绵阳市高中2016届高三上学期第二次诊断性考试数学(理)试题

绵阳市高中2013级第二次诊断性考试
数 学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，必将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将对应题目的答案标号涂黑.
第Ⅰ卷共10小题.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.若集合}2|{A x
y y ==，集合}|{B x y y =
=，则=B A I
(A) ),0[+∞
(B) ),1(+∞ (C) ),0(+∞
(D) ),(+∞-∞
2.为了得到函数)52sin(3π
+=x y 的图象，只需把函数)5
sin(3π
+=x y 图象上的所有点 (A)横坐标缩短到原来的
2
1
倍，纵坐标不变 (B) 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 纵坐标缩短到原来的
2
1
倍，横坐标不变 (D) 纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变
3．双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 3
4
=，则双曲线的离心率是
(A)
4
5 (B)
35 (C) 3
7 (D)
3
21
4.在复平面内，复数i R a i a a z ,()1()1(∈++-=为虚数单位），对应的的点在第四象限的充要条件是 (A) 1-≥a
(B) 1->a (C) 1-≤a
(D) 1-<a
5．直线032=-+y x 的倾斜角是θ，则θθθ
θcos sin cos sin -+的值是
(A) -3 (B) -2
(C) 3
1
-
(D) 3
6．在闭区间]6,4[-上随机取出一个数x ，执行右图程序框图，则输出x 不小于39的概率为 (A)
51
(B) 52 (C) 53
(D)
5
4 7．已知点M 是边长为2的形ABCD 的内切圆内（含边界)的一动点，则MB MA •的取值范围是
(A) []0,1- (B) []2,1- (C) []3,1- (D) []4,1-
8．已知正项等比数列
}n a ｛满足82345=--+a a a a ，则76a a +的最小值为 (A) 4 (B) 16 (C) 24
(D) 32
9．已知函数),(21)(2是常数c b c x
b x x f ++=
和x x x 1
41)( g +=定义在M=
}41|≤≤x x ｛上的函数，对任意的M x ∈，存在M x ∈0使得)()(0x f x f ≥，)()(0x g x g ≥，且
)( g )(00x x f =,则)(x f 在集合M 上的最大值为
(A)
2
7
(B)
2
9 (C) 4
(D) 5
10.已知抛物线)0(42
>=p py x 的焦点为F ，直线2+=x y 与该抛物线交于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若
251)(p FN BF AF BF AF --=⋅++•，则p 的值为
(A) 4
1
(B)
2
1
(C) 1 (D) 2
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答.作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.
第Ⅱ卷共11小题
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如右图，则该同学成绩的中位 数是_______．
12.在5
)1(-x x 展开式中含3
x 项的系数是_______．（用数字作答) 13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三全不同的数字组成的三位偶数有_______个．（用数字作答)
14．已知点P 在单位圆12
2
=+y x 上运动，点P 到直线01043=--y x 与3=x 的距离分别记为1d 、2d ，则21d d +最小值为_________．
15．现定义一种运算“⊕”： 对任意实数b a ,， ⎩⎨
⎧<-≥-=⊕1
,1
,b a a b a b b a .设
)3()2()(2+⊕-=x x x x f ，若函数k x f x g +=)()(的图象与x 轴恰有三个公共点，则实数k 的取值范围是_________．
三、解答题：本大题共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本题满分12分）
某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶
段在)2010[，，)30,20[，)4030[，，)5040[，，
)6050[，的市民进行问卷调查，由此得到样本占有率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄在)4030[，的人数；
（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求)6050[，年龄段抽取样品的人数；
（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在)6050[，年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望.
17．（本题满分12分）
已知函数x x x x x f 4
4
sin cos sin 2cos )(--=． (Ⅰ) 若x 是某三角形的一个内角，且的值，并2
2
)(-=x f ，求角x 的大小； (Ⅱ) 当]2
,
0[π
∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合．
18．（本题满分12分）
已知二次函数为非零常数）m m x x x f (4)(2
++=的图象与坐标轴有三个交点，记过 这三个交点的圆为圆C ．
(Ⅰ) 求m 的取值范围；
(Ⅱ) 试证明圆C 过定点取值无关）与m (，并求出定点的坐标．
19．已知等差数列{}n a 的前n 项和S n 满足：S 5=30，S 10=110，数列{}n b 的前n 项和T n 满足：11=b 121=-+n n T b ．
(Ⅰ) 求S n 与b n ；
(Ⅱ) 比较S n b n 与n n a T 2的大小，并说明理由．
20．（本题满分13分）
在平面直角坐标系中，动点M 到定点F （－１，０）的距离与它到直线2-=x 的距离之比是常数
2
2
，记M 的轨迹为T ． (Ⅰ) 求轨迹T 的方程；
(Ⅱ) 过F 且不与x 轴重合的直线m ，与轨迹T 交于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，在轨迹T 上是否存在点Q ，使得四边形A PBQ 为菱形？若存在，请求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分14分）
已知函数为常数）m mx x x f (ln )(-=．
(Ⅰ) 讨论函数)(x f 的单调区间； (Ⅱ) 当2
23≥
m 时，设2
)(2)(x x f x g +=的两个极值点21x x ，，
)21x x <（恰为bx cx x x h --=2ln )(的零点，求)2
(
')(2
121x x h x x y +-=的最小值.
