2013届人教A版理科数学课时试题及解析(27)数列的概念与简单表示法

作 ( 二十七 ) [第 27 数列的观点与 表示法 ]
[ ： 45 分
分 ： 100 分 ]
基 身
5
7 9
(
)
1．
数列 { a n } ： 1，－ 8， 15，－ 24
，⋯的一个通 公式是
A ． a n ＝ (－ 1) n ＋12n － 1
2 ( n ∈N ＋ )
n ＋ n
B ．a n ＝ (－1) n －1 2n ＋ 1
n 3
＋
3n (n ∈ N ＋
)
＋ 2n － 1
(n ∈ N ＋)
C ．a n ＝ (－1)n 1 2
n ＋ 2n
D ． a n ＝ (－ 1) n －1 2n ＋ 1
(n ∈N ＋)
2
n ＋ 2n
2． 数列 { a n } 的前 n 和 S n ＝ n 2
， a 8 的 ()
A ．15
B ．16
C ． 49
D ．64
a 3
n
*
3．在数列 { a n } 中， a 1＝ 1， a n a n － 1＝ a n － 1＋ (－ 1) (n ≥2， n ∈ N
)， a 5的 是 ()
15 15 3 3 A. 16 B. 8 C.4 D.8
4．
已知数列 { a n } 中， a 1＝ 1
， a n ＋ 1＝ 1－ 1
(n ∈ N * ) ， a 16＝________.
2 a n
能力提高
5． 把 1,3,6,10,15,21 ，⋯ 些数叫做三角形数， 是因 用 些数量的点能够排成一
个正三角形 (如 K27 － 1)． 第 7 个三角形数是 ( )
K27－1
A ．27
B ．28
C ．29
D ． 30
6． 已知 S n 是非零数列 { a n } 的前 n 和，且 S n ＝ 2a n － 1， S 2 011 等于 (
)
A ．1－22010
B ．22 011－1
C ．22 010－ 1
D ．1－ 22 011
7．已知数列 { a n } ， a 1＝ 2， a n ＋ 1＝ a n ＋ 2n(n ∈ N * )， a 100 的 是 (
)
A ．9 900
B ．9 902
C ．9 904
D ．11 000
8．已知数列 { a n } 中， a 1＝1， 1
＝ 1
＋ 3(n ∈ N *) ， a 10＝ (
)
a n ＋
1
a n
A ．28
B ．33 1
1
C.33
D.28
9． 已知数列 { a n } 的通 a n ＝
na
(a ，b ，c ∈(0 ，＋∞ )) ， a n 与 a n ＋1 的大小关系是 ()
nb ＋ c
A ． a n >a n ＋
1 B ． a n <a n ＋
1 C ．a n ＝ a n ＋ 1 D ．不可以确立
10． 已知数列 { a n } 足 a 1＝ 2，且 a n ＋ 1a n ＋ a n ＋ 1－ 2a n ＝ 0(n ∈N * )， a 2＝ ________；并
出数列 { a n } 的通 公式 a n ＝ ________.
11．已知数列{ a n}的前n和S n＝n2＋2n－1，a1＋a3＋a5＋⋯＋a25＝________.
12．若数列 { a n} 的前n 和S n＝ n2－ 10n(n ＝ 1,2,3 ，⋯ )，数列{ a n } 的通公式________________________________________________________________________ ；
数列 { na n} 中数最小的是第________．
13．一起学在中打出以下若干个(中●表示心，○表示空心) ：
●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○
若将此若干个挨次复制获得一系列，那么在前 2 013个中，空心的个数
________．
14． (10 分)在 2011 年 10 月 1 日的国兵式上，有n(n≥2)行、 n＋ 1 列的步兵方．
(1)写出一个数列，用它表示当n 分 2,3,4,5,6，⋯方中的步兵人数；
(2)出 (1) 中数列的第 5、 6 ，并用 a5， a6表示；
(3)把 (1) 中的数列 { a n} ，求数列的通公式a n＝ f(n) ；
(4)已知 a n＝ 9 900， a n是第几？此步兵方有多少行、多少列？
(5)画出 a n＝ f(n)的象，并利用象明方中步兵人数有可能是56,28？
15． (13 分 ) 已知数列 { a n} 足前 n 和 S n＝ n2＋ 1，数列 { b n} 足 b n＝
2
，且前 n a n＋ 1
和 T n， c n＝T2n＋1－ T n.
