高考数学高三模拟试卷复习试题调研考试压轴押题学业水平训练054

高考数学高三模拟试卷复习试题调研考试压轴押题[学业水平训练]
一、填空题
1．已知数列{an}为等差数列，a3，a9是方程x2－4x ＋2＝0的两个根，则a6＝
________．
解析：∵2a6＝a3＋a9＝4，∴a6＝2.
答案：2
2．已知等差数列的前三项为a －1，a ＋1，2a ＋3，则这个数列的通项公式是
________．
解析：由题意得a ＋1－(a －1)＝2a ＋3－(a ＋1)，得a ＝0，
∴数列是首项为－1，公差为2的等差数列， ∴an ＝－1＋(n －1)·2＝2n －3.
答案：an ＝2n －3
3．数列{an}中，a1＝2，2an ＋1－2an ＝1，n ∈N*，则a101＝________.
解析：根据题意，得2an ＋1－2an ＝1，2a1＝4.
∴{2an}是首项为4，公差为1的等差数列， ∴2a101＝4＋(101－1)＝104，∴a101＝52.
答案：52
4．(·南京高二检测)在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则
a3＋a6＋a9的值为________．
解析：法一：因为a1，a4，a7成等差数列，
所以a1＋a7＝2a4，得a4＝13.
同理a2＋a8＝2a5，得a5＝11，从而a6＝a5＋(a5－a4)＝9，故a3＋a6＋a9＝3a6＝27.
法二：由{an}为等差数列可知，三个数a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等
差数列，且公差d ＝33－39＝－6，因而a3＋a6＋a9＝33＋(－6)＝27.
答案：27
5．数列{an}中，首项a1＝3，且有2(an ＋1－an)＝an ＋1·an ，则数列{an}的通项公
式是________．
解析：递推关系式2(an ＋1－an)＝an ＋1·an ，两边同时除以an ＋1·an ，可得
2（an ＋1－an ）an ＋1·an ＝1，即1an ＋1－1an ＝－12
. 若令bn ＝1an ，显然数列{bn}是以－12为公差的等差数列且首项b1＝1a1＝13
. 所以bn ＝13＋(n －1)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－12n ＋56＝5－3n 6. 所以an ＝1bn ＝65－3n
. 答案：an ＝65－3n
6．设首项为－20的数列{an}为等差数列，且恰从第8项开始为正数，则公差d 的取
值范围是________．
解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a7＝a1＋（7－1）d ＝－20＋6d ≤0，a8＝a1＋（8－1）d ＝－20＋7d>0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧d ≤103，d>207
.从而d 的取值范围是(207，103
]． 答案：(207，103]
7．如果f(n ＋1)＝2f （n ）＋12
(n ＝1，2，3，…)且f(1)＝2，则f()等于________． 解析：∵f(n ＋1)＝2f （n ）＋12＝f(n)＋12
， ∴f(n ＋1)－f(n)＝12
， 即数列{f(n)}是首项为2，公差为12
的等差数列． 所以通项公式为：f(n)＝2＋(n －1)×12＝12n ＋32
， ∴f()＝12×＋32
＝1008.5. 答案：1008.5
二、解答题
8．设等差数列{an}中，an>0，an －1－a2n ＋an ＋1＝0(n ≥2)，求通项an.
解：法一：∵{an}为等差数列，
∴an ＝an －1＋an ＋12
(n ≥2)， 则an －1－（an －1＋an ＋1）24
＋an ＋1＝0 ⇒4(an －1＋an ＋1)＝(an －1＋an ＋1)2，
又an －1＋an ＋1>0，所以an －1＋an ＋1＝4.
又an －1＋an ＋1＝2an ，∴an ＝2.
法二：∵{an}为等差数列，
∴2an ＝an －1＋an ＋1.
根据题意，得2an －a2n ＝0.
∵an>0，∴an ＝2.
法三：设an ＝pn ＋q(p ，q 均为常数)．
代入an －1－a2n ＋an ＋1＝0化简，
得p2n2＋(2pq －2p)n ＋q2－2q ＝0，
因为此式对一切n 均成立，
所以⎩⎪⎨⎪⎧p2＝0，2pq －2p ＝0，q2－2q ＝0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0，q ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0，q ＝2. 所以an ＝0或an ＝2，因为an>0，所以an ＝2.
