）知()f x 在[1,e ］恒成立，
要使21()e f x e -≤≤对[1,]x e ∈恒成立,
只要222
(1)11
()f a e f e a e ae e =-≥-⎧⎨=-+≤⎩
解得a e
=。

20.（本小题满分12分)
【解答】：（Ⅰ) 证明：取AD中点G，连结EG，FG，∵F为AC中点,∴,
∴，
∴四边形EBFG是平行四边形
∴BF∥EG，又BF⊄平面ADE，EG⊂平面ADE，
∴EG∥平面ADE
（Ⅱ）如图示以E为坐标原点，
建立空间直角坐标系
则由已知得A，
B（1，0，0），D（﹣1，2，0)
设平面EAB的法向量为
则
解得一个法向量为
设平面ABD的法向量为
则
解得一个法向量为
∵，
∴二面角E﹣AB﹣D的平面角的余弦值．…（15分）
21．（本小题满分12分）
【解答】：(Ⅰ)则由题设可知b=1，
又e=
2
2
，∴
2
2
11
2
a
a
-
=,∴a2=2 所以椭圆C的方程是
2
21
2
x
y
+=.
（Ⅱ)若直线
l与y轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1①
若直线0l 垂直于y 轴,则以AB 为直径的圆是22116
()39x y ++= ②,由①②解得0
1x y =⎧⎨=⎩。

由此可知所求点T 如果存在,只能是（0，1）
事实上点T (0,1）就是所求的点。

下面证明当直线0l 的斜率存在且不为0时T （0，1)也符合要求。

设0l 的方程为1
3y kx =-，代入椭圆方程,并整理,得（18k 2+9）x 2
−12kx −16=0
设点A 。

B 的坐标分别为A (x 1，y 1），B (x 2,y 2），则12212189k x x k +=+,12216
189x x k =-+
∵1,1(1)TA x y =-，2,2(1)TB x y =- ∴
22221212121224161616163216
(1)(1)(1)()0
39189k k k TA TB x x y y k x x x x k ---++•=+--=+-++==+
∴TA TB ⊥即以AB 为直径的圆恒过定点T(0,1)
综上可知，在坐标平面上存在一个定点T (0，1)满足条件
22。

(本小题满分12分）
【解答】：（Ⅰ)()1
1f x x '=+
设切点为()00,x y ，则切线的斜率为0
1
1k x =+
点()00,x y 在()()ln 1f x x =+上,()00ln 1y x ∴=+
()000ln 11
11
x x x +∴=++，解得01x e =-
∴切线的斜率为1
e ，∴切线方程为10x ey -+=
（Ⅱ）()()()()21
ln 12h x af x g x a x x x =+=++-
()()
211,111x a a h x x x x x +-'=+-=>-++
当10a -≥时,即1a ≥时，()()0,h x h x '≥在()1,-+∞上单调递增； 当01a <<时，由()0h x '=
得，12x x ==()h x
在(1,-上
单调递增，在(
上单调递减，在)+∞上单调递增;
当0a <时，由()0h x '=得,()0x h x =在(上单调递减,在)
+∞上单调递增.
当01a <<时，()h x 有两个极值点，即12x x ==a 的范围是（0,1）
（III ）由（Ⅱ）知12120,1x x x x a +==-,由01a <<得,1210,01x x -<<<< 由()()()2
212222220202ln 10h x x h x x a x x x ->⇔+>⇔++->
2
2211x a x =-∴=-，即证明()()22
222221ln 10x x x x -++->
即证明()()22221ln 10x x x ++->
构造函数()()()()21ln 1,0,1t x x x x x =++-∈， ()()()12ln 10,t x x t x '=++>在()0,1上单调递增， 又()00t =，所以()0t x >在()0,1x ∈时恒成立，即()()22221ln 10x x x ++->成立 212ln 0x x ∴->.。