(1)求数列 { b n} 的通公式；
(2)判断数列 { c n} 的性；
1
－7
log a( a－1)恒建立，求 a 的取范．
(3)当 n≥ 2 ， T2n＋1－ T n<
12
5
点打破
2n
16． (1)(6 分 ) 若数列n n＋ 4 3中的最大是第k ， k＝ ________.
(2)(6 分 )若数列{ a n}足：随意的n∈N*，只有有限个正整数m 使得 a m＜n 建立，
的 m 的个数 (a n) *，获得一个新数列 {( a n)* } ．比如，若数列 { a n} 是 1,2,3 ，⋯，n，⋯，数列 {( a n)* } 是 0,1,2 ，⋯，n－ 1，⋯ .已知随意的 n∈N*，a n＝ n2， (a5)*＝ ________，(( a n)* )*
＝________.
作 (二十七 )
【基 身】
1．D [分析 ] 察数列 { a n } 各 ，可写成： 3
，－
5 ， 7
，－
9
，故 D.
1× 3 2× 4 3× 5 4× 6
2． A [ 分析 ] 当 n ≥ 2 ， a n ＝ S n －S n －1＝ n 2－ (n －1)2＝ 2n － 1， a 8＝2× 8－ 1＝ 15，故 A.
3． C [ 分析 ] 由已知得 a 2＝ 1＋ (－1) 2＝ 2，
由 a 3·a 2＝ a 2＋ (－ 1)
3
，得 a 3＝ 1
2，
1 1 4
又由 a 4＝ ＋ (－ 1)
，得 a 4＝ 3，
2
2
1
由 3a 5＝ 3＋ (－ 1)5
，得 a 5＝ 2， a 3＝ 2＝ 3
，故 C.
3a 5 2 4
3
1 [ 分析 ] 由 可知 a 2＝1 － 1 ＝－ 1， a 3＝ 1－ 1 ＝ 2， a 4＝ 1－ 1
1 1
＝－
4.
a 1 a 2 a 3 ＝ ， a 5＝ 1－
2
2
a 4
1
1，⋯， 此数列 周期数列，周期
3，故 a 16＝ a 1＝ 2.
【能力提高】
5． B [ 分析 ] 依据三角形数的增 律可知第七个三角形数是
1＋ 2＋ 3＋4＋ 5＋ 6＋ 7
＝ 28，故 B.
6． B [ 分析 ] 当 n ＝1 ， S 1＝ 2a 1－ 1，得 S 1＝a 1＝1；
当 n ≥2 ， a n ＝ S n － S n － 1，代入 S n ＝2a n － 1，得
S n ＝ 2S n － 1＋1，即 S n ＋ 1＝ 2(S n － 1＋ 1)，
∴ S n ＋ 1＝ (S 1＋ 1) ·2n －
1＝ 2n ，∴ S 2 011＝ 22 011－ 1，故 B. ＝ 2(99＋ 98＋⋯＋ 2＋ 1)＋ 2
99·99＋ 1
＝ 2· 2
＋ 2＝9 902，故 B.
1 － 1
＝ 27，故 a 10 ＝ 1
.
8． D
[分析 ] 推式叠加得
a 10 a 1 28
9． B
[分析 ] 把数列 { a n } 的通 化 a n ＝
na
＝
a ，
nb ＋ c
c
b ＋ n
c
a
∵ c>0，∴ y ＝ n 是 减函数，又∵ a>0， b>0，∴ a n ＝ c 增数列，
b ＋n
所以 a n <a n ＋1，故 B.
4 n
2a 1
4
10. 2
[分析 ] 当 n ＝ 1 ，由 推公式，有 a 2a 1＋ a 2－ 2a 1＝0，得 a 2＝
3 n －1 1 ＋1＝
；
2
3
a
同理 a 3＝
2a 2
＝ 8
， a 4＝ 2a 3
＝ 16
，由此可 得出数列 { a n } 的通 公式
a n ＝ n 2n
.
a 2＋ 1 7 a 3＋ 1 15
2 － 1 11． 350 [分析 ] 当 n ＝ 1 ， a 1＝ S 1＝ 12
＋ 2－1＝ 2， 当 n ≥2 ，
a n ＝ S n － S n －1＝ (n 2＋ 2n － 1)－ [(n － 1)2＋ 2(n － 1)－ 1]＝ 2n ＋ 1，
2，n ＝ 1，
又 a 1＝ 2 不合适上式， 数列 { a n } 的通 公式
a n ＝
2n ＋ 1， n ≥2.