绵阳市高2013级第二次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
BABDC ACDDB
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．127 12．-10 13．52
14．5
5
45-
15．(-3，-2)∪]78(-，-∪{1} 三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．解 ：（I ）由图知，随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的频率为
1-10⨯(0.020+0.025+0.015+0.010)=0.3， 即随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的人数为100⨯0.3=30人． ………3分 （II ）由（I ）知，年龄段在)5040[，，)6050[，的人数分别为100⨯0.15=15人，100⨯0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，
∴ 在)6050[，年龄段抽取的人数为10⨯
25
5
=2人． …………………………6分 （III ）由已知X =0，1，2，
P (X =0)=1032523=C C ，P (X =1)=53251312=C C C ，P (X =2)=101
25
22=C C ， ∴ X 的分布列为
X
1 2
P
103 5
3 10
1 ∴ EX =0×103+1×53
+2×101=5
4． …………………………………………12分
17．解：（I ）f (x )=(cos 2x -sin 2x )(cos 2x +sin 2x )-sin2x
=cos2x -sin2x
=-2sin(2x -4π
)， ……………………………………………3分
由-2sin(2x -4π)=-22，即sin(2x -4π)=21
， ∴ 2x -4π=2k π+6
π，k ∈Z ，或2x -4π
=2k π+65π，k ∈Z ，
解得x =k π+245π，k ∈Z ，或x =k π+24
13π
，k ∈Z ，…………………6分
∵ 0<x <π，
∴ x =
245π，或x =24
13π
． ……………………………………………………8分 （II ）由（I ）知f (x )=-2sin(2x -
4
π
)， ∵ [0]2x π∈，， ∴ 2x -4π
∈3[]44
ππ-，，
∴ -2≤f (x )≤1，
∴ 当且仅当2x -4π=2
π
，即x =83π时，f (x )取得最小值-2，
即f (x )的最小值为-2，此时x 的取值集合为{8
3π
}．……………………12分
18．解：（I ）令x =0，得函数与y 轴的交点是(0，m )．
令04)(2=++=m x x x f ，
由题意0≠m 且0>∆，解的4<m 且0≠m ．…………………………………4分（II ）设所求的圆的一般方程为022=++++F Ey Dx y x ，
令0=y 得02=++F Dx x ，这与042=++m x x 是同一个方程，
故D =4，F =m ，…………………………………………………………………6分 令x =0得02=++F Ey y 方程有一个根为m ， 代入得1--=m E .
∴ 圆C 的方程为0)1(422=++-++m y m x y x ． ……………………………9分 将圆C 的方程整理变形为0)1(422=---++y m y x y x ， 此方程对所有满足4<m 且0≠m 都成立，
须有⎩
⎨⎧=-=-++，，010422y y x y x 解的⎩⎨⎧==，，10y x 或⎩⎨⎧=-=，，14y x
经检验知，(-4，1)和(0，1)均在圆C 上，
因此圆C 过定点(-4，1)和(0，1)．……………………12分
19．解： （I ）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知可得：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=⨯+=⨯+，，11029101030245511d a d a 解得⎩⎨⎧==，，221d a ∴ a n =2+(n -1)×2=2n ，S n =2
)22(n n +=n 2
+n ．………………………………3分
对数列{b n }，由已知有b 2-2T 1=1，即b 2=2b 1+1=3， ∴ b 2=3b 1，（*）
又由已知121n n b T +-=，可得b n -21-n T =1(n ≥2，n ∈N*)，
两式相减得b n +1-b n -2(T n -1-n T )=0，即b n +1-b n -2b n =0(n ≥2，n ∈N *)， 整理得b n +1=3b n (n ≥2，n ∈N *)，
结合（*）得31=+n
n b b
(常数)，n ∈N *，
∴ 数列{b n }是以b 1=1为首项1，3为公比的等比数列，
∴ b n =13-n ．……………………………………………………………………7分 （II ）2T n = b n +1-1=n 3-1，