9．某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元．从第二年起，由于市场竞争等
方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元．按照这一规律，如果公司不开发新产品，
也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解：设从第一年起，第n 年的利润为an 万元，
则a1＝200，an －an －1＝－20，n ≥2，n ∈N*.
所以每年的利润an 可构成一个等差数列{an}，且公差d ＝－20.从而an ＝a1＋(n －1)d
＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由an ＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
[高考水平训练]
一、填空题
1．已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16，则a ＝
________．
解析：设等差数列{an}的公差为d ，则d ＞0，
由a2＋a7＝16，得2a1＋7d ＝16，①
由a3a6＝55，得(a1＋2d)(a1＋5d)＝55，②
由①②得(16－3d)(16＋3d)＝220，即256－9d2＝220.
∴d2＝4，又d ＞0，∴d ＝2，代入①得a1＝1. ∴an ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.所以a ＝4027.
答案：4027
2．如果有穷数列a1，a2，…，am(m 为正整数)满足条件：a1＝am ，a2＝am －1，…，am
＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”
数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等
差数列，则c2＝________．
解析：因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11
＋9d ＝1＋9×2＝19，
又{cn}为21项的对称数列，所以c2＝c20＝19.
答案：19
二、解答题
3．已知数列{an}满足2an ＋1＝an ＋an ＋2，且a1＝2，a3＝10.若bn ＝12
an －30，求： (1)数列{bn}的通项公式；
(2)|bn|的最小值．
解：(1)由题意，知an ＋2－an ＋1＝an ＋1－an ＝an －an －1＝…＝a2－a1，故数列{an}
为等差数列．
又a1＝2，a3＝10，所以公差d ＝a3－a13－1
＝4， 所以an ＝4n －2，从而bn ＝12
an －30＝2n －31. (2)由2n －31≥0，解得n ≥312
. 又n ∈N*，所以当1≤n ≤15时，bn<0；当n ≥16时，bn>0.
又数列{bn}为递增数列，从而b15是前15项中绝对值最小的，b16是15项之后绝对
值最小的．而|b15|＝1，|b16|＝1，所以|bn|的最小值为1.
4．已知{an}是等差数列且a1＝2，a2＝3，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和
原数列构成一个新的等差数列．求：
(1)原数列中的第12项是新数列中的第几项？
(2)新数列中的第29项是不是原数列中的项？为什么？
解：(1)记新的等差数列为{bn}，设其公差为d.
则d ＝3－24＝14
， ∴数列{bn}的通项公式为bn ＝2＋14
(n －1)， 又原数列第12项为13.
令2＋(n －1)·14
＝13，解得n ＝45. ∴原数列的第12项为新数列的第45项．
(2)是．理由：∵b29＝2＋28×14
＝9， 令2＋(n －1)＝9，∴n ＝8.
∴新数列的第29项是原数列的第8项．
高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =
（A ）{1}（B ）{1
2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是
（A ）(31)
-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，
（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m=
（A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8
（4）圆
2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A ）24 （B ）18
（C ）12 （D ）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π
（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12
个单位长度，则评议后图象的对称轴为 （A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12
(k ∈Z) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，
若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=
（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34
（9）若cos(π4–α)=35
，则sin 2α= （A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725
（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有
m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
π的近似值为
（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m
n （11）已知F1，F2是双曲线E 22
221x y a b
-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=
,则E 的离心率为
（A
B ）32
（C
D ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x
+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1
()m
i i i x y =+=∑
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513
，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.
（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.
（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.
其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）
（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

（16）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+2）的切线，则b=。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，.
（I ）求111101b b b ，，；
（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.
18.（本题满分12分）
某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数
1 2 3 4 ≥5 保费
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 一年内出险次数
1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05
（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19.（本小题满分12分） 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=54，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=
（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ；
（II ）求二面角B D A C '--的正弦值.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆E:22
13
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.
（I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积；
（II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
(I)讨论函数x x 2f (x)x 2
-=+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax a g x x
-->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修41：集合证明选讲
如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA,DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.
(I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；
(II)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25.
（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（II ）直线l 的参数方程是（t 为参数）,l 与C 交于A 、B 两点，∣AB ∣=，求l 的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)= ∣x ∣+∣x+∣，M 为不等式f(x)＜2的解集.
（I ）求M ；
（II ）证明：当a,b ∈M 时，∣a+b ∣＜∣1+ab ∣。