所以 a 1＋a 3＋a 5＋⋯＋ a 25＝ (a 1＋ 1)＋ a 3＋ a 5＋⋯＋ a 25－ 1＝ 3＋ 51
×13－ 1＝ 350.
2
12． a n ＝ 2n － 11 3
[ 分析 ] n ≥ 2 ， a n ＝ S n － S n －1＝ n 2－ 10n － [(n － 1)2－ 10(n － 1)]＝ 2n
－ 11；
n ＝ 1 ， a 1＝ S 1＝－ 9 切合上式．
∴数列 { a n } 的通 公式 a n ＝ 2n －11. ∴ na n ＝ 2n 2－11n ，
∴数列 { na n } 中数 最小的 是第 3 ．
13． 448 [分析 ] 复制一次得 数 27 个，此中空心 的个数
6 个，要获得 2013
个 ，需先复制
74 次，再复制前 15 个 即可，所以空心 的个数 74× 6＋ 4＝ 448.
14． [解答 ] (1) 数列 6,12,20,30,42 ，⋯；
(2)a 5 ＝42， a 6＝ 56；
n ＝(n ＋1)( n ＋ 2)( n ∈ N
*
)；
(3)a
(4)由 9900 ＝ (n ＋ 1)(n ＋2)，解得 n ＝ 98， a n 是第 98 ，此 步兵方 有 99 行， 100 列； (5) f (n)＝ n 2＋ 3n ＋2，如 ， 象是散布在函数 f(x) ＝ x 2＋3x ＋ 2 上的孤立的点， 由 可知，人数可能是 56，不行能是 28.
15． [解答 ] (1) 当 n ＝1 ， a 1＝ 2，
当 n ≥2 ， a n ＝ S n － S n － 1＝ 2n －1(n ≥ 2)．
2
3， n ＝ 1，
∴数列 { b n } 的通 公式
b n ＝
1
，n ≥ 2.
n
(2)∵ c n ＝ T 2n ＋1－ T n ，
∴ c n ＝ b n ＋1＋ b n ＋ 2＋⋯＋ b 2n ＋ 1 ＝ 1
＋
1
＋⋯＋
1
，
n ＋ 1 n ＋ 2 2n ＋ 1
∴ c n ＋1 －c n ＝
1 ＋ 1 － 1
<0，
2n ＋ 2 2n ＋ 3 n ＋ 1 ∴数列 { c n } 是 减数列．
1
1 1
(3)由 (2) 知，当 n ≥ 2 c 2＝ ＋ ＋ 最大，
∴ 1＋1＋ 1<1－ 7
log a (a － 1)恒建立， 345512
∴ 1<a< 5＋1
2 .
【 点打破】
16 ． (1)4(2)2
n 2
[分析] (1)
最 大第
k ，有
2 k
2 k ＋ 1
k k ＋ 4 3 ≥ k ＋ 1 k ＋ 5 3 ，
2 k
2 k － 1 k k ＋ 4
3 ≥ k － 1 k ＋ 3 3 ，
k 2≥ 10， ? k ≥ 10或 k ≤－ 10，
? k ＝ 4.
∴
1－ 10≤ k ≤ 1＋ 10 k 2－ 2k －9≤ 0
(2) 本 以数列 背景，通 新定 考 学生自学能力、 新能力、研究能力，属于 2
*
．因
a m <5 ，而 a n ＝ n ，所以 m ＝ 1,2，所以 (a 5) ＝ 2.
(a2)*＝1， (a3 )*＝ 1， (a4)*＝ 1，
(a5)*＝2， (a6 )*＝ 2， (a7)*＝ 2， (a8)*＝2， (a9)*＝ 2，
(a10)*＝ 3，(a11)*＝ 3， (a12)*＝ 3，(a13)*＝ 3， (a14)*＝ 3， ( a15)*＝ 3，(a16) *＝3，所以 ((a1)* )*＝ 1，(( a2)* ) *＝ 4， ((a3)* )*＝ 9， ((a4)* )*＝ 16，猜想 ((a n)* )*＝ n2.。