∴ n n S b =(n 2+n )·13-n ，2n n a T =2n ·(n 3-1)，
于是n n S b -2n n a T =(n 2+n )·13-n - 2n ·(n 3-1)=]2)5(3[1+--n n n ，………………9分
显然当n ≤4(n ∈N *)时，n n S b -2n n a T <0，即n n S b <2n n a T ； 当n ≥5(n ∈N *)时，n n S b -2n n a T >0，即n n S b >2n n a T ，
∴ 当n ≤4(n ∈N *)时，n n S b <2n n a T ；当n ≥5(n ∈N *)时，n n S b >2n n a T ． ………………………………………………12分
20．解：（I ）设动点M (x ，y )，则由题意可得
222)1(22=+++x y x ， 化简整理得C 的方程为12
22
=+y x ．……………3分
（II ）假设存在Q (x 0，y 0)满足条件．设依题意可设直线m 为x =ky -1，
于是⎪⎩⎪⎨⎧=+-=，，12
12
2y x ky x 消去x ，可得(k 2+2) y 2-2ky -1=0， 令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
于是y 1+y 2=222+k k ，x 1+x 2=k (y 1+y 2)-2=2
4
2+-k ，……………………………7分
∴ AB 的中点N 的坐标为(222+-k ，2
2+k k
)．
∵ PQ ⊥l ，
∴ 直线PQ 的方程为y -22+k k =-k (x +22
2+k )，
令y =0，解得x =212+-k ，即P (2
1
2+-k ，0)．………………………………9分
∵ P 、Q 关于N 点对称，
∴ 222+-k =21( x 0212+-k )，22+k k
=2
1( y 0+0)，
解得x 0=232+-k ，y 0=222+k k ，即Q (232+-k ，2
22+k k
)． ……………………11分
∵ 点Q 在椭圆上， ∴ (232+-k )2+2(2
22+k k )2
=2，
解得k 2=21，于是212=k
，即421
±=k ，
∴ m 的方程为y =42x +42或y =-42x -42． ……………………………13分
21．解：（I ）x
mx
m x x f -=-='11)(，x >0．
当m >0时，
由1-mx >0解得x <m 1，即当0<x <m 1
时，)(x f '>0，f (x )单调递增；
由1-mx <0解得x >m 1，即当x >m 1
时，)(x f '<0，f (x )单调递减．
当m =0时，)(x f '=x
1
>0，即f (x )在(0，+∞)上单调递增；
当m <0时，1-mx >0，故)(x f '>0，即f (x )在(0，+∞)上单调递增．
∴当m >0时，f (x )的单调递增区间为(0，
m 1)，单调递减区间为(m
1
，+∞)； 当m ≤0时，f (x ) 的单调递增区间为(0，+∞)． …………………………5分
（II ）2()2()g x f x x =+=2ln x -2mx +x 2，则x
mx x x g )1(2)(2+-='，
∴ )(x g '的两根x 1，x 2即为方程x 2-mx +1=0的两根．
∵ m ≥
2
2
3， ∴ ∆=m 2-4>0，x 1+x 2=m ，x 1x 2=1． …………………………………………7分 又∵ x 1，x 2为2()ln h x x cx bx =--的零点， ∴ ln x 1-cx 12-bx 1=0，ln x 2-cx 22-bx 2=0，
两式相减得 21ln x x -c (x 1-x 2)(x 1+x 2)-b (x 1-x 2)=0，得b =
)(ln 212
12
1
x x c x x x x +--， 而b cx x
x h --=
'21
)(， ∴ y =])(2
)[(212
121b x x c x x x x -+-+-
=-
+-+-)(2)[(212
121x x c x x x x )(ln
21212
1
x x c x x x x ++-] =212121ln )(2x x x x x x -+-=2
12
12
1
ln 11
2x x x x x x -+-⋅，…………… ……………10分
令t x x
=2
1(0<t <1)， 由(x 1+x 2)2=m 2得x 12+x 22+2x 1x 2=m 2，
因为x 1x 2=1，两边同时除以x 1x 2，得t +t
1
+2=m 2，
∵ m ≥223，故t +t 1≥25，解得t ≤21或t ≥2，∴ 0<t ≤21
．……………12分
设G (t )=t t t ln 11
2-+-⋅，
∴ )(t G '=
0)1()1(2<+--t t t ，则y =G (t )在]21
0(，上是减函数， ∴ G (t )m in = G (21)=-32
+ln2，
即1212()()2
x x y x x h +'=-的最小值为-32
+ln2． ……………………………14分。